2.3 一元二次方程根的判别式同步作业

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2.3 一元二次方程根的判别式同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0
若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜2
y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（　　）5
A．没有实数根 B．有一个实数根I
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根a
已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．
关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．
已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是　 　．
关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是　 　．
若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是　　 　．
从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是　 　．
三、解答题
已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
对于实数m，n，定义一种运算“※”为：m※n=mn+n．
（1）求2※5与2※（﹣5）的值；
（2）如果关于x的方程x※（a※x）=﹣有两个相等的实数根，求实数a的值．
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
若方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简．
已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
答案解析
一 、选择题
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
解：A、∵△=4﹣4=0，
∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；
B、∵△=1﹣4×2＜0，
∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；
C、∵△=4+4×4×3=52＞0，
∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；
D、∵△=36＞0，
∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，
∵△=42﹣4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．
【考点】根的判别式．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数的关系得到﹣＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为＜m＜2．
解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，
解得m＞且m≠2，
设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，
而2m+1＞0，
∴m﹣2＜0，即m＜2，
∴m的取值范围为＜m＜2．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
【考点】根的判别式；一次函数的定义．
【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
解：
∵y=x+1是关于x的一次函数，
∴≠0，
∴k﹣1＞0，解得k＞1，
又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，
∴△＜0，
∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0 一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0 一元二次方程无实数根．
【考点】根的判别式以及一元二次方程的整数解
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
二 、填空题
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．
解：∵方程x2+a=0没有实数根，
∴△=﹣4a＜0，
解得：a＞0，
故答案为：a＞0
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
【考点】根的判别式．
【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，
解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．
关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
【考点】根的判别式的应用
【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
【考点】根的判别式
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）＞0，且m﹣5≠0，
解得m＜5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
【考点】 根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【分析】 首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．
解：∵，
∴b﹣1=0，=0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
点评： 本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
【考点】 一次函数图象与系数的关系；根的判别式．.
【分析】 确定使函数的图象经过第一、三象限的m的值，然后确定使方程有实数根的m值，找到同时满足两个条件的m的值即可．
解：∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
解得：﹣＜m＜，
∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，
∴m2﹣4（m+1）≥0，
∴m≥2+2或m≤2﹣2，
∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣2，
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，解题的关键是会解一元二次不等式，难度不大．
三 、解答题
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；
（2）利用直接开平方法解方程．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，
解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，
即（x+1）2=0，
解得x1=x2=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【考点】根的判别式；实数的运算．
【分析】（1）根据新运算定义式，代入数据计算即可；
（2）根据新运算定义式，找出关于x的一元二次方程，再根据二次项系数非零以及根的判别式△=0，即可得出关于a的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）2※5=2×5+5=15；
2※（﹣5）=2×（﹣5）+（﹣5）=﹣15．
（2）x※（a※x）=x※[（a+1）x]=x（x+1）（a+1）=﹣，
整理，得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0，
∵关于x的方程x※（a※x）=﹣有两个相等的实数根，
∴，
解得：a=0．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
【分析】根据根的判别式求得m的取值范围，然后由m的取值范围化简所求的代数式．
解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+2）]2-4×1×（m2+5）＞0，即2m-4＞0，
解得，m＞2；
∴=m--m+2=，即=．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；菱形的性质．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．
解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，
解得：m＞﹣．
∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，
解得：m=﹣4或m=2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b=﹣2m﹣1＞0，
∴m=﹣4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．
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