《代数式，第1课时》
本节课是教材，在学生学习了“字母表示数”很自然地引入了代数式值的意义，再通过具体的情境来列代数式并求其值，然后通过反问代数式还能表示哪些实际意义，将教学活动引向高潮，激发学生联想、类比，计算进一步拓展学生的思维，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，是今后学习整式等内容的基础。
【知识与能力目标】
1.进一步理解用字母表示数的意义.
2.掌握书写代数式的注意事项并会正确书写代数式.
【过程与方法目标】
1.会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来,会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来.
2.能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示出来.
【情感态度价值观目标】
通过将实际问题中的数量关系用代数式表示,提高数学应用意识.
【教学重点】 列代数式;用代数式表示实际问题中的数量关系;代数式表示的实际意义.
【教学难点】 代数式的意义;用代数式表示实际问题中的数量关系;规律探索.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集以前学过的数学公式.
新课导入
填空.
1.m的3倍与5的和可以表示为 .
2.小华用a元买了b本练习本,每本练习本 元.
3.边长为x cm的正方形的周长是 cm;面积是 cm2.
教师活动:(1)组织学生交流;
(2)引导学生观察所列代数式,给出代数式的概念;
(3)交流所列代数式的意义.
学生活动:(1)独立思考完成填空;
(2)交流结果;
(3)说说代数式在此问题中所代表的实际意义.
自主探究，构建新知
活动1 代数式的概念
1.代数式的概念.
思路一
教师活动:(1)组织学生阅读教材第99页;
(2)引导学生举出代数式的例子.
学生活动:(1)阅读课文;
(2)举例交流,畅所欲言.
[设计意图] 让学生先直观感受什么叫代数式,只要学生知道什么是代数式即可,要求学生能举出一些实际例子.
追问:单独的一个字母或一个数是代数式吗?(是.)
[设计意图] 这个问题的价值在于强调单独的一个数或一个字母也是代数式,强化易错点,使学生知道字母可以表示具体的数,也可以表示具体的数量关系,同一字母或表达式在不同的场合有不同的意义,强化学生的符号感;其次,通过交流,拓宽学生的思维,发展学生的联想、类比等思维能力.
思路二
请同学们观察并思考:a+b,m - n,25m,,6a2,a3……这些式子有哪些共同点?
预设 生:都含有数字或字母.
师:除了数字和字母外,还有什么?
预设 生:还有运算符号(+、 - 、×、÷、乘方).
师:运算符号在数字和字母之间起到了什么样的作用?
预设 生:把数或字母连接起来了.
师:回答得很好!同学们,这就是代数式!现在你能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗?
学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导.然后用多媒体课件展示代数式的定义.
概括:用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲解.
指出下列各代数式的意义:
(1)2a+5; (2)2(a+5);
(3)a2+b2; (4)(a+b)2.
〔解析〕 根据代数式的意义,必须把代数式作为一个整体去看待.运算符号和字母、数字的组合,是代数式的重要特点.
解:(1)2a+5表示是a的2倍与5的和.
(2)2(a+5)表示a与5的和的2倍.
(3)a2+b2表示a的平方与b的平方的和.
(4)(a+b)2表示a与b的和的平方.
活动2 用代数式表示数量关系
用代数式表示“a,8两数之和与b,c两数之差的积”.
可按下面的步骤列代数式:
[处理方式] 四人为一小组,把“做一做”试着做下来.做完之后,小组长把自己组做的答案呈现出来.
[设计意图] 让学生仿照图示的方法列代数式,体会数量之间的和、差、倍、分的关系与加、减、乘、除的运算的对应.
用代数式表示:
(1)a与b的差与c的平方的和.
(2)百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.
(3)三个连续的整数(用同一个字母表示),以及它们的和.
〔解析〕 (1)a与b的差也就是a - b,所求即为(a - b)与c的平方的和.列代数式的关键是一定要注意运算顺序;(2)用不同的字母表示一个整数各数位上的数字,记为abc=100a+10b+c;(3)中间的这个数是m,则连续的三个整数就是m - 1,m,m+1.
解:(1)(a - b)+c2.
(2)100a+10b+c(其中,a,b,c是0到9之间的整数,且a≠0).
(3)设m是整数,三个连续整数可表示为m - 1,m,m+1.它们的和为(m - 1)+m+(m+1).
强调:在代数式中,字母与数或字母与字母相乘时,通常把乘号写作“·”或省略不写,如2×a写作2·a或2a,a×b写作a·b或ab.
除法运算一般以分数的形式表示.如s÷t写作(t≠0).
[设计意图] 本部分内容是学生学习了代数式之后紧跟的练习,目的是强化学生对代数式概念的理解与掌握,会根据具体要求列代数式,训练学生思维的严密性.
