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2.5 一元二次方程的应用(2)同步作业
姓名:__________班级:__________考号:__________
一 、选择题
我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:"直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步."如果设矩形田地的长为x步,那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( )
A. B. C. ( http: / / www.1230.org / ) D.
从正方形铁片上截去宽的一个矩形,剩余矩形的面积为,则原来正方形的面积为( ).
A. B. C. D.
如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2 .若设道路的宽为 ,则下面所列方程正确的是( )
A. (32-x)(20-x)=32×20-570 B. 32x+2×20x=32×20-570
C. 32x+2×20x-2x2=570 D. (32-2x)(20-x)= 570
如图,AB⊥BC,AB=10 cm,BC=8 cm,一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行,蝉开始爬行的同时,一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行,当螳螂和蝉爬行x秒后,它们分别到达了M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24 cm2,由题意可列方程( )
A. 2x·x=24 B. (10-2x)(8-x)=24
C. (10-x)(8-2x)=24 D. (10-2x)(8-x)=48
公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为( )
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2﹣3x+16=0 C.(x﹣1)(x﹣2)=18 D.x2+3x+16=0
三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是( )
A. 24 B. 24或8 C. 48 D. 8
将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积为300cm,则原铁皮的边长为( )
A.10cm B.13cm C.14cm D.16cm
如图,在一个三角点阵中,从上向下数有无数多行,其中各行点数依次为2,4,6,…,2n,…,请你探究出前n行的点数和所满足的规律.若前n行点数和为930,则n=( )
A.29 B.30 C.31 D.32
二、填空题
如图,是一个长为30m,宽为20m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为 米.
如图,点A的坐标为(﹣4,0),直线y=x+n与坐标轴交于点B、C,连接AC,如果∠ACD=90°,则n的值为 .
如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为 .
如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为 .
如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC 上,以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,则BD的长是 .
如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形,若=,则正△ABC的边长是________.
三、解答题
某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为56m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度.
如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
李明准备进行如下操作实验,把一根长40cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.
如图,某农场有一块长40 m,宽32 m的矩形种植地,为方便管理,准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为1140 m2,求小路的宽.
如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度;
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.
已知某市2013年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图.
(1)当x≥50时,求y关于x的函数关系式;
(2)若某企业2013年10月份的水费为620元,求该企业2013年10月份的用水量;
(3)为贯彻省委“五水共治”发展战略,鼓励企业节约用水,该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费,规定:若企业月用水量x超过80吨,则除按2013年收费标准收取水费外,超过80吨部分每吨另加收元,若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元,求这个企业该月的用水量.
如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,
(1)如果P、Q同时出发,几秒后,可使△PBQ的面积为8平方厘米?
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.
答案解析
一 、选择题
B
【解析】设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x-12)步.
根据矩形面积=长×宽,得:x(x-12)=864.故本题选B.
A
【解析】设正方形的边长为xcm,由题意得
x(x-2)=80,
解之得
x1=10,x2=-8(舍去).
∴原来正方形的面积为:10×10=100(cm2).
故选A.
D
【解析】通过平移可将六块草坪拼为一块,可得一个大矩形,由图易得该矩形的长为(32 2x)m,宽为(20-x)m,由此根据题意可得:
( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570.
故选D.
D
【解析】设x秒后,螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知 (10-2x)(8-x)=24,
(10-2x)(8-x)=48,选D.
【分析】可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为(x﹣1)m,宽为(x﹣2)m.根据长方形的面积公式方程可列出.
解:设原正方形的边长为xm,依题意有
(x﹣1)(x﹣2)=18,
故选C.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键.
B
【解析】试题解析: (x 6)(x 10)=0,
∴x=6或x=10.
当x=6时,该三角形为以6为腰,8为底的等腰三角形,
∴高
当x=10时,该三角形为以6和8为直角边,10为斜边的直角三角形,
∴S=24或.
故选B.
设原铁皮的边长为xcm
由题意得
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.
解:设前n行的点数和为s.
则s=2+4+6+…+2n==n(n+1).
若s=930,则n(n+1)=930.
∴(n+31)(n-30)=0.
∴n=-31或30.
故选B.
二、填空题
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设小道进出口的宽度为x米,然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可.
解:设小道进出口的宽度为x米,依题意得(30﹣2x)(20﹣x)=532,
整理,得x2﹣35x+34=0.
解得,x1=1,x2=34.
∵34>30(不合题意,舍去),
∴x=1.
答:小道进出口的宽度应为1米.
故答案为:1.
点评: 本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】由直线y=x+n与坐标轴交于点B,C,得B点的坐标为(﹣n,0),C点的坐标为(0,n),由A点的坐标为(﹣4,0),∠ACD=90°,用勾股定理列出方程求出n的值.
解:∵直线y=x+n与坐标轴交于点B,C,
∴B点的坐标为(﹣n,0),C点的坐标为(0,n),
∵A点的坐标为(﹣4,0),∠ACD=90°,
∴AB2=AC2+BC2,
∵AC2=AO2+OC2,BC2=0B2+0C2,
∴AB2=AO2+OC2+0B2+0C2,
即(﹣n+4)2=42+n2+(﹣n)2+n2
解得n=﹣,n=0(舍去).
故答案为:.
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及解直角三角形,解题的关键是利用勾股定理列出方程求n.
【考点】点、线、面、体.
【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n(n+1)+1,依此可得等量关系:n条直线最多可将平面分成56个部分,列出方程求解即可.
解:依题意有
n(n+1)+1=56,
解得x1=﹣11(不合题意舍去),x2=10.
答:n的值为10.
故答案为:10.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P,先利用勾股定理求出MD′,再分两种情况利用勾股定理求出DE.
