22.2.1 第1课时 直接开平方法
知识点 1 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
1．解方程：x2＝25.
因为x是25的平方根，所以x＝________．
所以原方程的解为x1＝________，x2＝________．
2．一元二次方程x2－4＝0的解是( )
A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2
C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
3．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－5＝0; (2)16x2＝81；
(3)5x2－125＝0; (4)x2－5＝.
知识点 2 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程
4．将方程(2x－1)2＝9的两边同时开平方，
得2x－1＝________，
即2x－1＝________或2x－1＝________，
所以x1＝________，x2＝________．
5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )
A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0
C．x2＋2＝0 D．(x－1)2＝(－2)2
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)(x＋2)2＝27； (2)(x－3)2－9＝0；
(3)(2x－8)2＝16； (4)9(3x－2)2＝64.
7．若a，b为方程x2－4(x＋1)＝1的两根，且a＞b，则＝( )
A．－5 B．－4 C．1 D．3
8．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的根是( )
A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 ，x2＝－2
9．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝________．
10．已知直角三角形的两边长x，y满足＋＝0，求这个直角三角形第三边的长．
11． ［2017·河北］对于实数p，q，我们用符号min表示p，q两数中较小的数，如min＝1.因此，min＝________；若min＝1，则x＝________．
1．±5 5 －5 2.A
3．解：(1)x2＝5，x＝±，即x1＝，x2＝－.
(2)∵x2＝，∴x＝±，
即x1＝，x2＝－.
(3)∵5x2＝125，
∴x2＝25，
∴x＝±5，即x1＝5，x2＝－5.
(4)x2－5＝，x2＝，解得x1＝，x2＝－.
4．±3 3 －3 2 －1
5．C [解析] x2－3＝0移项得x2＝3，可用直接开平方法求解；(x－1)2－4＝0移项得(x－1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x－1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.
6．解：(1)∵x＋2＝±，
∴x＝－2±3 ，
∴x1＝－2＋3 ，x2＝－2－3 .
(2)∵(x－3)2－9＝0，
∴(x－3)2＝9，
∴x－3＝±3，
∴x1＝6，x2＝0.
(3)∵2x－8＝±，
∴2x＝8±4，
∴x1＝6，x2＝2.
(4)∵(3x－2)2＝，
∴3x－2＝或3x－2＝－，
解得x1＝，x2＝－.
7．A [解析] x2－4(x＋1)＝1，
∴x2－4x－4＝1，
∴(x－2)2＝9，
∴x1＝5，x2＝－1.
∵a，b为方程x2－4(x＋1)＝1的两根，且a>b，
∴a＝5，b＝－1，
∴＝＝－5.
故选A.
8． B [解析] 由函数y＝x3得n＝3，则y′＝3x2，
∴3x2＝12，则x2＝4，∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.故选B.
9． 3 [解析] (x2＋y2－1)2＝4直接开平方得x2＋y2－1＝±2.解得x2＋y2＝3或x2＋y2＝－1.
∵x2≥0，y2≥0，
∴x2＋y2＝3.
10．解：根据题意，得x2－16＝0，y2－9＝0，所以x＝±4，y＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为＝，所以这个直角三角形第三边的长为或5.
11．－ 2或－1 [解析] min{－，－}＝－.
∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，
当x>0.5时，(x－1)2x－1＝±1，
即x－1＝1或x－1＝－1，
解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；
当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.
综上所述，x的值为2或－1.
22.2.1 第2课时 因式分解法
知识点 1 解形如ab＝0的方程
1．因为(x－1)(x＋2)＝0，所以x－1________0或x＋2________0，解得x1＝________，x2＝________．
2．下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( )
A．(x＋5)(x＋7)＝0 B．(x－5)(x－7)＝0
C．(x＋5)(x－7)＝0 D．(x－5)(x＋7)＝0
知识点 2 利用提公因式法解一元二次方程
3．将方程4x2－3x＝0左边提公因式后，得x(4x－3)＝0，必有________＝0或________＝0，解这两个方程，得原方程的根为x1＝________，x2＝________．
4．方程x2＝2x的根是( )
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝，x2＝0 D．x＝0
5．方程x(x－2)＋x－2＝0的根是( )
A．x＝2 B．x1＝－2，x2＝1
C．x＝－1 D．x1＝2，x2＝－1
6．用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＝x； (2)3x(x－2)＝2(2－x)．
知识点 3 利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程
7．由4y2－9＝0，可得(______)2－32＝0，则(2y＋3)(______)＝0，所以______＝0或______＝0，解得y1＝________，y2＝________．
8．方程x2－4x＋4＝0的解是____________．
9．运用平方差公式或完全平方公式解方程：
(1)9y2－16＝0; (2)16(x－1)2＝225；
(3)2x2－4x＝－2; (4)25x2＝10x－1.