[知识拓展] (1)对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.
(2)如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的式子不是代数式.
(3)数与字母、字母与字母相乘,乘号可以省略,也可写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能省略;数字要写在字母前面.
(4)在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
(5)带分数一定要写成假分数.
课堂总结
1.用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.
2.单独的一个数或字母也是代数式.
巩固练习，展示提高
1.下列式子是代数式的是 .
①,②a2b,③x=1,④a2+ab - 1,⑤3>2,⑥o,⑦y=x - 1.
2.写出代数式a2 - b2表示的意义.
3.用代数式表示.
(1)x的2倍与y的差;
(2)m与5的差的3倍;
(3)a的11倍再加上2;
(4)x,y两个数和的平方;
(5)甲数为a,比甲数的平方大3的数.
布置作业
【必做题】
教材第100页练习第1,2题.
【选做题】
教材第101页习题A组第1,2,3,4题.
《代数式，第2课时》
本节课内容是在学习了用字母表示数，代数式的概念以及了解了一些代数式的实际意义的背景下，对一些简单的代数式的实际应用，是今后学习一元一次方程的解法，应用等的基础知识，也是学习代数式解题时换元法的最初应用，本节课不仅有实际应用的价值，而且也起着承上启下的作用。
【知识与能力目标】：
1.用代数式表示比较复杂的数量关系.
2.能够用不同的代数式表示同一数量关系.
【过程与方法目标】：
借助于具体的生活情境,体会代数式的一般性.
【情感态度价值观目标】
增强在探索问题过程中的合作交流意识.
【教学重点】 用不同的代数式表达同一个量.
【教学难点】 理解代数式是刻画实际问题中数量关系的重要数学模型.
【教师准备】 预设学生解决问题的多种方法.
【学生准备】 复习上一个课时所学的代数式知识.
新课导入：
导入一:
填空:已知一批小麦的出粉率是85%.a kg小麦可磨出面粉 kg,要磨出面粉b kg.需要小麦 kg.
(85%a;)
[设计意图] 通过生活情境,帮助学生深刻领会代数式的含义,体会从生活情境到抽象代数式的含义.
导入二:
甲、乙两个口袋分别装有a kg和b kg(a>b)的大豆.要想使两个口袋装的大豆一样多,应从甲袋向乙袋倒入多少千克大豆?
( kg.)
[设计意图] 通过抽象生活情境,帮助学生思考抽象的数量关系,了解数学中代数式的一般性.
自主探究，新知构建
活动1 从实际问题中抽象出代数式
如教材图所示,已知装满油时,桶和油的质量一共是a kg;当油用去一半时,桶和油的质量一共是b kg.当桶里装满油时,设油的质量为c kg.
(1)当桶里装满油时,写出表示桶的质量的代数式.
(2)当油用去一半时,写出表示桶的质量的代数式.
解:(1)设油的质量为c kg,则桶的质量为(a - c)kg.
(2)半桶油的质量为 kg,桶的质量为 kg.
问题思考:本题的基本数量关系是什么?
(油桶总质量=油的质量+桶的质量.)
[设计意图] 帮助学生抽象总结生活中的数量关系,为帮助学生建立代数式数学模型做准备.
活动2 不同的代数式表示同一个数量
已知参加甲、乙两地植树的同学分别为52人和23人,现从甲、乙两地共抽调12人到丙地植树.如果从甲地抽调x人,那么抽调后,甲、乙两地各剩下多少人?
将表示甲、乙两地剩下人数的代数式填入下表.
原来人数/人
抽调人数/人
剩下人数/人
甲地
52
x
乙地
23
12 - x
师:用不同的代数式表示同一个量,这是解决实际问题的一种常用方法,对于一些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更清晰.
方法一:甲地剩余(52 - x)人,乙地剩余[23 - (12 - x)]人.
方法二:两地共有75人,调走12人,剩余63人,已知甲地剩余(52 - x)人,所以乙地剩余[63 - (52 - x)]人.
思考:
1.列表法表示数量关系有什么优点?
2.你能借助于下列图示表示甲、乙两地的剩下人数吗?
活动3 做一做
填空:
(1)如果汽车以85 km/h的速度在高速公路上匀速行驶,那么x h行驶的路程为 km.
(2)如果某工程队平均每天修路0.8 km,那么x天可以修路 km.
(3)如果一套学生桌椅的价钱是380元,那么买x套这种学生桌椅需要 元.
(4)如果某期5年期国债的年利率是5.6%,小颖的爷爷买了这期国债x元,那么到期后可得利息 元,本息共为 元.
(5)如果一项工程要求30天完成,那么x天后完成了工程量的 .
