2.2 一元二次方程的解法（2）同步作业

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2.2 一元二次方程的解法（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
方程配方后，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（　　）
A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣
C．x1=1+，x2=1﹣ D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
将一元二次方程-6x-5=0化成=b的形式，则b等于（　　）
A．4 B．-4 C．14 D．-14
二次三项式-4x+7配方的结果是（　　）
A．+7 B．+3 C．+3 D． -1
对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（　　）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（　　）
A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（　　）
A．22 B．28 C．34 D．40
二、填空题
若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=　　　　　　．
如果一元二次方程经过配方后，得，那么a= .
将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　　 ．
若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=　　　　　　．
如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 .
已知实数满足，则代数式的值为________．
已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　 　．
三、解答题
解方程：
（1）x2+4x﹣1=0．
（2）x2﹣2x=4．
如果x2－4x+y2+6y++13=0，求的值．
嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第　　　　　　步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是　　　　　　．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤　　　　　　开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4x+4+y2-8y+16=0，求的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值范围；
（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案解析
一 、选择题
【考点】用配方法法求解一元二次方程
【分析】 先移项，再方程的两边都加上4的平方，即可得出答案
解：，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故选：A．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．
解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，
配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=1+，x2=1﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】方程常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可求出b的值．
解：方程-6x-5=0，移项得：-6x=5，配方得：-6x+9=14，即=14，则b=14，故选C
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
解：-4x+7=-4x+4+3=+3故选B．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用偶次方的性质得出答案．
解：﹣x2+4x﹣5
=﹣（x2﹣4x）﹣5
=﹣（x﹣2）2﹣1，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，
故选：D．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题关键．
【考点】配方法的应用．
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【考点】完全平方公式．
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可．
解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x=，x=﹣，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=，b=﹣，
∴3a+b=3×+（﹣）=28，
故选B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．
二 、填空题
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值.
解：=3 即 则a= -6
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】将x2+6x+4利用配方法转化为（x+3）2﹣5，然后根据（x+3）2≥0可得多项式x2+6x+4的最小值．
解：∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，
∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了配方法的应用．解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方法．
【考点】配方法的应用．
【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．
【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，
则m=1，
故答案为：1
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】根据题意，已知方程的解是三角形的三条边的长度，根据三边关系求得三角形的形状，然后根据形状求其面积即可。
解：由，得 ∴∵一个三角形的三边均满足方程 ∴此三角形是以5为边长的等边三角形，∴三角形的面积=°=故答案是：
2
【解析】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0,
∴ ,
∴2x+ =1+1=2.
【考点】配方法的应用
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
解：依题意得：，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
三 、解答题
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）利用配方法即可解决．
（2）利用配方法即可解决．
解：（1）∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
（2）配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．
【解析】试题分析：
观察分析可知，原式可化为：，即：，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：中计算即可.
试题解析：
∵，
∴，
∴，
∴ ，解得： ，
∴.
点睛：象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．
故答案是：四；x=；
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0
解：移项，得
x2﹣2x=24，
配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，
开方得x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项要变号；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
【分析】（1）按照题目提供的方法将x2+4x+4+y2-8y+16=0配方后即可求得x、y的值即可求解；
（2）求得三角形的两边后即可求得第三边的取值范围；
（3）将其整理成完全平方数加正数的形式即可证得结论．
解：（1）∵x2+4x+4+y2-8y+16=0
∴（x+2）2+（y-4）2=0，
∴（x+2）2=0，（y-4）2=0，
∴x=-2，y=4
∴=-；
（2））∵a2+b2-8b-10a+41=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∴（a-5）2=0，（b-4）2=0，
∴a=5，b=4
△ABC中最大边5＜c＜9；
（3））∵x2+y2-2x+2y+3=（x-1）2+（y+1）2+1，
且（x-1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x=-2，y=4
∴（x-1）2+（y+1）2+1＞0，
∴多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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