解:如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上,
∴MD′=PD′,
设MD′=x,则PD′=BM=x,
∴AM=AB﹣BM=7﹣x,
又折叠图形可得AD=AD′=5,
∴x2+(7﹣x)2=25,解得x=3或4,
即MD′=3或4.
在Rt△END′中,设ED′=a,
①当MD′=3时,AM=7﹣3=4,D′N=5﹣3=2,EN=4﹣a,
∴a2=22+(4﹣a)2,
解得a=,即DE=,
②当MD′=4时,AM=7﹣4=3,D′N=5﹣4=1,EN=3﹣a,
∴a2=12+(3﹣a)2,
解得a=,即DE=.
故答案为:或.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】先依据勾股定理求得AB的长,然后由翻折的性质可知:AB′=10,DB=DB′,接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°,两种情况画出图形,设DB=DB′=x,然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可.
解:∵Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10,
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,
∴BD=DB′,AB′=AB=10.
如图1所示:当∠B′DE=90°时,过点B′作B′F⊥AF,垂足为F.
设BD=DB′=x,则AF=6+x,FB′=8﹣x.
在Rt△AFB′中,由勾股定理得:AB′2=AF2+FB′2,即(6+x)2+(8﹣x)2=102.
解得:x1=2,x2=0(舍去).
∴BD=2.
如图2所示:当∠B′ED=90°时,C与点E重合.
∵AB′=10,AC=6,
∴B′E=4.
设BD=DB′=x,则CD=8﹣x.
在Rt△′BDE中,DB′2=DE2+B′E2,即x2=(8﹣x)2+42.
解得:x=5.
∴BD=5.
综上所述,BD的长为2或5.
故答案为:2或5.
解析:设正△ABC的边长为x,则高为x,S△ABC=x·x=x2.∵所分成的都是正三角形,
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-,
较短的对角线为(x-)=x-1,
∴黑色菱形的面积==(x-2)2,
∴==,
整理得,11x2-144x+144=0,解得x1=(不符合题意,舍去),x2=12.∴△ABC的边长是12.
答案 12
三、解答题
【考点】 一元二次方程的应用.
【分析】 根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可.
解:设人行道的宽度为x米,根据题意得,
(8﹣2x)=56,
解得:x1=2,x2=(不合题意,舍去).
答:人行道的宽为2米.
点评: 本题考查了一元二次方程的应用,利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键.
【考点】 一元二次方程的应用.
【分析】设AB的长度为x,则BC的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.
解:设AB的长度为x,则BC的长度为(100﹣4x)米.
根据题意得 (100﹣4x)x=400,
解得 x1=20,x2=5.
则100﹣4x=20或100﹣4x=80.
∵80>25,
∴x2=5舍去.
即AB=20,BC=20.
答:羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.
17.【考点】一元二次方程的应用..
【分析】(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可;
(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.
解:(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm,由题意,得
()2+()2=58,
解得:x1=12,x2=28,
当x=12时,较长的为40﹣12=28cm,
当x=28时,较长的为40﹣28=12<28(舍去).
答:李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段;
(2)李明的说法正确.理由如下:
设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm,由题意,得
()2+()2=48,
变形为:m2﹣40m+416=0,
∵△=(﹣40)2﹣4×416=﹣64<0,
∴原方程无实数根,
∴李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.
点评: 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,根的判别式的运用,解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键.
解:设小路的宽为x m.图中的小路平移到矩形边上时,种植面积是不改变的.
∴(40-x)(32-x)=1140.
解得x 1=2,x2=70(不合题意,舍去).
∴小路的宽为2 m.
答:小路的宽为2 m.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)设条纹的宽度为x米,根据等量关系:配色条纹所占面积=整个地毯面积的,列出方程求解即可;
(2)根据总价=单价×数量,可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数,再相加即可求解.
解:(1)设条纹的宽度为x米.依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4,
解得:x1=(不符合,舍去),x2=.
答:配色条纹宽度为米.
(2)条纹造价:×5×4×200=850(元)
其余部分造价:(1﹣)×4×5×100=1575(元)
∴总造价为:850+1575=2425(元)
答:地毯的总造价是2425元.
20.【考点】一次函数、一元二次方程和一元一次方程的应用;待定系数法的应用;直线上点的坐标与方程的关系;
【分析】(1)设y关于x的函数关系式y=kx+b,代入(50,200)、(60,260)两点求得解析式即可.
(2)把y=620代入(1)求得答案即可.
(3)利用水费+污水处理费=600元,列出方程解决问题.
解:(1)设y关于x的函数关系式y=kx+b,
∵直线y=kx+b经过点(50,200),(60,260)∴解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100;
(2)由图可知,当y=620时,x>50∴6x﹣100=620,解得x=120.
答:该企业2013年10月份的用水量为120吨.
(3)由题意得6x﹣100+(x﹣80)=600,
化简得x2+40x﹣14000=0
解得:x1=100,x2=﹣140(不合题意,舍去).
答:这个企业2014年3月份的用水量是100吨.
(1)2秒或4秒;(2)线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
【解析】试题【分析】(1)设出运动所求的时间,可将BP和BQ的长表示出来,代入三角形面积公式,列出等式,可将时间求出;
(2)将△PBQ的面积表示出来,根据△=b2-4ac来判断.
试题解析:(1)设经过x秒,使△PBQ的面积等于8cm2,依题意有:
(6-x) 2x=8,
解得x1=2,x2=4,
经检验,x1,x2均符合题意,
故经过2秒或4秒,△PBQ的面积等于8cm2;
(2)不能,理由如下:
设经过y秒,线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分,依题意有:
S△ABC =×6×8=24,
(6﹣y) 2y=12,
y2﹣6y+12=0,
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12<0,
∴此方程无实数根,
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
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