〔答案〕 (1)85x (2)0.8x (3)380x (4)5×5.6%x x+5×5.6%x (5)x
思考:
1.请用文字的形式概括上述数量关系.
提示:主要数量关系如下:
行程问题:路程=速度×时间.
工程问题:工作量=工效×时间.
商品价格问题:总价=单价×数量.
利息问题:利息=本金×利率×期数,本息=本金+利息.
2.上面列出的这些代数式都有什么特点?
提示:都有kx的形式.
[设计意图] 发现数量关系的特点,是从数量关系中抽象出代数式的重要前提,为此在这里侧重引导学生总结一些带有规律性的数量关系.
课堂总结
用不同的代数式表示同一个量,是解决实际问题的一种常用方法.
巩固练习，展示提高
1.以下各式不是代数式的是 ( )
A.5 B.3x2 - 2x+5
C.a+b=b+a D.π
2.代数式4a可以表示的实际意义是 .
3.用代数式表示.
(1)x的与的差;
(2)一种小麦磨成面粉后质量要减少15%,m千克小麦磨成面粉后面粉的质量.
布置作业
【必做题】
教材第103页练习第1,2题.
【选做题】
教材第103页习题A组第4题.
《代数式，第3课时》
代数式是学习方程、不等式、函数的基础,它对整个第三学段代数知识的学习具有奠基作用.教材采用“大家谈谈”“一起研究”“做一做”等模块,以生动鲜活的例子引入课题,加强讨论与交流,实验与探究,以及动手操作活动的开展,进一步培养学生运用符号解决问题的能力和进行判断和推理的能力用代数式表示实际问题的数量关系,要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法,对有些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更加清晰.
【知识与能力目标】
能用代数式表示比较复杂的数量关系.
【过程与方法目标】
通过生活情境体现符号意识.
【情感态度价值观目标】
培养学生的抽象思维和创新精神.
【教学重点】 能够对复杂数量关系列出代数式.
【教学难点】 通过列复杂数量关系的代数式,形成数学符号感.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集生活中用代数式表示规律的实际例子.
新课导入
导入一:
已知甲、乙、丙三个数的比为1∶2∶3.如果设甲数为x,请表示出甲、乙两数的和减去丙数后的差;如果设丙数为z,请表示出甲、丙两数的和减去乙数后的差.
导入二:
为了预防流感,某校积极进行校园环境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共100瓶,其中甲种6元/瓶,乙种9元/瓶.如果设甲种消毒液购买了x瓶,那么购买这两种消毒液共花了多少元?
([6x+9(100 - x)]元.)
自主探究，新知构建
活动1 列复杂数量关系的代数式
经过练习,小亮和大华的打字速度都有了提高,小亮的打字速度达到80个/分,大华比小亮每分钟多打10个字.
(1)小亮和大华a min分别能打多少个字?
(2)b min大华比小亮多打多少个字?
(3)将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打,如果要求他们同时完成任务,那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字?
(4)根据以上问题情境,请你自己提出一个问题并解决.
问题思考:
(1)问题中涉及三个基本的量是什么?
(打字速度、时间、打字的个数.)
(2)这三个量之间具有怎样的关系?
(打字的个数=打字速度×时间.)
思考和解答:
(1)小亮a min打的字数就等于80与a的积,即80a个字;大华a min打的字数就等于(80+10)与a的积,即90a个字.
(2)b min大华比小亮多打的字数就等于b与10的积,即10b个字.
(3)求小亮要比大华提前多少分钟开始打字,就是求小亮打c个字比大华打c个字多用的时间,也就是求“c除以80的商与c除以(80+10)的商的差”,即 min.
活动2 例题讲解
(教材例3)从A地乘火车到北京,普通票价格为40元/人,学生票价格为20元/人.星期日,A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.
(1)如果有教师14人,学生180人,那么买单程火车票共需多少元?
(2)如果有教师x人,学生y人,那么买单程火车票共需多少元?
(3)如果教师人数恰好是学生人数的,将教师的人数或学生的人数用字母表示,那么买单程火车票共需要多少元?
〔解析〕 列表分析(1):
人数
票单价/元
票价/元
教师
14
40
560
学生
180
20
3600
单程总票价/元
4160
列表分析(2):
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
y
20
20y
单程总票价/元
40x+20y
列表分析(3)①:
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
12x
20
20×12x
单程总票价/元
40x+20×12x
列表分析(3)②:
人数
票单价/元
票价/元
教师
40
40×
学生
y
20
20y
单程总票价/元
y+20y
解:(1)40×14+20×180=4160(元).
(2)(40x+20y)元.
(3)如果设教师有x人,那么学生有12x人,买单程车票共需(40x+20×12x)元;如果设学生有y人,那么教师有人,买单程车票共需40×+20y元,即元.
