22.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题
知识点 1 一般图形的面积问题
1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
2．今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地的边长为x m，下面所列方程正确的是( )
A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600
C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝1600
3．从一块正方形木板上锯掉一个2 m宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )
A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2
4．如图22－3－1，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为________．
图22－3－1
5．如图22－3－2，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
图22－3－2
6．取一块长80厘米、宽60厘米的矩形白铁片，在它的四个角上截去四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个无盖的长方体盒子．如果要做成底面积为1500平方厘米的长方体盒子，那么截下的正方形的边长是多少？
知识点 2 边框与甬道问题
7．如图22－3－3，某小区计划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么甬道的宽应设计成多少米？若设甬道的宽为x m，将6块草地平移拼成一个长方形，其长为________m，宽为________m，根据长方形的面积公式可列方程________________，化成一般形式为________________，解得x1＝________，x2＝________(不合题意，舍去)．
图22－3－3
8. 如图22－3－4，在一块矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
图22－3－4
9．如图22－3－5，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
图22－3－5
10．如图22－3－6，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
图22－3－6
11．［教材“问题1”变式］某学校为美化校园，准备在长35米、宽20米的长方形场地上修建若干条宽度相同的道路，余下部分做草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3名学生的设计方案分别如图22－3－7①②③所示(阴影部分为草坪)．
图22－3－7
请你解决每种方案中的道路宽度问题(只列方程不求解)：
(1)甲同学的设计方案为图①，设计草坪的总面积为600平方米；
(2)乙同学的设计方案为图②，设计草坪的总面积为600平方米；
(3)丙同学的设计方案为图③，设计草坪的总面积为540平方米．
12．［2017·深圳］一个矩形的周长为56厘米．
(1)当矩形的面积为180平方厘米时，它的长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
13．［2016·赤峰］如图22－3－8，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
图22－3－8
教师详答
1．B [解析] 一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，由题意得x(5－x)＝6.故选B.
2．A [解析] 设扩大后的正方形绿地边长为x m，则扩大部分长方形的宽为(x－60)m，根据题意得x(x－60)＝1600.故选A.
3．B [解析] 设原来正方形木板的边长为x m，则x(x－2)＝48，解得x1＝8，x2＝－6(不合题意，舍去)，所以x＝8，所以8×8＝64(m2)．
4．6
5．解：设垂直于墙的一边长为x m，得
x(58－2x)＝200，
解得x1＝25，x2＝4，
∴平行于墙的一边长为8 m或50 m.
答：矩形的长为25 m，宽为8 m或矩形的长为50 m，宽为4 m.
6．解：设截下的正方形的边长为x厘米，由题意，得(80－2x)(60－2x)＝1500，解得x1 ＝15，x2 ＝55.当x＝55时，80－2x＝－30，不符合题意，
所以x＝15.
答：截下的正方形的边长是15厘米．
7．(30－2x) (20－x) (30－2x)(20－x)＝78×6 x2－35x＋66＝0 2 33
8．解：设花边的宽为x米．
根据题意得(2x＋6)(2x＋3)＝40，
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．
答：花边的宽为1米．
9．[A [解析] 设原正方形空地的边长为x m，依题意有(x－3)(x－2)＝20，
解得x1＝7，x2＝－2(不合题意，舍去)．
即原正方形空地的边长为7 m.
10．[全品导学号：15572085]B [解析] 设AC交A′B′于点H，
∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，则阴影部分的底为x cm，高A′D＝(2－x)cm，∴x·(2－x)＝1，
解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.
故选B.
11．解：(1)设道路的宽为x米．
依题意得(35－2x)(20－2x)＝600.
(2)设道路的宽为x米．
依题意得(35－x)(20－x)＝600.
(3)设道路的宽为x米．
依题意得(35－2x)(20－x)＝540.
12．[解析] (1)设出矩形的一边长，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可；
(2)同样列出方程，若方程有解，则可以，否则就不可以．
解：(1)设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有
x(28－x)＝180，
解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
当x＝10时，28－x＝18；
当x＝18时，28－x＝10.
