21．1 第1课时 二次根式的概念
知识点 1 二次根式的概念
1．如果是二次根式，那么－x________0，则x________0.
2．下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
3．下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？
， ， －，， (x≥0)， ，.
知识点 2 二次根式有意义的条件
4．如果二次根式在实数范围内有意义，那么必须使3x－1________0，所以当x________时，二次根式在实数范围内有意义．
5．如果无意义，那么字母x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
6．求使下列各式有意义的字母x的取值范围．
(1)； (2)；
(3)； (4).
7．当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是( )
①；②；③；④；⑤.
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
8．［2017·绵阳］使代数式＋有意义的整数x有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：(1)要使此式有意义，字母x必须取大于或等于2的实数；(2)此式的值恒为非正数．
这个二次根式可以是__________ .
10．［教材练习第2题变式］当x取何值时，下列各式有意义？
(1)＋； (2).
11．若x，y为实数，且＋＋y＝8，求xy的值．
1．≥ ≤ 2.A
3．解：，－，(x≥0)，是二次根式；，，不是二次根式．理由：，－，(x≥0)，符合二次根式的概念，故是二次根式.的根指数是3，故不是二次根式；的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；的被开方数a－2的正负不能确定，故也不一定是二次根式．
4．≥ ≥ 5.D
6．(1)x≤ (2)x≥－ (3)x>1 (4)x>－1
7． D
8．B 9．答案不唯一，如－
10．解：(1)由原式有意义可得∴＜x≤3.
(2)根据题意，得由①得x≥－3，由②得x≠±4，故当x≥－3且x≠4时，原式有意义．
11．解：由已知可得∴x＝，∴y＝8，∴xy＝4.
21.1 第2课时 二次根式的性质
知识点 1 二次根式的非负性
1．若＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2018＝( )
A．－1 B．1 C．32018 D．－32018
2．若|x－y|＋＝0，则xy－3的值为________．
知识点 2 二次根式的性质()2＝a(a≥0)
3．计算()2的结果是( )
A．225 B．15 C．±15 D．－15
4．把4写成一个正数的平方的形式是( )
A．(2)2 B．()2
C．(±2)2 D．(±)2
5．计算：
(1)()2； (2)(－ )2.
知识点 3 二次根式的性质＝|a|
6．计算：＝|________|＝________．
7．下列计算正确的是( )
A．()2＝25 B．()2＝3
C.＝－3 D.＝0
8．计算：
(1)； (2).
9．若＋＝0，则(x＋y)2019的值为( )
A．5 B．－5 C．1 D．－1
10．若＝3－x，则x的取值范围是________．
11．［教材习题第2题变式］计算：
(1)＋；
(2)－(a>0)．
12．阅读材料，解答问题．
例：若代数式＋的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
图21－1－1
解：原式＝|a－2|＋|a－4|.
在数轴上看，应分三种情况讨论：
①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；
②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；
③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.
通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.
(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？
(2)化简：＋.
1．B 则原式＝(－1)2018＝1.
3．B
4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D
8．(1) (2)7
9． D 10． x≤3
11．解：(1)原式＝3＋＝3.
(2)原式＝a＋3－a＝3.
12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想．
(2)原式＝|3－a|＋|a－7|.
①当a＜3时，原式＝3－a＋7－a＝10－2a；
②当3≤a≤7时，原式＝a－3＋7－a＝4；
③当a＞7时，原式＝a－3＋a－7＝2a－10.
21.2.1 二次根式的乘法
知识点 1 ＝·成立的条件
1．如果等式·＝成立，那么有x＋1________0，1－x________0，所以x的取值范围是__________．
2．若·＝成立，则下列说法正确的是( )
A．a≥0，b≥0 B．a>0，b>0
C．a≤0，b≤0 D．a<0，b<0
知识点 2 二次根式的乘法法则的应用
3．计算：×＝＝＝____________．
4．下列计算正确的是( )
A.×＝ B.×＝
C.×＝ D.×＝
5．［教材例1变式］计算：
(1)×； (2)×；
(3)6×(－3); (4)××.