课堂总结
从复杂的数量关系中抽象出代数式模型,是运用代数式解决问题的基本方法.
巩固练习，展示提高
1.体育委员带了500元钱去买体育用品,已知一个足球a元,一个篮球b元.则代数式500 - 3a - 2b表示的是 .
2.农民张大伯因病住院,手术费为a元,其他费用为b元.由于参加农村合作医疗,手术费报销85%,其他费用报销60%,则张大伯此次住院应缴纳 元.
3.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元,从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.设从甲仓库调往A县的农用车为x辆.
(1)从甲仓库调往B县的农用车为 辆,从乙仓库调往A县的农用车为 辆;(用含x的代数式表示)
(2)写出公司从甲、乙两个仓库调往农用车到A,B两县分别所需要的总运费.(用含x的代数式表示)
布置作业
【必做题】
教材第105页练习题.
【选做题】
教材第106页习题A组第3题.
《代数式，第4课时》
本节课内容是在学习了用字母表示数，代数式的概念以及了解了一些代数式的实际意义的背景下，对一些简单的代数式的实际应用，是今后学习一元一次方程的解法，应用等的基础知识，也是学习代数式解题时换元法的最初应用。
【知识与能力目标】
通过观察探索,发现和总结图形和代数式中所蕴含的规律.
【过程与方法目标】
通过对具体对象的观察,发现一些代数式的一般规律.
【情感态度价值观目标】
培养学生善于合作、勇于探索的创新精神.
【教学重点】 发现和总结一些数量之间的特殊规律.
【教学难点】 抽象理解代数式的数学模型,尝试解决问题的多种策略.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 自我总结列代数式的一般方法和规律,摆出三角形所用的火柴或小木棍等.
新课导入
导入一:
观察:
1×3=22 - 1,2×4=32 - 1,3×5=42 - 1……
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
观察每个等式的共同特征,这些等式可以改写为:
(2 - 1)(2+1)=22 - 1;
(3 - 1)(3+1)=32 - 1;
(4 - 1)(4+1)=42 - 1;
……
一般地,有(n - 1)(n+1)=n2 - 1.
[设计意图] 借助于教材中的练习问题,帮助学生体验代数式中蕴含着某种规律,激发学生对代数式探索的热情.
导入二:
出示教材习题中摆火柴的图形,让学生按照教材的方式摆出相应的图形.
问题提出:三角形的个数和所用的火柴数量之间有什么关系?
自主探究，新知构建
活动1 一起探究
如图所示,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
(1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内每行的三个数之和,和中间的数有什么关系?
提示:三个数的和是中间数的三倍.
②怎样表示这九个数的和比较简单?
提示:三行数的和依次为3(a+1),3(a+7),3(a+13),故九个数的和为9(a+7).
(2)如果设方框正中间的数为m,用含m的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内9个数的和,和中间的数15有什么关系?
提示:九个数的和为135,为15的九倍.
②如果方框下移一行,中间的数变为21,此时9个数的和是多少?
提示:21的九倍.
③根据上述规律,你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗?
提示:这九个数的和为9m.
(3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化?如果方框由上向下平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化?
思考:
①在移动后,变化后的数字和原来的数字之间有什么关系?
②如果将方框由右向左平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化?如果方框由下向上平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化?
提示:无论向哪个方向移动,9个数字之和都是有规律地变化.向左(右)平移一列,和减少(增加)9.向上(下)平移一行,和减少(增加)6×9=54.
活动2 大家谈谈
图(1)是由点组成的n行n列的方阵,图(2)是由每条边上n个点围成的空心方阵.
问题探究:
(1)如图(1)所示的方阵的总点数为多少?(n2)
(2)如图(2)所示的方阵的总点数为什么是n2 - (n - 2)2?
方法1:
如图所示,每边n个点,4个边共4n个点,减去重复计算的4个点,方阵的总点数为4n - 4.
方法2:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,每组有(n - 1)个点,方阵的总点数为4(n - 1).
方法3:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,其中两组各有n个点,另两组各有(n - 2)个点,方阵的总点数为2n+2(n - 2).
课堂总结
列代数式的过程是一个分析和综合的过程,列代数式解决问题的策略往往是多种的.
巩固练习，展示提高
1.在下列2×2的方格中找出规律,你认为x应为 ( )
2.(2015·德州中考)一组数1,1,2,x,5,y,…,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为 ( )
A.8 B.9 C.13 D.15
3.某大学阶梯教室,第一排有m个座位,后面每排比前一排多一个座位,第二排有几个座位?你知道第n排有多少个座位吗?
布置作业
【必做题】
教材第108页习题A组第2,3题.
【选做题】
教材第108页习题B组第1题.
