第2章 一元二次方程单元检测A卷(含解析)

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第2章 一元二次方程单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A. 1，2，－15 B. 1，－2，－15 C. －1，－2，－15 D. －1，2，－15
方程（x+）（x-）+（2x-3）2=3（3-4x）化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积为（ ）
A．5 B．-10 C．0 D．10
用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（　　）
A．-2x=5 B．+4x=5 C．+2x=5 D．2-4x=5
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162
C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200
不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（　　）
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m＞ B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（　　）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )
A. 10只 B. 11只 C. 12只 D. 13只
我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
方程x2－2x－3＝0的解为__________.
若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　　　　　　．
方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为__________
已知， 是一元二次方程的两个实数根，如果， 满足不等式，且为整数，则__________．
当k满足条件________时，关于x的方程（k-3）+2x-7=0是一元二次方程．
若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=　　　　　　．
已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为　 　．
关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共46分）
按指定的方法解下列方程：
（1）2x2-5x-4=0（配方法）；
（2）3（x-2）+x2-2x=0（因式分解法）；
（3）（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2）（公式法）．
已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2cm2？
向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是xl和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=﹣2时，求4x12+6x2的值．
全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？
（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．
①求2014年社区购买药品的总费用；
②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．
设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
(1)x12＋x22；
(2) ；
(3)x12＋x22－3x1x2.
东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
答案解析
一 、选择题
A
【解析】试题【分析】去括号可得： ，化简可得： ，即a=1，b=2，c=-15，故本题选A．
【分析】先把方程化为一般形式，分别求出二次项系数与一次项系数，再求出其积即可．
解：∵原方程可化为：5x2-2=0，
∴其二次项系数为5，一次项系数为0，
∴二次项系数与一次项系数的积为0．
故选C
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方
解：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D.将该方程的二次项系数化为1-2x=，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；故选B．
．
【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程．.
【分析】 此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．
故选A．
点评： 此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．
【考点】配方法的应用．
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．
解：根据题意得，
解得m≤且m≠2．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
【考点】根与系数的关系
【分析】 根据根与系数的关系得到答案即可
解：根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
C
【解析】设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x(x+1)=169，
整理，得x2+2x 168=0，
解，得x1=12，x2= 14(不符合题意舍去).
答：设每只病鸡传染健康鸡12只.
故选：C.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二 、填空题
x1＝3，x2＝－1
【解析】x2－2x－3＝0,
(x-3)(x+1)=0,
x-3=0或x+1=0，
∴x1＝3，x2＝－1.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
解：将x=1代入得：1+2+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．
【考点】用因式分解法求解一元二次方程
【分析】 首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
解：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
-2或-1
【解析】根据题意得x1+x2=1，x1x2=，
∵7+4x1x2>x12+x22，
∴7+4x1x2>(x1+x2)2 2x1x2，
即7+6x1x2>(x1+x2)2，
∴7+6 >1，解得m> 3，
∴ 3∴整数m的值为 2， 1.
【考点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义得到k-3≠0，然后解不等式即可．
解：根据题意得k-3≠0，
解得k≠3．
故答案为k≠3．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】由条件可得z=3﹣2x+3y，x2+（y﹣1）2+z2=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+）2+≥，据此可得．
解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+y+（）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+）2+≥，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为，
故答案为：．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，
解得x=0或x=﹣3．
故答案为：x3=0，x4=﹣3．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
三 、解答题
【考点】解一元二次方程
【分析】（1）按要求，利用配方法求解即可求得求得答案；
（2）首先提取公因式（x-2），即可得到（x-2）（3+x）=0，继而求得答案；
（3）利用公式法，注意首先把原式化为一般式，然后求得判别式△的值，继而求得答案，注意分式的化简．
解：（1）∵2x2-5x-4=0，
∴2x2-5x=4，
∴x2-x=2，
∴x2-x+16=2+，
∴（x-）2=，
解得：x1=，x2=；
（2）∵3（x-2）+x2-2x=0，
∴3（x-2）+x（x-2）=0，
∴（x-2）（3+x）=0，
即x-2=0或3+x=0，
解得：x1=2，x2=-3；
（3）∵（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2），
∴（a2-b2）x2-4abx-（a2-b2）=0，
∴a=a2-b2，b=-4ab，c=-（a2-b2）=b2-a2，
∴△=b2-4ac=（-4ab）2-4×（a2-b2）（b2-a2）=4（a2+b2）2，
∴x==，
解得：x1==，x2=-．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
解：设方程的另一根为x2，则
﹣1+x2=﹣1，
解得x2=0．
把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，
解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设经过xs△PCQ的面积是2cm2，由题意可得QC=xcm，PC=（6-x）cm，根据锐角三角函数再求得PC边上的高为xcm，根据三角形的面积公式列出方程（6﹣x）×x=2，解方程即可.
解：设经过xs△PCQ的面积是2cm2，由题意得
（6﹣x）×x=2
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2cm2．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
解：
（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1=1的情况．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；
（2）先把k=﹣2代入原方程得到4x2﹣6x+1=0，根据根与系数的关系得xl+x2=，xl x2=，由于xl是原方程的解，则4x12﹣6x1+1=0，即4x12=6x1﹣1，所以4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1，然后利用整体思想计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠2；
（2）当k=﹣2时，方程变形为4x2﹣6x+1=0，则xl+x2=，xl x2=，
∵xl是原方程的解，
∴4x12﹣6x1+1=0，
∴4x12=6x1﹣1，
∴4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1=6×﹣1=8．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．
【考点】 一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．.
【分析】（1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据购买健身器材的费用不超过总投入的，列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果；
（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果；
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m），根据2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：30﹣x≤×30，
解得：x≥10，
则2014年最低投入10万元购买商品；
（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，
则2014年购买药品的总费用为16万元；
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m），
2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m） （1﹣m）=（1+50%）×14×，
解得：m=±，
∵m＞0，∴m==50%，
∴200（1+m）=300（户），
则2015年该社区健身家庭的户数为300户．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1），（2）-, （3）.
【解析】试题【分析】由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，然后把要求值的代数式进行变形，把得到的数值代入即可求值.
试题解析： 由题意得：x1＋x2＝，x1·x2＝－ ；
（1）x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝()2-2×（-）＝ ；
（2）= ＝ =- ；
（3）x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=()2-5×（-）= .
【考点】 一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11．
答：该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品．
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