2.4 一元二次方程根与系数的关系同步作业

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2.4 一元二次方程根与系数的关系同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1 x2=1，则ba的值是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）
A． B． C． D．
已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若,则的值是( )
A． 2 B． -1 C． 2或-1 D． 不存在
关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=　　　　　　，另一个根为　　　　　　．
设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　．
设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=　　．
已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是　 　．
已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　．
已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则的值是　 　．
已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③＜a2＋b2.则正确结论的序号是______(填序号)．
三、解答题
已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
已知α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）α2+β2；
（2）β2﹣2α
已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案解析
一、选择题
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m=2，
解得：m=3，
则方程的另一根为3．
故选D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1 x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．
解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1 x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣，
∴ba=（﹣）2=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1 x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1 x2==﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1 x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
【考点】
【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，
故选：D．
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，ab=m．
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．
解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+===﹣2=﹣2=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
【考点】根与系数的关系，根的判别式
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合，即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴ ，
解得：m＞-1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵，
∴=4m，
∴m=2或-1，
∵m＞-1，
∴m=2．
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于-、两根之积等于．
解法一：因为关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得，所以同号；同理为同号。根据得均为负整数，因此结论①正确；又由题意得，，则，，故结论②正确；因为均为负整数，则它们均小于等于。设，，则分别为的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于且为整数，因此当时，。当时，，即，故结论③正确。应选D。
解法二：设的两个整数根为、，
的两个整数根为、，
则，，
由题意得：，，
∴，，
∴，，，，∴①正确；
∵的两个整数根为、，
∴，即，
∴，同理：。
∴
，∴②正确；
∵、为负整数，∴、 ，
∴，∵，，
∴，∴
，∴，
同理：，即，
∴，∴③正确；
故选D.
二 、填空题
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】根据方程有一根为1，将x=1代入方程求出m的值，确定出方程，即可求出另一根．
解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点】根与系数的关系．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，
∴x22﹣3x2=1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，
故答案为3．
【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．
【考点】根与系数的关系
【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
解：设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
【考点】根与系数的关系；换元法解一元二次方程．
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
【考点】根与系数的关系，一元二次方程的解　
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x1x2=﹣1、=2x1+1、=2x2+1，将其代入=中即可得出结论．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，=2x1+1，=2x2+1，
∴=+====6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．
①②
【解析】Δ＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，故方程有两个不相等的实数根，即x1≠x2，故①正确.∵x1·x2＝ab－1＜ab，∴②正确.∵x1＋x2＝a＋b，∴ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2（ab－1）＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，故③错误.综上，正确的结论有①②.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式及根与系数的关系的应用：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2= ．
三 、解答题
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
解： 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【考点】 根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】 （1）根据根与系数的关系求得α+β=﹣2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值；
（2）首先用3﹣2β代换β2，即β2﹣2α=3﹣2β﹣2α，于是得到解答．
【解答】 解：∵α，β是方程x2+2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，αβ=﹣3，
（1）原式=（α+β）2﹣2αβ=4+6=10；
（2）原式=3﹣2β﹣2α=3﹣2（α+β）=3﹣2×（﹣2）=7．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函数实数根，代入m=x1x2，即可得到结果．
解：（1）∵方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）∵x1+x2=4，
∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，
解得：m=﹣12．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）由韦达定理得x1+x2=﹣，x1x2=，代入到+x1+x2=2中，可求得k的值．
解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，
若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=±，
∴|m|≤2不成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．
解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n=①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48×≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
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