故矩形的长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能．理由：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有
x(28－x)＝200，
即x2－28x＋200＝0.
因为Δ＝282－4×200＝784－800＜0，
所以原方程无解．
故不能围成面积为200平方厘米的矩形．
13．解：(1)设配色条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5＋2x×4－4x2＝×5×4,
解得x1＝(不符合题意，舍去)，x2＝.
答：配色条纹的宽度为米．
(2)条纹部分造价为×5×4×200＝850(元)，
其余部分造价为×4×5×100＝1575(元)，
∴总造价为850＋1575＝2425(元)．
答：地毯的总造价是2425元．
第2课时 用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
知识点 1 平均变化率问题
1．［2017·杭州］某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则( )
A．10.8(1＋x)＝16.8
B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8
D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
2．［教材练习第3题变］式2016年某县GDP总量为1000亿元，计划到2018年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县后两年GDP总量的年平均增长率为( )
A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%
3．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价的百分率相同，则每次的降价率为( )
A．8% B．18% C．20% D．25%
4．某学校图书馆去年年底有图书6万册，预计到明年年底会增加到8.64万册，求今、明两年图书馆图书册数的年平均增长率．
5．［2017·襄阳］受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
知识点 2 利润问题
6．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出(320－10a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划要获利400元，那么每件商品的售价应定为________元．
7．水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是____________千克(用含x的代数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
8. 某面粉厂10月份生产面粉100吨，这样1至10月份的生产量恰好完成全年的生产任务，为了满足市场需求，计划到年底再生产231吨面粉，这样就超额完成全年生产任务的21%，则11，12月的生产量的月平均增长率为( )
A．10% B．31% C．13% D．11%
9．某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个．经市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则每星期可多卖出100个．已知进价为每个20元，当鼠标垫的售价为________元/个时，每星期的利润为9600元．
10．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2015年烟花爆竹的销售量为20万箱，到2017年烟花爆竹的销售量为9.8万箱．求该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
11．［2017·菏泽］列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查发现：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元/个时，厂家每天可获利润20000元．
12．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查得知：每件售价每降低1元，可多售出10件，但最低销售单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件．设第二个月每件降价x元．
(1)填表(不需要化简)：
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元/件)
80
40
销售量(件)
200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元/件？
13．［2016·济宁］某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天补助8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励。
1．C 2．C 3.C
4．解：设今、明两年图书馆图书册数的年平均增长率为x，则有
6(1＋x)2＝8.64，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：今、明两年图书馆图书册数的年平均增长率是20%.
5．
解：(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持前两年利润的年平均增长率不变，那么2017年该企业的利润为
2．88×(1＋20%)＝3.456(亿元)．
因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
6．22
7．解：(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是100＋×20＝(100＋200x)千克．
(2)根据题意得(4－2－x)(100＋200x)＝300，
解得x＝或x＝1.
∵要保证每天至少售出260千克，
即100＋200x≥260，
解得x≥，
∴x＝1.
答：张阿姨需将每千克的售价降低1元．
8． A
9． 32或28
10．解：设该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得
20(1－x)2＝9.8，
解这个方程，得x1＝0.3＝30%，x2＝1.7(不合题意，舍去)．
答：该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.
11．[解析] 根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．
解：设销售单价为x元/个，
由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，
整理，得x2－920x＋211600＝0，
解得x1＝x2＝460.
答：这种玩具的销售单价为460元/个时，厂家每天可获利润20000元．
12．解：(1)80－x 200＋10x 800－200－(200＋10x)
(2)根据题意，得
80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，
整理，得x2－20x＋100＝0，
解这个方程，得x1＝x2＝10.
当x＝10时，80－x＝70>50.
答：第二个月的单价应是70元/件．
13．(1)设从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1＋x)2＝1280＋1600，
解得x＝0.5或x＝－2.5(舍去)．
答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5000000，
解得a≥1900.
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
