《角的平分线》同步练习
1.如图所示,若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,则要求AB与CD之间的距离,只需测量出 ( )
A.PA的长度 B.PC的长度
C.PE的长度 D.AB的长度
2.如图所示,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有 ( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
3.若ΔABC中的∠B和∠C的平分线交于点O,则关于射线AO,下列说法正确的是 ( )
A.既平分∠BAC,又平分∠BOC
B.既不平分∠BAC,也不平分∠BOC
C.一定平分∠BAC,但不一定平分∠BOC
D.既不一定平分∠BAC,也不一定平分∠BOC
4.如图所示,ΔABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将ΔABC分为三个三角形,则SΔABO∶SΔBCO∶SΔCAO等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
5.已知∠B=∠E=90°,CE=CB,AB∥CD,求证AD=CD.
6.如图所示,已知∠MON的边OM上有两点A,B,边ON上有两点C,D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点.
(1)ΔABP与ΔPCD是否全等?请说明理由.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积是否相等?请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:过点P作PF⊥AB于F,延长FP交CD于G.∵AB∥CD,∴FG⊥CD,∴线段FG的长度即为AB与CD之间的距离.∵AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PG⊥CD于G,∴PF=PE=PG,∴FG=2PE.故要求AB与CD之间的距离,只需测量出PE的长度.)
2.D(解析:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,1处;(2)三个外角两两平分线的交点,共3处.)
3.C(解析:如图所示,设AO交BC于D.∵三角形的三条角平分线相交于一点,∴三角形两条角平分线的交点一定在第三个角的平分线上,∴射线AO一定平分∠BAC,设∠OBA=∠OBC=α,∠OCB=∠OCA=β,∠OAB=∠OAC=γ,∵∠BOD=α+γ,∠COD=β+γ,α与β不一定相等,∴∠BOD与∠COD不一定相等,∴射线AO不一定平分∠BOC.)
4.C(解析:利用等高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知C正确)
5.证明:∵∠B=∠E=90°,∴CE⊥AE,CB⊥AB,∵CE=CB,∴AC平分∠EAB,∴∠DAC=∠BAC,∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD.
6.解:(1)ΔABP与ΔPCD不一定全等,∵ΔABP与ΔPCD中只有AB=CD一个条件,其他边、角无法确定相等,∴ΔABP与ΔPCD不一定全等.
(2)ΔABP与ΔPCD的面积相等.理由如下:∵P为∠MON的平分线上一点,∴点P到AB,CD的距离相等,∵AB=CD,∴ΔABP与ΔPCD的面积相等.
《角的平分线》
本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完轴对称的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质与判定定理初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形与轴对称知识的延续，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
【知识与能力目标】
1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.
2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.
3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.
【过程与方法目标】
1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.
2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.
3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.
【情感态度价值观目标】
1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.
2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.
3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.
【教学重点】 角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.
【教学难点】 灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题.
【教师准备】 直尺和圆规、课件1~2.
【学生准备】 直尺和圆规.
导入新课
【问题探究】(投影显示)
如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?
【教师活动】 首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.
【学生活动】 小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.
【教师活动】 那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.
[设计意图] 通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.
导入二:
师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?
学生思考回答.
师:你会作角平分线吗?
生:会.
师:怎么作呢?
生1:用折纸的方法来作.
生2:用量角器来作.
师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).
[设计意图] 通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.
自主探究，新知构建
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
思路一
1.整体感知
师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?
生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.
师:出示课件.
【课件1】 按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.
生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
2.师生互动
互动1
师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等?
生:全等三角形的对应边相等.
师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢?
生:ΔPDO与ΔPEO.
师:怎样证全等?
生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)
师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.
互动2
师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?
师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.
互动3
刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:
【课件2】
(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.
证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F.
∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理PE=PF,
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.
思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)
思路二
如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.
生:相等.
师:为什么?
学生思考,小组讨论.
师:你能证明这个结论吗?
学生思考证明.
教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:
1.明确命题中的已知和求证.
2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
教师找学生板演.
已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,
∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.
在ΔPDO和ΔPEO中,
∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.
集体纠正.
师:你能总结这个结论吗?
生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.
师:谁能说出它的逆命题?
生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.
(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.
(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
活动二:角平分线的画法
教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法:
1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.
2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.
3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.
学生作图.
师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?
学生进行交流,写出证明过程,
教师巡回指导.
师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?
生:垂直.
师:你会作吗?
学生小组操作.
教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.
课堂总结
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.
2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.
3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).
检测反馈，巩固提高
如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,
SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是 ( )
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB平分OP
3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是 ( )
A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD
C.CO平分∠ACB D.OC=OD
4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16 cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.
布置作业
【必做题】
1.教材第122页练习第1,2题.
2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第123页习题B组第1,2,3题.
课件13张PPT。第十六章 轴对称和中心对称16.3 角的平分线. 在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为1∶20000) 问题思考活动一:角平分线的性质定理及其逆定理 按下图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. 角平分线的性质定理：定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。应用定理的书写格式：PD = PE.（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等.）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。已知：如图所示，OC是 的平分线，P是OC上任意一点，
， ，垂足分别为D，E 。求证：PD=PE. 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。证明：作射线OP, 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）定理 2 (补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF，∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.
(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.
(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.2.分别以点D，E为圆心,适当长为半径，在∠AOB的内部画弧，两弧相交于点C.DEC3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).课堂小结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，
DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5解析:过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
∵SΔABC=SΔABD+SΔACD，∴ 4×2+ AC×2=7，解得AC=3.故选A.A2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB平分OP解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB，∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB，∠AOP=∠BOP,OE=OE，∴ΔAOE≌ΔBOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP，故D不一定成立.故选D.D3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD，BE相交于O点，连接CO,则下列结论成立的是 ( )
A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD
C.CO平分∠ACB D.OC=OD解析:∵角平分线AD，BE相交于O点，∴CO平分∠ACB.故选C.C4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点M到AB的距离. 解析:过点M作MD⊥AB于D，先求出CM，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM.解:如图所示,过点M作MD⊥AB于D，∵BC=16 cm，
CM∶MB=3∶5，
∴CM= 16=6(cm)，
∵∠C=90°,AM平分∠CAB，
∴DM=CM=6 cm，
即点M到AB的距离为6 cm.D
