《直角三角形全等的判定》同步练习
1. 判定两个三角形全等的方法： 。
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ____________________________， 使△AEH≌△CEB.
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1．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用 “HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件正确的是( )
A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
2．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点， 以下结论：
①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．其 中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等 D.一条斜边和一条直角边对应相等
如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥CB于C，E为BC上一点，BE＝FC，
试说明：AE⊥BF.
如图所示，已知∠ACB＝∠ADB＝90°， AC＝AD，E是AB上任意一点．
求证：CE＝DE.
如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝ 90°， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
答案和解析
一．1.SSS、SAS、AAS、ASA、HL
2. AH=CB(或EH=EB或AE=CE)
二．1.A 2.D 3.D 4.B
三．1. 证明：∵AB⊥BC于B，FC⊥CB于C，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
∵AB＝BC，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠A＝∠FBC.
∵∠A＋∠AEB＝90°，
∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∠BED＝90°，
∴AE⊥BF.
2. 证明：在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∵AC＝AD，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
∴∠CAB＝∠DAB.
在△AEC和△AED中，
∵AC＝AD，∠CAE＝ ∠DAE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AED(SAS)，
∴CE＝DE.
3. 证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵ AE=CF
AB=CB
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
《直角三角形全等的判定》
本节是在学习直角三角形和勾股定理后教材安排的一课时的内容。直角三角形的全等和角平分线的性质在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。本节课是探索和掌握直角三角形全等的条件以及角平分线的性质，学好本节课的知识对学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都有非常重要的作用。
【知识与能力目标】
1、通过本节课的学习，进一步弄清全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS。
2、通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：HL。
【过程与方法目标】
经历观察、想象、推理、交流等数学活动，培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。
【情感态度价值观目标】
感受直角三角形全等的判定及其应用，增强应用意识。
【教学重点】
引导学生分析、理解HL定理。
【教学难点】
熟练运用HL定理解决问题。
直尺、三角板、多媒体课件
复习引入
我们已经学过了全等三角形的有关知识，请同学们回顾一下问题。
1.什么叫做全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2.全等三角形的性质：
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
3.判别两个三角形全等的方法:
SSS 、SAS 、ASA 、AAS。
探究新知
1.用“HL”判定三角形全等
在一个三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定，那么第三条也随之确定.由此可以得出直角三角形的新的判定方法。
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知：两边对应相等的两个直角三角形，其第三条也一定相等.
因此，斜边和第三边对应相等的两个直角三角形全等。
下面请同学们进行证明。
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明：在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠C=∠C'=90°，
∴BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2.
∵AB=A'B'，AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
2.直角三角形全等的判定定理
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。
规范应用：
在 Rt△ABC 和Rt △A'B'C' 中，
AB=A'B'
AC=A'C'
Rt△ABC ≌ Rt △A‘B’C‘（HL)）
3.画一画。
已知：线段a、c(a﹤c)
求作：△ABC,使∠C=90° ，CB=a，AB=c.
作法：1.画∠MCN=90 °.
2.在射线CM上取CB=a.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB .
△ABC就是所要画的直角三角形.
三、新知应用
例1 已知：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，
求证：BC﹦AD.
请同学们仔细思考，小组交流，学生板演。
例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，PC=PD.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
请同学们仔细思考，小组交流，学生板演。
四、课堂练习
1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，还需要补充的条件是 （写出一个即可）. 答案： AB=AD 或 BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.
一定要注意：直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等。
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
四、课堂小结
1、总结：通过这节课的学习，你有哪些收获？
2、思考：判定直角三角形全等有哪些思路？
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，
①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；
②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
纵观整个教学，不足的方面：
启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中；
在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；
第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会。
课件16张PPT。河北教育出版社 八年级 | 上册 3.判别两个三角形全等的方法: SSS ASAAASSAS2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。河北教育出版社 八年级 | 上册 复习导入我们已经学过了全等三角形的有关知识，请同学们回顾一下问题。1.什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知：两边对应相等的两个直角三角形，其第三条也一定相等. 在一个三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定，那么第三条也随之确定.由此可以得出直角三角形的新的判定方法。因此，斜边和第三边对应相等的两个直角三角形全等。河北教育出版社 八年级 | 上册 新知探究下面请同学们进行证明。已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.证明：在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠C=∠C'=90°，
∴BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2.
∵AB=A'B'，AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).河北教育出版社 八年级 | 上册 直角三角形全等的判定定理 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。河北教育出版社 八年级 | 上册 在 Rt△ABC 和Rt △A'B'C' 中，AB=A'B'
AC=A'C' Rt△ABC ≌ Rt △A‘B’C‘（HL） 规范应用：已知已知：线段a、c(a﹤c)
求作：△ABC,使∠C=90° ，CB=a，AB=c.作法：1.画∠MCN=90 °.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB .△ABC就是所要画的直角三角形.MCNaBcA2.在射线CM上取CB=a.
河北教育出版社 八年级 | 上册 画一画 例1 已知：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，
求证：BC﹦AD.河北教育出版社 八年级 | 上册 新知应用请同学们仔细思考，小组交流，学生板演。河北教育出版社 八年级 | 上册 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， AB=BA,
AC=BD .∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).规范解答例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，PC=PD.
求证：点P在∠AOB的平分线上.新知应用河北教育出版社 八年级 | 上册 请同学们仔细思考，小组交流，学生板演。河北教育出版社 八年级 | 上册 证明：如图作射线OP，∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.
在△OPC和△OPD中，PC=PD，OP=OP（公共边），∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).∴∠POA=∠POB，∴点P在∠AOB的平分线上.∵规范解答河北教育出版社 八年级 | 上册 通过刚才的证明过程，同学们想到了我们学过的那个知识点？它与上面我们证明的结论有什么联系和区别？角平分线性质定理的逆定理：
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。发现1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，还需要补充的条件是 （写出一个即可）.答案： AB=AD 或 BC=DC 或
∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.C河北教育出版社 八年级 | 上册 课堂练习一定要注意：直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等。2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).河北教育出版社 八年级 | 上册 3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.河北教育出版社 八年级 | 上册 直角三角形全等的证明（HL）内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法 只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）课堂小结河北教育出版社 八年级 | 上册 判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，
①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；
②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．河北教育出版社 八年级 | 上册