10．定义一种新运算：a▲b＝a(a－b)，例如4▲3＝4×(4－3)＝4.若x▲2＝3，则x的值是( )
A．x＝3 B．x＝－1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
11．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为2和－5，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )
A．(x＋2)(x－5) B．(x－2)(x＋5)
C．(x＋2)(x＋5) D．(x－2)(x－5)
12．［2016·青海改编］已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x－2)(x－4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )
A．8 B．10
C．8或10 D．12
13．关于x的一元二次方程m(x－p)2＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x－p＋5)2＋n＝0的根是____________．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)［教材例2(2)变式］3(x－)＝5x(－x)；
(2)［教材例3(2)变式］(2x－5)2－2＝0；
(3)x2＋3＝2(x＋1)；
(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.
15．小红解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0的过程如下：先将方程变为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边都除以(2x－5)得x＝4.请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．
16．先化简，再求值：·÷，其中x2－x＝1.
17．如果方程ax2－bx－6＝0与方程ax2＋2bx－15＝0有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一个根.
18．阅读下面的材料，并回答问题．
我们知道，把乘法公式(x±y)2＝x2±2xy＋y2和(x＋y)(x－y)＝x2－y2的左右两边交换位置，就得到了因式分解的公式：x2±2xy＋y2＝(x±y)2和x2－y2＝(x＋y)(x－y)．同样的道理，我们把等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的左右两边交换位置后，得到x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，也就是说，一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．所以在解方程x2＋3x＋2＝0时，可以把方程变形为(x＋1)(x＋2)＝0，所以x1＝－1，x2＝－2.请模仿这种解法，解下列方程：
(1)x2－2x－3＝0； (2)x2－5x＋4＝0.
教师详答
1．＝ ＝ 1 －2
2. D
3．x 4x－3 0
4．B [解析] x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，所以x1＝0，x2＝2.
故选B.
5．D [解析] 提取公因式x－2，解方程即可．
6．解：(1)移项，得x(x－2)－x＝0，提公因式，得x(x－2－1)＝0，即x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3.
(2)由原方程，得(3x＋2)(x－2)＝0，所以3x＋2＝0或x－2＝0，解得 x1＝－，x2＝2.
7．2y 2y－3 2y＋3 2y－3 －
8．x1＝x2＝2
9．解：(1)原方程可化为(3y＋4)(3y－4)＝0，
∴3y＋4＝0或3y－4＝0，∴y1＝－，y2＝.
(2)∵16(x－1)2－152＝0，
∴[4(x－1)＋15][4(x－1)－15]＝0，
∴4x＋11＝0或4x－19＝0，
∴x1＝－，x2＝.
(3)原方程可化为2x2－4x＋2＝0，两边同时除以2，得x2－2x＋1＝0，所以＝0，解得x1＝x2＝1.
(4)原方程可化为25x2－10x＋1＝0，
∴(5x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝.
10．D [解析] ∵x▲2＝3，∴x(x－2)＝3，整理得x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，所以x1＝3，x2＝－1.故选D.
11． B
12． B
[解析] ∵(x－2)(x－4)＝0，∴x1＝4，x2＝2.
由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2，
所以该等腰三角形的周长是4＋4＋2＝10.
故选B.
13． x1＝－8，x2＝－3 [解析] ∵关于x的一元二次方程m(x－p)2＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，
将方程m(x－p＋5)2＋n＝0变形为m[(x＋5)－p]2＋n＝0，则此方程中x＋5＝－3或x＋5＝2，解得x＝－8或x＝－3.
14．解：(1)原方程可化为
3(x－)＋5x(x－)＝0，
∴(x－)(3＋5x)＝0，
∴x－＝0或3＋5x＝0，
∴x1＝，x2＝－.
(2)原方程可化为(2x－5)2－22＝0，
∴(2x－5＋2)·(2x－5－2)＝0，
∴(2x－3)(2x－7)＝0，
∴2x－3＝0或2x－7＝0，∴x1＝，x2＝.
