《线段的垂直平分线》
本节课是八年级上学期第16章第二节内容，它即是对前一课时关于轴对称图形性质的再认识，又是今后几何作图、证明、计算的基础。学习过程中渗透的转化、探索、归纳等数学思想方法对学生今后的数学学习也有重要的意义。学习线段垂直平分线相关知识是为学生创造了一次探究的机会，是学习几何学的一次磨练，更是学生学习几何学的一次成长经历。
【知识与能力目标】
1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解题.
【过程与方法目标】
1.通过探索线段的轴对称性,进一步体验轴对称的特征,发展合情推理的能力.
2.掌握作轴对称图形对称轴的方法.
【情感态度价值观目标】
1.增强学生学习的兴趣,培养学生严谨的学习态度,增强学习的自信心.
2.发展学生演绎推理能力,积累一定的数学活动经验,体会合情推理和演绎推理的不同作用.
【教学重点】 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【教学难点】 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用.
【教师准备】 课件1~5.
【学生准备】 复习线段垂直平分线的定义以及轴对称的知识.
新课导入
【课件1】 如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
1.用平面图将上述问题进行转化,已知线段AB及AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,…,连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……
2.作好图后,用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……讨论发现什么样的规律.
[设计意图] 通过学生对图形的抽象、观察、测量发现线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一结论,从而为下面的进一步探究做好铺垫.
自主探究，构建新知
活动一:一起探究——线段垂直平分线的性质
【课件2】 如图所示,已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足.
在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.
学生猜想得出:事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.
思路二
教师指导学生画线段AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上确定几个点,让学生测量,思考有什么发现?
【课件3】
如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?
由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范.
命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,还得在理论上证明是正确的才能作为定理,我们来证明这个命题的正确性.
请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证.
已知:如图所示,线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB.
求证PA=PB.
引导学生利用SAS证明ΔPAO≌ΔPBO,从而得到PA=PB.
证明:在ΔPAO和ΔPBO中,
∵
∴ΔPAO≌ΔPBO(SAS),
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
教师说明:经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的.
因为点P是线段的垂直平分线上一点,所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
师:分析定理的条件和结论.
点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB.
(条件) (结论)
[知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.
(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.
说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.
活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理
师:反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.
生:画出图形(如图所示),写出已知,求证.
已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.
求证:点P在线段AB活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理
[过渡语] 我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.反过来,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?
思路一
师:反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.
生:画出图形(如图所示),写出已知,求证.
已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在ΔPOA和ΔPOB中,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS),
∴∠POA=∠POB,
∵∠POA+∠POB=180°,
∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?
师:这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?
生:两点.
师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.
[知识拓展] (1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.
的垂直平分线上.
师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在ΔPOA和ΔPOB中,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS),
∴∠POA=∠POB,
∵∠POA+∠POB=180°,
∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?
师:这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?
生:两点.
师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.
[知识拓展] (1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.
【课件4】
已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.
引导学生分析,证明.
【提出问题】
(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?
学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P.
(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.
学生小组内交流,教师指一名学生板演.
解:∵点A和点A'关于直线l对称,
∴AP=A'P.
∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),
如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P',连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短).
即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.
∴AP+BP最短.
已知:如图所示,在ΔABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上,就是要证明BP=CP.
学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评.
证明:如图所示,连接PA,PB,PC.
∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线,
∴PA=PB=PC,
∴点P在BC的垂直平分线上.
(教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,垂足为O.
求证:AO=OC,BO=OD.
让学生独立思考后完成.
证明:因为AB=BC,CD=AD,所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上,直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO=OC,同理,BO=DO.
【拓展延伸】 三角形三边的垂直平分线交于一点.
教师讲解:根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点.
如图所示,其思路可表示为:
[设计意图] 让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题,培养学生的应用能力.
课堂总结：
用自己的话说一说，本节课你学到的知识；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
检测反馈，巩固提高
1.(2015·随州中考)如图所示,ΔABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则ΔBDC的周长是( )
A.8 B.9
C.10 D.11
2.(2015·达州中考)如图所示,ΔABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
3.(2015·遂宁中考)如图所示,在ΔABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,ΔBCN的周长是7 cm,则BC的长为 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
4.如图所示,ΔABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4 cm,ΔABD的周长为14 cm,则ΔABC的周长为 ( )
A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
5.如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(提示:等腰三角形的两个底角相等) ( )
A.AB=AD B.∠ABC=∠ADC
C.AB=BD D.ΔBEC≌ΔDEC
6.如图所示,点D在ΔABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在( )的垂直平分线上.
A.AB B.AC
C.BC D.不能确定
7.直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点能找到 ( )
A.0个 B.1个
C.无数个 D.0个或1个或无数个
8.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在 ( )
A.ΔABC三边垂直平分线的交点上
B.线段AB上
C.ΔABC三条高所在直线的交点上
D.ΔABC三条中线的交点
9.如图所示,AB=AC,BM=CM,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
布置作业
教材第114页习题A组第1,2题.
教材第115页习题B组第1,2题.
课件14张PPT。16.2 线段的垂直平分线操作指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。 （5） （6） （7）问题怎样做出一条线段的垂直平分线？ 2. 过点E、F作直线。尺规作图作法：探究测量猜想证明测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离 已知，如图，直线MN经过线段AB的
中点O，且MN⊥AB,P是MN上
任意一点。
求证：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。定理 如图，四边形ABCD中，直线AC垂直平分BD于点O。
（1）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来；
（2）任选（1）中一对全等 三角形加以证明。例1范例学习针对性训练1、如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED = CD
B．∠DAC = ∠B
C．∠C ＞2∠B
D．∠B +∠ADE=90°2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组 针对性训练3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。
（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；
（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________。针对性训练4、已知如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长为_____________。针对性训练5、公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你如何确定停靠站C的位置。针对性训练思考 你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 逆命题定理与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。定理范例学习例2已知：如图，DE、DF分别是△ABD
和△ACD的高，DE＝DF。
求证：AD垂直平分EF。整理小结 一个方法证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。 两条定理线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 三种作图折纸; 过中点做垂线; 尺规作图法家庭作业1、必做作业：
（1）课本： 课后 习题
2、选做作业：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等。
（1）若三所运动员公寓A、B、C的
位置如图所示，请在图中确定
这处公共服务设施P的位置；
（2）若∠BAC＝66°,
则∠BAC＝ _____；
（3）若∠BAC＝α,
则∠BAC＝ _____.
