2.2 一元二次方程的解法（4）同步作业

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2.2 一元二次方程的解法（4）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
下列计算正确的是（　　）
A．a4 a3=a12 B． C．（x2+1）0=0 D．若x2=x，则x=1
三角形的一边长为10，另两边长是方程X2-14x+48=0的两个根，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（　　）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a2﹣3a+b，如3 5=32﹣3×3+5，若x 1=11，则实数x的值（　　）
A．2或﹣5 B．﹣2或5 C．2或5 D．﹣2或﹣5
二、填空题
现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　　　　　．
方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　．
一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是　　　　　　．
一元二次方程2x2﹣3x+1=0的解为　　　　　　．
一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____．
三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为　　　　　　．
若分式的值为零，则x=　　　　　　．
三、解答题
解下列方程
（1）x2﹣x+2=0
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1）有一个根为0，求m的值并求另一根．
先化简，再求值：÷（x﹣），其中x为方程（x﹣3）（x﹣5）=0的根．
已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子有意义，且b为方程y2﹣8y+15=0的根，求△ABC的周长．
答案解析
一 、选择题
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
解：x2﹣x﹣2=0
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】由两数相乘积为0，两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．
解：方程（x﹣2）（x﹣4）=0，
可得x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；
则x=4，此时周长为3+4+6=13．
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．
【分析】A、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
B、通过开平方可以求得的值；
C、零指数幂：a0=1（a≠0）；
D、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
解：A、a4 a3=a（4+3）=a7．故本选项错误；
B、==|3|=3，故本选项正确；
C、∵x2+1≠0，∴（x2+1）0=1．故本选项错误；
D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则x=0或x=1．故本选项错误．
故选B．
【点评】本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程﹣﹣因式分解法．注意，任何不为零的数的零次幂等于1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；勾股定理的逆定理
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，然后利用勾股定理的逆定理即可判定这个三角形是直角三角形．
解：∵x2-14x+48=0，
∴（x-6）（x-8）=0，
∴x-6=0或x-8=0，
∴x1=6，x2=8，
∵102=100，62=36，82=64，
∴102=62+82，
∴这个三角形是直角三角形．
故选B．
【考点】用因式分解法求解一元二次方程
【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验
解： ∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，
∴22-4 m +3 m =0，m =4，
∴x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【考点】用因式分解法求解一元二次方程
【分析】 上述解题过程利用了转化的数学思想
解： 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，
进而得到原方程的解为=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
【考点】：解一元二次方程﹣因式分解法；分式方程的解．
【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．
解：解方程x2+2x﹣3=0，得
x1=1，x2=﹣3，
∵x=﹣3是方程的增根，
∴当x=1时，代入方程，得
，
解得a=﹣1．
故选：C．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先根据新定义a b=a2﹣3a+b把x 1=11转化为x2﹣3x+1=11，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：∵对于任意实数a，b，都有a b=a2﹣3a+b，如3 5=32﹣3×3+5，
∴x 1=x2﹣3x+1，
∵x 1=11，
∴x2﹣3x+1=11，
∴x1=﹣2，x2=5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a b=a2﹣3a+b，此题难度不大．
二 、填空题
现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　﹣1或4　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．新定义．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：
x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解：x2﹣9x+18=0，
∴（x﹣3）（x﹣6）=0，
∴x﹣3=0，x﹣6=0，
∴x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】原方程转化为x=0或x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．
解：∵x=0或x﹣6=0，
∴x1=0，x2=6，
∴原方程较大的根为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：2x2﹣3x+1=0，
（2x﹣1）（x﹣1）=0，
2x﹣1=0，x﹣1=0，
x1=，x2=1，
故答案为：x1=，x2=1
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成解一元一次方程．
【考点】用因式分解法解一元二次方程，三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长．
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解。
1或－
【解析】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0，解得：x=1或x=-，
故答案为：1或-.
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】 将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长
解：x2﹣10x+21=0，
因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
所以第三边的长为7．
故答案为7．
点评： 此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解
【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：依题意得x2﹣x﹣2=0，解得x=2或﹣1，
∵x+1≠0，即x≠﹣1
∴x=2．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解和因式分解的方法的运用，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
三 、解答题
【考点】 解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）这里a=1，b=﹣1，c=2，
∵△=1﹣8=﹣7＜0，
∴原方程没有实数根；
（2）方程因式分解得：（2x﹣5）（x+1）=0，
可得2x﹣5=0或x+1=0，
解得：x1=2.5，x2=﹣1．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18.【考点】 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【分析】将x的值代入方程中即可求出m的值，再把m的值代入即可求出方程的解，即可求出方程的另一根．
解：把x=0代入方程中去，得：
﹣m=﹣1
解得m=1
再把m=1代入原方程中，得
（2x﹣1）（x+1）=（3x+1）（x﹣1）
解得x1=0 x2=3
所以 另一根为3．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的计算方法，将x=0代入求得m的值是解答本题的关键．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求x的值，代入原式进行计算即可．
解：原式=÷
=
=，
∵x为方程（x﹣3）（x﹣5）=0的根，
∴x1=3，x2=5，
∵当x=3时分式无意义，
∴当x=5时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【考点】 解一元二次方程-因式分解法；二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据方程的解的定义把x=﹣1代入方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0，可得c=a，根据一元二次方程的定义可知c≠b，所以△ABC不是等边三角形是等腰三角形；
（2）根据二次根式的意义可知，，所以a=2，所以c=a=2，解方程y2﹣8y+15=0，结合b＜a+c可求得b=3，所以△ABC的周长为7．
解：
（1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；
理由如下：
∵x=﹣1为方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根，
∴（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵c﹣b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形；
（2）依题意，得，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y2﹣8y+15=0得y1=3，y2=5；
∵b为方程y2﹣8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7．
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