第2章 一元二次方程单元检测B卷(含解析)

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第2章 一元二次方程单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2 ， 则它移动的距离AA′等于（　　）
A、0.5cm B、1cm C、1.5cm D、2cm
等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A．（x+）2= B．（x+）2=
C．（x﹣）2= D．（x﹣）2=
关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
A． m≤ B． m≤且m≠0 C． m＜1 D． m＜1且m≠0
已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（　　）
A．﹣12 B．﹣1 C．4 D．无法确定
欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）
A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是　 　．
在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。
已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则= .
已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式的值为 ．
如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=
如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么x+y的值是　_________　．
如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为　　．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
已知a、b、c为三角形三个边，+bx（x-1）=-2b是关于x的一元二次方程吗？
先化简，再求值：
，其中a满足.
已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
某商场2017年7月份的营业额为160万元，9月份的营业额达到250万元，7月份到9月份的月平均增长率相等.
（1）求7月份到9月份的月平均增长率？
（2）按照此增长速率，10月份的营业额预计达到多少？
已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．
根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．
答案解析
一 、选择题
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
解：由一元二次方程的定义可知，
解得m=﹣3．
故选C．
【点评】要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件，当m﹣3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则k≠0．
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
【考点】一元二次方程的应用，平行四边形的性质，正方形的性质，平移的性质
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x ， 则阴影部分的底长为x ， 高A′D=2-x ， 根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解 解: 设AC交A′B′于H ，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x ， 则阴影部分的底长为x ， 高A′D=2-x
∴x （2-x）=1
∴x=1
即AA′=1cm ．
故选B．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．
解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得：x1=3，x2=4，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．
故选C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+x=﹣，
x2+x+（）2=﹣+（）2，
（x+）2=，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
【考点】 根的判别式；根与系数的关系．
【分析】 先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．
解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，
∴m≤，
∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤且m≠0．
故选：B．
点评： 此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】把m﹣n2=1变形为n2=m﹣1，代入所求式子，根据配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
解：∵m﹣n2=1，
∴n2=m﹣1，
m≥1，
∴m2+2n2+4m﹣1
=m2+2m﹣2+4m﹣1
=m2+6m﹣3
=（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥16，
∴（m+3）2﹣12≥4．
故选：C．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．
【考点】一元二次方程的根，勾股定理
【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 代入b和a即可得到答案
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ，
因为AC=b，BD=BC=，
所以b2+=，
整理可得AD2+aAD=b2 ， 与方程x2＋ax=b2相同，
因为AD的长度是正数，所以AD是x2＋ax=b2的一个正根
故答案为B。
【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．
【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．
解：解不等式组得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，
故选C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．
二 、填空题
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键
解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2 ， 由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
0
【解析】根据题意得α+β=3，αβ =﹣4，
所以原式=α（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0，
故答案为：0．
【考点】 解一元二次方程－直接开平方法．
【分析】 利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．
解：∵x2=（ab＞0），
∴x=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，
∴=2，
∴=4.．
故答案为4．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
【分析】根据x2+y2-2x-4y+5=0，通过配方求出x，y的值，再把它代入要求的式子，即可得出答案．
解：∵x2+y2-2x-4y+5=0，
∴x2-2x+1+y2-4y+4=0，
（x-1）2+（y-2）2=0，
∴x=1，y=2，
∴=2-=1.5；
故答案为：1.5．
解：如果、是两个不相等的实数，且满足，，
则、是关于的一元二次方程的两根，
∴，，
＝＝
＝2020
【考点】 换元法解一元二次方程．
【分析】 设2x+2y=t，以t代替已知方程中的（2x+2y），列出关于t的新方程，通过解新方程即可求得t的值．
解：设2x+2y=t，则由原方程，得
（t+1）（t﹣1）=63，即t2=64，
直接开平方，得
t=8或t=﹣8．
①当t=8时，2x+2y=8，则x+y=4．
②当t=﹣8时，2x+2y=﹣8，则x+y=﹣4．
综上所述，x+y的值是4或﹣4．
故答案是：4或﹣4．
点评： 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【分析】连接PB，PC．分三种情况：①若PB=PC，设P（x，），过P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中根据勾股定理解得x，从而确定P点坐标；②若BP=BC，则BP=1，连接OB．在Rt△OBC中根据勾股定理求出OB，从而得出P为线段OB中点，求出P点坐标；③若CP=CB，则CP=1，PO=PC，P在OC中垂线上．设P（，y），过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中根据勾股定理求出P点坐标即可．
解：连接PB，PC，
①若PB=PC，则P在BC的中垂线y=上，
∴设P（x，），
如图，过P作PH⊥x轴于H，
在Rt△OPH中，PH=，OH=x，OP=1，
∴x2+=1，
解得：x1=，x2=﹣（不合题意），
∴P（，）；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，
∵OP=1，
∴OP+PB=2，
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB==2，
∴OP+PB=OB，
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（，1），
∴P（，）；
③若CP=CB，则CP=1，
∵OP=1，
∴PO=PC，则P在OC的中垂线x=上，
∴设P（，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=，OP=1，
∴y2+=1，
解得：y1=，y2=﹣，
∴P（，）或（，﹣），
当点P（，﹣）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
故答案为：（，）或（，﹣）．
三 、解答题
【考点】一元二次方程的定义
【分析】首先将+bx（x-1）= -2b化简整理成（a+b-c）-bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．
解：化简+bx（x-1）= -2b，得（a+b-c）-bx+2b=0，
∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，即a+b-c＞0，
∴+bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程．
QUOTE
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程a2+2a﹣24=0的根求出a的值，把a的值代入进行计算即可．
解：原式=
=
=，
∵a满足a2+2a﹣24=0，
∴a=4（舍）或a=﹣6，
当a=﹣6时代入求值，原式=．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）将k=1代入方程，由韦达定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2可得．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．
（1）月平均增长率为；（2）2017年10月份的营业额预计312.5万元.
【分析】（1）设7月份到9月份的月平均增长率为x，由增长率问题的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）求出的x的值由增长率问题就可以求出结论．
解： （1）设月平均增长率为x，依题意得：
解得： =25%， （舍去）．
答：7月份到9月份的月平均增长率为25%．
（2）250×（1+）=312.5 万元．
答：2017年10月份的营业额预计312.5万元．
点睛：本题考查了根据增长率问题的数量关系列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由增长率问题的数量关系建立方程是关键．
【考点】 根的判别式；根与系数的关系．
【分析】 （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；
（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．
解：（1）由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，
则m的范围为m≠0且m≠2；
（2）方程解得：x=，即x=1或x=，
∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，
∵＞﹣1，
∴＞﹣1，即m＞﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=﹣1．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．
【考点】一元二次方程的应用；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率．
解：（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.1，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．
解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n=①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48×≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；
（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；
（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5﹣，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=，此时△PBQ的面积是否为，计算即可．
解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）=××6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；
（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2=，
答：秒钟后，P、Q相距6厘米；
（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
①当PQ平分△ABC面积时，
S△PBQ=S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）=××8×6，
解得：t1=5+，t2=5﹣，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4，
∴t1=5+不符合题意，舍去，
当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3，
另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1，
25﹣3≠3﹣1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t=，
当t=时，PB=6﹣=，
BQ=8﹣2×=，
∴S△PBQ=××=≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．
【点评】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．
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