(3)原方程可化为x2－2x＋1＝0，∴(x－1)2＝0，∴x1＝x2＝1.
(4)原方程可变形为(x－2)2＝(3－2x)2，∴(x－2)2－(3－2x)2＝0，
∴[(x－2)＋(3－2x)][(x－2)－(3－2x)]＝0，
即(1－x)(3x－5)＝0，
∴1－x＝0或3x－5＝0，
∴x1＝1，x2＝.
15．小红的解法不正确．
正确解法如下：x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，
x(2x－5)－4(2x－5)＝0，
(2x－5)(x－4)＝0，
2x－5＝0或x－4＝0，
∴x1＝，x2＝4.
16．原式＝·÷
＝··(x＋1)(x－1)
＝(x－2)(x＋1)
＝x2－x－2.
∵x2－x＝1，
∴原式＝1－2＝－1.
17．把x＝3分别代入两个方程，
得
解得
把a＝1，b＝1代入ax2－bx－6＝0，得
x2－x－6＝0，
即(x－3)(x＋2)＝0，
解得x1＝3，x2＝－2，
所以方程ax2－bx－6＝0的另一个根为－2.
把a＝1，b＝1代入ax2＋2bx－15＝0，得
x2＋2x－15＝0,
即(x－3)(x＋5)＝0，
解得x1＝3，x2＝－5，
所以方程ax2＋2bx－15＝0的另一个根为－5.
18．解：(1)因为x2－2x－3＝0，
所以(x－3)(x＋1)＝0，
即x1＝3，x2＝－1.
(2)因为x2－5x＋4＝0，
所以(x－1)(x－4)＝0，
即x1＝1，x2＝4.
22.2.2 配方法
知识点 1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．用配方法解方程x2－6x＝16时，应在方程两边同时加上( )
A．3 B．9 C．6 D．36
2．把方程x2－10x＝－3的左边化成含x的完全平方式，其中正确的是( )
A．x2－10x＋(－5)2＝28
B．x2－10x＋(－5)2＝22
C．x2＋10x＋52＝22
D．x2－10x＋5＝2
3．填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1)x2＋4x＋______＝(x＋______)2；
(2)x2＋x＋______＝(x＋______)2；
(3)x2－2x＋______＝(x－______)2.
4．将方程x2－10x＋16＝0配方成(x＋a)2＝b的形式，则a＝________，b＝________．
5．用配方法解下列方程：
(1)［2016·淄博］x2＋4x－1＝0；
(2) x2－6x－4＝0；
(3)［2016·安徽］x2－2x＝4；
(4)t2＋15＝8t.
知识点 2 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
6．用配方法解方程2x2＋4x－1＝0的步骤：
移项，得________________，
二次项系数化为1，得____________________________________________，
方程两边同时加上1，得___________________________________________________，
即________________，解得____________________________．
7. 用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( )
A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝
C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝
8．某学生解方程3x2－x－2＝0的步骤如下：
解：3x2－x－2＝0→x2－x－＝0①→x2－x＝②→＝＋③→x－＝±④→x1＝，x2＝⑤.
上述解题过程中，开始出现错误的是( )
A．第②步 B．第③步
C．第④步 D．第⑤步
9．用配方法解方程：
(1)4x2＋12x＋9＝0; (2)2x2－8x＋3＝0；
(3)2x2＋4x＋1＝0; (4)6x2－x－12＝0.
10．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )
A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3
C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3
11．在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．x2－2x－99＝0?(x－1)2＝100
B．2t2－7t－4＝0?(t－)2＝
C．x2＋8x－9＝0?(x＋4)2＝25
D．y2－4y＝2?(y－2)2＝6
12．利用配方法将x2＋2x＋3＝0化为a(x－h)2＋k＝0(a≠0)的形式为( )
A．(x－1)2－2＝0 B．(x－1)2＋2＝0
C．(x＋1)2＋2＝0 D．(x＋1)2－2＝0
13．已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2018＝________．
14．当x＝__________时，代数式3x2－2x＋1有最________值，这个值是________．
15．解方程：
(1)x(2x＋1)＝5x＋70；
(2)x2＋3＝2 x.
16．用配方法说明代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．
17．阅读材料后再解答问题：
阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解．
[阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0变形可得x2＋2x＋1＝35＋1，即左边为边长是x＋1的正方形的面积，右边为36，所以(x＋1)2＝36，取正根得x＝5.