6．下列运算正确的是( )
A．2×3＝6 B.a·a＝4a
C.＝a3 D.×＝
7．阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容．
()2＝× ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
＝a. ⑤
(1)由上述过程可知a的取值范围为________；
(2)上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．
8．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为80米，宽设计为3 米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？
9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”)：
(1)2＋________2××；
(2)3＋3________2××；
(3)9＋16________2××；
…
通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由．
教师详答
≥ ≥ －1≤x≤1
2. A
3. 8 4 2
4． B 5．(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝6.
(3)原式＝6×(－3)×＝－18×4＝－72.
(4)原式＝＝＝6.
6. D
7． (1)a≤0 (2)⑤ －a
8．解：80 ×3 ＝(80×3)×＝240×＝7200(米2)．
9．解：(1)> (2)＝ (3)>
规律：a＋b≥2 ·(a≥0，b≥0)．
理由：∵a＝()2，b＝()2(a≥0，b≥0)，
∴a＋b－2 ·＝()2－2 ·＋()2＝(－)2≥0，
∴a＋b≥2 ·(a≥0，b≥0)．
21.2.2 积的算术平方根
知识点 1 ＝·成立的条件
1．若等式＝·成立，则有________≥0，________≥0，所以a的取值范围是________．
2．若＝·成立，则( )
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0
C．a≤0，b≥0 D．ab≥0
知识点 2 积的算术平方根的应用
3.＝×＝______×______＝______．
4．二次根式的计算结果是( )
A．2 B．－2 C．6 D．12
5．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
6．［教材例2变式］化简：
(1)－； (2).
7．有下列各式：①×＝3；②＝9；③＝×；④＝2；⑤＝15；⑥＝7.其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．若一个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为 cm，则它的体积为________ cm3.
9．若是整数，则正整数n的最小值为________．
10. 已知a＝，b＝，用只含a，b的代数式表示，这个代数式是__________．
11．计算下列各式：
(1)2 (a>0，b>0)； (2).
12．已知m＝(－)×(－2 )，则有( )
A．5.0＜m＜5.1 B．5.1＜m＜5.2
C．5.2＜m＜5.3 D．5.3＜m＜5.4
13．［阅读思考］ 阅读探究：＝24，××＝24；
＝0.018，×××＝0.018.
(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0时，与··的关系是什么？
(2)根据以上式子，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，可以转化为什么？
教师详答
a＋8 a－8 a≥8
B
3．100 10 5
4. A
5．解：(1)原式＝＝×＝6 .
(2)原式＝＝×＝10×2＝20.
(3)原式＝×＝×＝.
(4)原式＝＝×＝5×7＝35.
6．解：(1)－＝－＝－5 .
(2)＝＝·＝a2.
7． B
8．12
9．5 10.a2b 11．解：(1)原式＝2×2ab＝4ab.
(2)原式＝＝·＝a2.
12．C [
13．解：(1)＝··.
(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，＝···…·.
21.2.3 二次根式的除法
知识点 1 ＝成立的条件
1．若＝成立，则有x________0，x＋1________0，所以x的取值范围是________．
2．等式＝成立的条件是( )
A．a，b异号 B．a>0，b>0
C．a≥0，b≥0 D．a>0，b≤0
知识点 2 二次根式的除法
3．计算：＝＝＝________．
4．计算：
(1)； (2)；
(3)÷； (4).
知识点 3 商的算术平方根
5．计算：＝＝________．
6．若＝成立，则x的取值范围是( )
A．－3≤x＜3 B．x＜3
C．x＞－3 D．－3＜x≤3
7．化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
知识点 4 最简二次根式
8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A．－ B. C. D.
9．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．
①； ②； ③； ④.
10．化简：
(1)； (2)；
(3)； (4)4 .
11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝，②·＝1，③÷＝－b中，正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
12．若和都是最简二次根式，则mn＝________．
13．［教材习题21.2第2题变式］计算：
(1)×÷；
(2)÷×；
(3)3 ÷ ×.
14．王聪学习了二次根式的除法公式＝后，他认为该公式逆过来＝也应该成立，于是这样化简了下面这道题：＝＝＝＝＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．
15．请先化简÷，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．
16．观察下面的式子：＝2，＝3，＝4，….
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；
(2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并给出证明．
教师详答
1．≥ > x≥0
2. D
3. 48 3 16 4
4．(1) (2)2 (3) (4) 5.2 9
6．A
7．解：(1)＝＝.
(2)＝＝.
(3)＝＝＝.
(4)＝＝＝.
