物理：4.3《共点力的平衡及其应用》学案（沪科版必修1）

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共点力的平衡及其应用 学案
一周强化
一、一周知识概述
　　本章主要研究的是物体在共点力的作用下的平衡,要求掌握共点力的概念,掌握什么是共点力的平衡,学会灵活的运用整体法,隔离法分析物体的平衡,要熟练的运用平行四边形合成法,矢量三角形法,正交分解法列平衡方程.
二、重难点知识的归纳与讲解
(一)平衡状态
　　一个物体在共点力作用下，如果保持静止或匀速直线运动，则这个物体就处于平衡状态。如光滑水平面上匀速直线滑动的物块、沿斜面匀速直线下滑的木箱、天花板上悬挂的吊灯等，这些物体都处于平衡状态。
　　注意：①物体处于平衡状态时分为两类：一类是共点力作用下物体的平衡；另一类是有固定转动轴物体的平衡。在这一节我们只研究共点力作用下物体的平衡。
　　共点力作用下物体的平衡又分为两种情形，即静平衡(物体静止)和动平衡(物体做匀速直线运动)。
　　②对静止的理解：静止与速度v=0不是一回事。物体保持静止状态，说明v=0，a=0，两者同时成立。若仅是v=0，a≠0，如上抛到最高点的物体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态。所以平衡状态是指加速度为零的状态，而不是速度为零的状态。
(二)共点力作用下的平衡条件
　　处于平衡状态的物体，其加速度a=0，由牛顿第二定律F=ma知，物体所受合外力F合=0，即共点力作用下物体处于平衡状态的力学特点是所受合外力F合=0。
　　例如下左图所示中，放在水平地面上的物体保持静止，则所受重力和支持力是一对平衡力，其合力为零。
　　又如上右图所示中，若物体沿斜面匀速下滑，则F与FN的合力必与重力G等大反向，故仍有F合=0。
　　注意：(1)若物体在两个力同时作用下处于平衡状态，则这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上，其合力为零，这就是初中学过的二力平衡。
　　(2)若物体在三个非平行力同时作用下处于平衡状态，这三个力必定共面共点(三力汇交原理)，合力为零，称为三个共点力的平衡，其中任意两个力的合力必定与第三个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。
　　(3)物体在n个非平行力同时作用下处于平衡状态时，n个力必定共面共点，合力为零，称为n个共点力的平衡，其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大反向，作用在同一直线上。
　　由牛顿第二定律知道，作用于物体上力的平衡是物体处于平衡状态的原因，物体处于平衡状态是力的平衡的结果。
(三)共点力平衡条件的应用
　　注意：(1)在共点力作用下物体处于平衡状态，则物体所受合力为零，因此物体在任一方向上的合力都为零。
　　(2)如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则该方向上合力为零，因此可以在该方向上应用平衡条件列方程求解。
1、求解共点力作用下物体平衡的方法
　　(1)解三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题。根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这一三角形求解平衡问题。解三角形多数情况是解直角三角形，如果力的三形角并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形，确实不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解。
　　(2)正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便。将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程，此时平衡条件可表示为
　　注意：应用正交分解法解题的优点
　　①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；
　　②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；
　　③当所求问题有两个未知条件时，可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解过程更方便。
2、解共点力平衡问题的一般步骤
　　(1)选取研究对象；
　　(2)对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力示意图；
　　(3)对研究对象所受的力进行处理。一般情况下需要建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行正交分解；
　　(4)建立平衡方程。若各力作用在同一直线上，可直接用F合=0的代数式列方程，若几个力不在同一直线上，可用Fx合=0与Fy合=0联立列方程组；
　　(5)利用方程组求解，必要时需对解进行讨论。
　　注意：建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数，从而达到简化计算的目的。
三、典例解析
1.解三角形法
例1、三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端都固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（　）
A．必定是OA　　　　　　　　　　　　B．必定是OB
C．必定是OC　　　　　　　　　　　　D．可能是OB，也可能是0C
解法一：
　　三根绳子能承受的最大拉力相同，在增大C端重物质量的过程中，判断谁先断，实际是判断三根绳子谁承担的拉力最大。O点所受三力如甲图所示，由于三力平衡，即F1与F2的合力F与F3相平衡，从图中直接看出，F1是直角三角形的斜边，F2、F3均为直角边，因此F1必大于F2和F3。当增大C端重物质量时，OA首先承受不了，它先断，选A。
解法二：
　　三力F1、F2、F3平衡，则首尾相接必成一封闭三角形，如乙图所示，由图看出F1是直角三角形的斜边，最大，因而OA先断。
　　注意:在处理共点力平衡问题时，判断物体是否处于平衡状态，对平衡物体正确的进行受力分析，依据共点力的平衡条件确定各力间关系，是分析求解共点力平衡问题的思路要点。
例2、如图所示，物体Ａ沿倾角°的斜面匀速下滑，求物体Ａ与斜面间的动摩擦因数。
解：
　　解法1：如图所示，物体Ａ受到重力Ｇ、斜面支持力Ｎ和滑动摩擦力三个共点力作用，沿斜面匀速下滑，根据共点力的平衡条件，与Ｎ的合力Ｆ与Ｇ大小相等，文向相反，作用在一条直线上。利用解直角三角形的知识有
解得动摩擦因数为
°＝.
　　解法2: 将重力G沿斜面和垂直于斜面方向分解，如图所示，根据共点力的平衡条件