请你运用上述方法求方程x2＋8x－9＝0的正根．
图22－2－1
1．B
2．B [解析] x2－10x＝－3，x2－10x＋(－5)2＝－3＋(－5)2，即x2－10x＋(－5)2＝22.
故选B.
3．(1)4 2 (2) (3)1 1
4．－5 9 [解析] 将原方程配方，得(x－5)2＝9.
5．解：(1)原方程可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，
直接开平方，得x＋2＝±，
解得x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)移项，得x2－6x＝4.
配方，得x2－6x＋9＝4＋9，
即(x－3)2＝13.
直接开平方，得x－3＝±，
所以x1＝3＋，x2＝3－.
(3)原方程两边都加上1，得x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5，
直接开平方，得x－1＝±，
所以x＝1±，
所以x1＝1＋，x2＝1－.
(4)移项，得t2－8t＝－15，
两边同时加上16可得t2－8t＋16＝－15＋16，即(t－4)2＝1，
直接开平方，得t－4＝±1，
所以t＝4±1，
所以t1＝5，t2＝3.
6．2x2＋4x＝1 x2＋2x＝ x2＋2x＋1＝＋1
(x＋1)2＝ x1＝－1＋，x2＝－1－
7．D [解析] 原方程为3x2－6x＋1＝0，移项，二次项系数化为1，得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋1＝－＋1，所以(x－1)2＝.
8．B [解析] 第③步，应在方程两边加上一次项系数一半的平方．
9．解：(1)移项，得4x2＋12x＝－9，
二次项系数化为1，得x2＋3x＝－，
配方，得(x＋)2＝0，
解得x1＝x2＝－.
(2)∵2x2－8x＋3＝0，
∴2x2－8x＝－3，
∴x2－4x＝－，
∴x2－4x＋4＝－＋4，
即(x－2)2＝，
∴x＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
(3)2x2＋4x＋1＝0，
∴2x2＋4x＝－1，
∴x2＋2x＝－，
∴x2＋2x＋1＝－＋1，
即(x＋1)2＝，则x＋1＝±，
∴x＝－1±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
(4)6x2－x－12＝0，∴6x2－x＝12，
∴x2－x＝2，
∴x2－x＋＝2＋，
即＝，
∴x－＝±，
∴x＝±，
即x1＝，x2＝－.
10．B 11．B 12．C
13．1 14． 小
15．解：(1)x(2x＋1)＝5x＋70.
去括号，得2x2＋x＝5x＋70.
移项、合并同类项，得2x2－4x＝70.
两边同除以2，得x2－2x＝35.
配方，得x2－2x＋1＝35＋1，
即(x－1)2＝36.
解得x1＝7，x2＝－5.
(2)移项并配方，得x2－2 x＋()2＝－3＋()2，即(x－)2＝0，
∴x1＝x2＝.
16．：因为(2x2－4x－1)－(x2－2x－4)
＝2x2－4x－1－x2＋2x＋4
＝x2－2x＋3
＝(x2－2x＋1)＋2
＝(x－1)2＋2＞0，
所以代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．
17．如图所示，大正方形的边长为x＋4，四个图形面积的和为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x＋16，而x2＋8x－9＝x2＋8x＋16－25＝0，
所以x2＋8x＋16＝25，
即(x＋4)2＝25，取正根得x＝1.
22.2.3 公式法
知识点 1 对求根公式的理解
1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________的形式，确定________，________，________的值，当________时，可得方程的根为______________．
2．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( )
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3
3．用公式法解方程(x＋2)2＝6x＋8时，b2－4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．－12
知识点 2 用公式法解一元二次方程
4．解下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A．(x＋2)2－16＝0 B．(x＋1)2＝4
C. x2＝1 D．x2－3x－5＝0
5．一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝－3
6．方程x2＋x－1＝0的正根是__________．
7．在一元二次方程2x2＋x＝6中，b2－4ac＝________，x1＝________，x2＝________．
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x＋1＝0; (2)4x2－12＝2x；
(3)x2－2x＋2＝0; (4)2x2＋8x－7＝0.