8．A 9．3
10．解：(1)＝＝.
(2)＝＝＝.
(3)＝＝＝.
(4)4 ＝4 ＝＝＝.
11． B
12． 1 13．解：(1)原式＝＝＝ .
(2)原式＝＝＝＝ .
(3)原式＝÷ ×
＝－÷×
＝－2 ××
＝－2 ××＝－＝－.
14．解：不对．
理由：因为有意义，而中的二次根式无意义．
改正：＝＝＝3.
15．解：由题意得x>1,
所以原式＝·
＝＝ ＝.
代入求值答案不唯一，如：当x＝4时，原式＝2.
当x＝9时，原式＝3.
16．解：(1)答案不唯一，如＝5 ，＝6 ，＝7 .
(2)规律：＝(n＋1).
证明：＝＝＝(n＋1).
21.3 二次根式的加减
知识点 1 同类二次根式
1．下面与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与合并的是( )
A. B. C. D.
3．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )
A．2 与 B. 与
C. 与 D. 与
4．已知最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
知识点 2 二次根式的加减
5．计算：＋＝________＋＝(________＋________)＝________．
6．计算－6的结果是________．
7． 计算4＋3－的结果是__________．
8．计算：
(1)10－6＋3；
(2)－＋；
(3)4＋－＋4.
知识点 3 二次根式的混合运算
9．计算：(3＋)(3－)＝________．
10．［教材练习第2题变式］计算：
(1)(＋2)2; (2)(2－)2.
11．下列各数中，与2－的积为有理数的是( )
A．2＋ B．2－
C．－2＋ D.
12．若a，b为有理数，且＋＋＝a＋b，则ab的值为( )
A. B. C. D．2
13．已知a－b＝2 －1，ab＝，则(a＋1)(b－1)的值为________．
14．若等腰三角形的两边长分别为2 和5 ，则这个等腰三角形的周长是__________．
15．若a，b分别是6－的整数部分和小数部分，则2a－b的值是________．
16．计算：
(1)－×；
(2)(3 ＋4 )(4 －3 )；
(3)(10－6＋4)÷；
(4)－(－2)．
17．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如：3※2＝＝.求4※1＋8※12的值．
18．若a＝3－，求代数式a2－6a－2的值．
19．如图21－3－1，有一张边长为6 cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 cm.求：
(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
(2)长方体盒子的体积．
图21－3－1
20．已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求(x＋y2 )－(x2－5x)的值．
1．C
2. B
3. C
4．解：由已知可得3a－8＝17－2a，解得a＝5.
5．3 3 1 4
6．－
7. 2＋－2
8．解：(1)原式＝10×4 －6×3 ＋3×2 ＝(40－18＋6)＝28 .
(2)原式＝－2 ＋＝－.
(3)原式＝4 ＋3 －2 ＋4 ＝7 ＋2 .
9．7
10．解：(1)原式＝5＋4 ＋4＝9＋4 .
(2)原式＝12－4 ＋2＝14－4 .
11． A 12． C
13．－ 14．10 ＋2
15．
16．解：(1)原式＝－＝3－2＝1.
(2)原式＝3 ×4 －3 ×3 ＋4 ×4 －4 ×3 ＝24－9 ＋16 －36＝7 －12.
(3)原式＝－＋＝10 －6 ＋4 ＝20 －12＋4 ＝24 －12.
(4)原式＝5－2 ×＋＋2 ＝5－5 ＋＋2 ＝－5 ＋2 .
17．解：4※1＝＝，8※12＝＝－＝－，
所以4※1＋8※12＝－＝－.
18．解：解法一：原式＝(3－)2－6×(3－)－2＝9－6 ＋10－18＋6 －2＝－1.
解法二：因为a＝3－，所以a－3＝－，两边同时平方，得a2－6a＋9＝10，所以a2－6a＝1，所以a2－6a－2＝－1.
19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积：
(6 )2－4×()2＝64(cm2)．
(2)长方体盒子的体积：
(6 －2 )×(6 －2 )×＝32 (cm3)．
20．解：∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，
∴(2x－1)2＋(y－3)2＝0，∴x＝，y＝3.
－
＝－(x－5)
＝2x＋－x＋5
＝x＋6 .
当x＝，y＝3时，
原式＝ ＋6 ＝＋3 .