　　在沿斜面方向上有：
　　在垂直斜面方向上有：
　　
　　
　　
　　解得动摩擦因数为°＝.
　　此题给出了一种测定物体与长板间的动摩擦因数的简单易行的方法。
例3、如图所示，质量为m的光滑圆球用绳OA拴住，靠在竖直墙上，绳子与墙面之间夹角为，求（1）绳子的拉力和墙对圆球的弹力各多大？（2）若OA绳缩短，使得角变大时，这两个力大小如何变化？
解：
　　（1）球受到重力Ｇ、绳的拉力Ｔ和墙的支持力Ｎ三个共点力作用，如图所示。球静止，由共点力平衡条件可知，拉力Ｔ和支持力Ｎ的合力Ｆ与重力G反向且等值，即Ｆ＝Ｇ＝mg
　　利用解直角三角形知识，解得绳的拉力和墙的支持力分别为
　　②
　　②
　　（2）球所受重力Ｇ是不变的，当绳缩短，角变大时，变小，变大，由式①可知，OA绳拉力Ｔ变大；由式②可知，墙对球的弹力Ｎ变大。
2.正弦定理。
　　对物体进行正确的受力分析，画出受力示意图，构造出矢量三角形。在矢量三角形中运用正弦定理求解或寻求矢量三角形与几何三角形相似求解，往往能巧妙地解决问题。
例4、长L的绳子，一端拴着半径为r的球，另一端固定在倾角为α的光滑斜面A点上，试求绳子的拉力。

分析：
　　如图，以N，T为邻近作平行四边形，求得合力为F，F与G等大，反向，共线。
　　在△FTO中==
　　∵F=G　　　　∴T=
3.相似三角形法
例5、如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，细线一端栓一小球A，另一端绕过定滑轮。今将小球从图中所示的初位置缓慢地拉至B点。在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN及细线的拉力F1的大小变化是（　）
A．FN变大，F1变小　　　　　　　　　　B．FN变小，F1变大
C．FN不变，F1变小　　　　　　　　　　D．FN变大，F1变大
分析：
　　小球受三个共点力作用，而处于动态平衡，可由共点力平衡条件，利用相似三角形法求解，见下图所示。
解：
　　由图可知，小球处于平衡状态，则支持力FN与拉力F1的合力F′与重力G大小相等。由于三个力构成的三角形与△O′AO相似，则有：
　　
　　由于在拉动小球的过程中，AO变短，R＋h及R不变故FN不变，F1变小，故只能C正确。
答案：C
4.正交分解法
例6、质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。
分析：
　　本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即
解：
　　解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：
　　　　　　（1）
　　　　（2）
　　联立式（1）（2）解得
　　据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为
　　解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：
　　
　　∴　　同理　　
说明：
　　（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。
　　（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件列式子求解
　　（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。
　　（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时很方便。
5.三角形法
例7、如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。
分析：
　　本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。
解：
　　由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ′时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。
说明：
　　封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。
6、极限分析法
　　当物体受几个力作用，出现临界状态（平衡态恰好出现变化或恰好不出现变化）时，采用极限分析法，把某个没有给定数值的力推向极端（“极大”或“极小”）来分析，从得出“恰好出现”或“恰好不出现”的结果。
例8、倾角为θ的斜面上的物体M在沿斜面向上的力F的作用下处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力的（　）
A．方向可能沿斜面向上
B．方向可能沿斜面向下
C．大小可能等于零
D．大小可能等于F
分析：
　　现用极限法来分析各种可能性。
　　⑴当F足够大时，会使物体有向上的滑动趋势，此时物块受到的静摩擦力沿斜面向下，∴B正确；
　　⑵当F足够小时，物体有向下的滑动趋势，受到的摩擦力方向沿斜面向上，∴A正确；
　　⑶在第⑵情况中有方程F+f=mgsinθ.因F大小未知，所以由此方程可讨论当f=0或f=F时方程仍然成立，∴C，D正确。
7、整体法和隔离法
　　对于联接体的平衡问题，往往采用整体法和隔离法相结合。通常在分析外力对整体的作用时用整体法；在分析系统内部各物体之间的相互作用时，用隔离法。
例9、如图，两块同样的条形磁铁A，B，将它们竖直叠放在水平桌面上，用弹簧称通过一根细绳竖直向上拉磁铁若弹簧称的读数为mg，则B对A的弹力F1及桌面对B的弹力F2分别为（　）
A．F1=0，F2=mg　　　　　　　　B．F1=mg, F2=0
C．F1＞0, F2＜mg　　　　　　　D．F1＞0, F2=mg
分析：
　　因为桌面对B的弹力F2为外力对系统的作用，所以应该用整体法。对AB系统有平衡方程F＋F2=2mg,∴F=2mg－F=2mg－mg=mg.而B对A的弹力为A受力，所以用隔离法。对A有平衡方程F＋F1=mg＋F3（F3为B对A的吸引力），则F1=mg＋F3－F=mg＋F3－mg=F3＞0.∴D正确。
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