9．以x＝(b2＋4c≥0)为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
10．如图22－2－2所示，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则?ABCD的周长为( )
A．4＋2 B．12＋6
C．2＋2 D．2＋或12＋6
图22－2－2
11．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的根为( )
A．x＝－2
B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝
D．x1＝，x2＝
12．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1，则另一个根是________．
13．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋6＝0，若b2－4ac＝37，则m＝________．
14. 方程(x＋4)(x－5)＝1的根为____________．
15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．
16．［教材例6(4)变式］用公式法解下列方程：
(1)3y(y－3)＝2(y＋1)(y－1)；
(2)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
17．当m取何值时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x的一元二次方程？并求出此方程的解．
18．设a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，请你求出方程ax2＋bx＋c＝0的根．
19．阅读下列材料，解答问题：
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0(*)，解此方程得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x＝±，∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.
(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程：(x2－x)2－8(x2－x)＋12＝0.
20．已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a2－4a＋2018的值；
(2)化简并求值：－－.
1．ax2＋bx＋c＝0 a b c b2－4ac≥0 x＝
2．D
3．C 4．D 5．C
6.
7．49 －2
8．解：(1)∵a＝1，b＝－6，c＝1，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32>0，
∴x＝，
∴x1＝3＋2 ，x2＝3－2 .
(2)原方程可化为2x2－x－6＝0，
∴a＝2，b＝－1，c＝－6，
∴b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－6)＝49>0，
∴x＝，
∴x1＝2，x2＝－.
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝2，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，
∴原方程无解．
(4)∵a＝2，b＝8，c＝－7，
∴b2－4ac＝82－4×2×(－7)＝120>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
9．D 10． A 11． D
12．
13．± 14． x1＝，x2＝
15．－5
16．：(1)原方程可化为y2－9y＋2＝0，
∴a＝1，b＝－9，c＝2，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×1×2＝73>0，
∴y＝，
∴y1＝，y2＝.
(2)原方程可化为3x2－6x＋2＝0，
∴a＝3，b＝－6，c＝2，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
17．解：由题意得m2＋1＝2且m＋1≠0，
解得m＝1，
∴原方程是2x2－2x－1＝0，
解得x＝.
18．∵(2－a)2≥0，≥0，|c＋8|≥0，
而(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，
∴
解得
故所求方程为2x2＋4x－8＝0，即x2＋2x－4＝0，∴x＝－1±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
19．：(1)换元 转化
(2)设x2－x＝y，则原方程可化为y2－8y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝6.当y＝2时，x2－x＝2，解得x＝－1或x＝2；当y＝6时，x2－x＝6，解得x＝－2或x＝3，
∴原方程的解为x1＝－1，x2＝2，x3＝－2，x4＝3.
20．[全品导学号：15572071]解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根，
∴a2－4a＋1＝0，∴a2－4a＝－1，
∴a2－4a＋2018＝－1＋2018＝2017.
(2)原方程的解是x＝＝2±.
∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，
∴a＝2－，且a－1<0，
∴－－
＝－－
＝a－1－－
＝a－1＋－
＝a－1.
∵a＝2－，
∴原式＝2－－1＝1－.
22.2.4 一元二次方程根的判别式
知识点 1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况
1， 因为关于x的一元二次方程x2＋x＋2＝0中，a＝________，b＝________，c＝________，故Δ＝____________＝________，所以方程的根的情况是______________．
2．［2017·宜宾］一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
3．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1)16x2＋8x＝－3; (2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)3(x2－1)－5x＝0; (4)x(2x＋3)＝4x＋6.
知识点 2 根据方程根的情况确定未知字母的值或取值范围
4．［2017·安顺］若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )
A．0 B．－1 C．2 D．－3
5．如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是________．
知识点 3 证明含有字母的一元二次方程根的情况
6．［2016·临夏州］已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
7．［2017·包头］若关于x的不等式x－＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8．［2016·枣庄］若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
图22－2－3
9．［教材练习第2题变式］［2017·大庆模拟］关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，给出下列说法：①若a＋c＝0，则方程必有两个实数根；②若a＋b＋c＝0，则方程必有两个实数根；③若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2－5ac<0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
10．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
1．1 1 2 12－4×1×2 －7 没有实数根
2．B
3．解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得16x2＋8x＋3＝0.
∵a＝16，b＝8，c＝3，
∴b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0，
∴此方程没有实数根．
(2)∵a＝9，b＝6，c＝1，
∴b2－4ac＝36－36＝0，
∴此方程有两个相等的实数根．
(3)将一元二次方程化为一般形式，得
3x2－5x－3＝0.
∵a＝3，b＝－5，c＝－3，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
(4)将一元二次方程化为一般形式，得2x2－x－6＝0.
∵a＝2，b＝－1，c＝－6，
∴b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－6)＝49＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
4．D
5．c＞9 6．解：(1)根据题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，得1＋m＋m－2＝0，
解得m＝.
(2)证明：∵Δ＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
7．C 8． B
9．A
10．这个三角形是等腰三角形．理由：
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b－c≠0，[2(a－b)]2－4(b－c)(b－a)＝0，
∴a2－2ab＋b2－(b2－bc－ab＋ac)＝0，
∴a2－ab＋bc－ac＝0，
从而a(a－b)－c(a－b)＝0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a－b＝0或a－c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴这个三角形是等腰三角形．
*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积
1．［2016·黄冈］若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．－4 B．3 C．－ D.
2．［2016·金华］一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是( )
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2
知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
3．若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝( )
A．－6 B．32 C．16 D．40
4．［2017·盐城］若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．
知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根
5．［2017·新疆］已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是( )
A．－3 B．－2 C．3 D．6
6．［2016·潍坊］关于x的一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求该一元二次方程的另一个根及m的值．
7．若关于x的一元二次方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3 B．3
C．－2 D．－3或2
8．［教材练习第3(1)题变式］［2017·绵阳］关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为( )
A．－8 B．8 C．16 D．－16
9．［2017·广州］定义运算：a★b＝a(1－b)．若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜0)的两根，则b★b－a★a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．与m有关
10．［2017·荆门］已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x12＋x22＝________．
11．［2017·成都］已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．
12．［2017·十堰］已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
13．若a，b是方程x2＋x－2018＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b＝( )
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
14．已知关于x的方程x2＋(m－3)x－m(2m－3)＝0.
(1)证明：无论m为何值，方程都有两个实数根．
(2)是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．
1．D [解析] ∵方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－＝. 故选D.
2．C
3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，
所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.
4．5 [解析] 根据题意得x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1x2＋x2＝x1＋x2＋x1x2＝4＋1＝5.故答案为5.
5．A [解析] 设方程的另一个根为t，根据题意得2＋t＝－1，解得t＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.
6．解：设方程的另一个根为t.
依题意得3×＋m－8＝0，解得m＝10.
又t＝－，所以t＝－4.
故该一元二次方程的另一个根是－4，m的值为10.
7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m1＝3，m2＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(m＋6)2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m1＝6，m2＝－2，
∴m＝－2.
故选C.
8．C [解析] ∵关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，
∴－＝－1，＝－2，
∴m＝2，n＝－4，
∴nm＝(－4)2＝16.
故选C.
9． A [解析] ∵a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜0)的两根，
∴a＋b＝1，ab＝m.
∴b★b－a★a＝b(1－b)－a(1－a)＝b(a＋b－b)－a(a＋b－a)＝ab－ab＝0.
故选A.
10．23 [解析] ∵方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－5，x1·x2＝1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(－5)2－2×1＝23.
故答案为23.
11. [解析] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1·x2＝a，
由x12－x22＝10得(x1＋x2)(x1－x2)＝10.
∵x1＋x2＝5，
∴x1－x2＝2，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝25－4a＝4，
∴a＝.
故答案为.
12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k＋5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
(2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2－1，将其代入x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1x2中，解之即可得出k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
解得k≤，
∴实数k的取值范围为k≤.
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，
即k2－4k－12＝0，
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2.
13．B [解析] ∵a是方程x2＋x－2018＝0的根，
∴a2＋a－2018＝0，
∴a2＝－a＋2018，
∴a2＋2a＋b＝－a＋2018＋2a＋b＝2018＋a＋b.
∵a，b是方程x2＋x－2018＝0的两个实数根，
∴a＋b＝－1，
∴a2＋2a＋b＝2018－1＝2017.
故选B.
14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．
解：(1)证明：∵关于x的方程x2＋(m－3)x－m(2m－3)＝0的判别式Δ＝(m－3)2＋4m(2m－3)＝9(m－1)2≥0，
∴无论m为何值，方程都有两个实数根．
(2)设方程的两个实数根为x1，x2，
则x1＋x2＝－(m－3)，x1x2＝－m(2m－3)，
令x12＋x22＝26，得(x1＋x2)2－2x1x2＝(m－3)2＋2m(2m－3)＝26，
整理，得5m2－12m－17＝0，
解这个方程，得m＝或m＝－1.
所以存在正数m＝，使方程的两个实数根的平方和等于26.
