《反证法》同步练习
写出下面结论的反面：a⊥b.________。
2.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________。
1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，方法正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
2.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则 a∥b”，第一步应假设( )
A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交
3.用反证法证明命题“如果x＞y，那么∣x∣＞∣y∣”时，假 设的内容应是( )
A．∣x∣＞∣y∣ B．∣x∣＜∣y∣
C．∣x∣＞∣y∣或∣x∣=∣y∣ D．∣x∣＜∣y∣或∣x∣=∣y∣
4.用反证法证明一个三角形的三个内角中不能有两个钝角，第一步应假设（ ）
A.三角形的三个内角中能有两个钝角
B.三角形的三个内角中能有两个直角
C.三角形的三个内角中能有两个锐角
D.不能确定
5.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解
1．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角。
2.用反证法证明：同一平面内，若一条直线与两条平行线的一条相交，则必与另一条相交。
答案和解析
一．1 .a不垂直于b 解析：这个结论的反面即是a⊥b不成立。
2. ③①② 解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②。
二．1.B 解析：至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”。
2.D 解析：同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交，假设a与b不平行即相交。
3.D 4.A 5.C
三．1. 解：
已知：在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B和∠C都是锐角。
证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C都不是锐角，
则∠B≥90°，∠C≥90°，
所以∠B＋∠C≥180°.
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不 成立，即∠B和∠C都是锐角。
所以等腰三角形的底角是锐角。
解：
已知：同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A，如图.
求证：l3必与l2相交。
证明：假设l3与l2不相交，则l3∥l2，∵l1∥l2，l3∥l2，
∴l1∥l3，这与已知l1与l3相交于点A相矛盾，
∴假设不成立.故l3必与l2相交
《反证法》
反证法又称归谬法。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。???
在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。这些正是学生学习数学应该学会的能力.?
【知识与能力目标】
通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
【过程与方法目标】
了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
【情感态度价值观目标】
在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学重点】
理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
【教学难点】
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
直尺、三角板、多媒体课件等。
情境导入
师出示课件：路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：
假设李子甜-树在道边则李子少-与与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾-假设 “李子甜”不成立-所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的。
（二）探究新知
1.认识反证法
反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法。
在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角”这个结论，我们怎样证明它呢？
求证：一个三角形中最多有一个直角.
已知：如图，△ABC.
求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.
证明：假设△ABC中有两个（或三个)直角，不妨设∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C>180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立。
故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.
同学们讨论用反证法证明一个命题的步骤,然后师生共同总结。
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 ：
第一步，假设命题的结论不成立；
第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出与学过的概念，基本事实，已知证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。
（三）学以致用
例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.。
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别于直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.
求证：∠1=∠2.
师生互动。
证明：假设∠1≠∠2.
过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1.
∵∠EGN=∠1.
∴MN∥CD（基本事实），
又∵AB∥CD（已知），
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知”相矛盾.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.
因此，∠1=∠2.
使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。
例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中， ∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等，即BC≠B'C'.
不妨设BC在△ABC和△A‘DC’中，∵AC= A'C'，∠C=∠C'，CB = C'D
∴△ABC≌△ A'D C’（SAS）.
∴AB=A'D（全等三角形的对应边相等）.
∵AB=A'B'’（已知），
∴A'B'’= A'D （等量代换）.
∴∠B‘=∠ A’DB‘ （等边对等角），∴∠A’DB‘<90°（三角形内角和定理），
即∠C‘<∠A’DB‘<90°（三角形的外角大于和它不相邻的内角）.
这与∠C'=90°相矛盾.
因此，BC≠B'C'不成立.即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立.
∴△ABC≌△A'B'C'.
教师带领学生先进行一定的分析，预设问题：
（1）你首选的是哪一种方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路。
（四）巩固新知
1.利用反证法证明”直角三角形至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（ C ）
A.直角三角形的每个锐角都小于45°B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的每个锐角都大于45°D.直角三角形有一个锐角小于45°
2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( B )
A．a3、“a＜b”的反面应是（ C ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
4.用反证法证明命题“若x2≠4，则x≠2”的第一步应假设(x=2 )
（五）链接生活
反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游。
小华：不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么? （小芳全家没外出旅游.）
他是如何推断该命题的正确性的?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.
（六）课堂小结
1.课题引入上，要抓住引入问题的目的，与本节课题要较快、自然衔接，在教学中，直接给出一个命题让其判断真假性，大大减少了时间。?
2.课本上的例题可能给学生带来学习上的枯燥与不解，寻找课本其它习题作为例题，能提高学生学习的兴趣。在“至少”与“至多”的研究与表达上要让学生多体会，不可把自己的想法强加给他们。?
3.反证法是常见但不常用的方法，从课堂效果来看，哪些情形用反证法来证明，强调的还不够。
课件15张PPT。17.5 反证法河北教育出版社 八年级 | 上册 第十七章·特殊三角形路边苦李情境导入河北教育出版社 八年级 | 上册 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么?
王戎回答说:”树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.如果当时你在场，你会怎么办？王戎是怎样知道李子是苦的呢?你主为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?
借助故事，初步感知反证法.情境导入河北教育出版社 八年级 | 上册 王戎推理方法是:假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾假设 “李子甜”不成立所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的（一）认识反证法探究新知河北教育出版社 八年级 | 上册 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法. 在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角”这个结论，我们怎样证明它呢？（一）认识反证法探究新知河北教育出版社 八年级 | 上册 求证：一个三角形中最多有一个直角.已知：如图，△ABC.求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.证明：假设△ABC中有两个（或三个)直角，不妨设∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C>180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.假设原来命题结论不正确；从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出矛盾的结果.由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.（二）感知反证法河北教育出版社八年级 | 上册 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 ：第一步，假设命题的结论不成立；第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出与学过的概念，基本事实，已知证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.河北教育出版社 八年级 | 上册 学以致用例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别于直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.求证：∠1=∠2.河北教育出版社 八年级 | 上册 证明：假设∠1≠∠2.
过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1.MN∵∠EGN=∠1.
∴MN∥CD（基本事实），又∵AB∥CD（已知），
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知”相矛盾.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.
因此，∠1=∠2.河北教育出版社八年级 | 上册 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中， ∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.河北教育出版社八年级 | 上册 证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等，即BC≠B'C'.
不妨设BC∴△ABC≌△ A'D C’（SAS）.
∴AB=A'D（全等三角形的对应边相等）.
∵AB=A'B'’（已知），
∴A'B'’= A'D （等量代换）.
∴∠B‘=∠ A’DB‘ （等边对等角），∴∠A’DB‘<90°（三角形内角和定理），即∠C‘<∠A’DB‘<90°（三角形的外角大于和它不相邻的内角）.
这与∠C'=90°相矛盾.
因此，BC≠B'C'不成立.即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立. ∴△ABC≌△A'B'C'.河北教育出版社八年级 | 上册 巩固新知1.利用反证法证明”直角三角形至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（ ）
A.直角三角形的每个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的每个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°点拨：至少有一个锐角不大于45°，也就是说：有一个锐角≤45度 ，或两个锐角都≤45度.用反证法应假设没有一个锐角≤45度，即两个锐角都>45度.C河北教育出版社八年级 | 上册 巩固新知2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．a B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b点拨：“a>b”的否定应为“a＝b或a （A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b （D）a=b或a ＞b巩固新知C4.用反证法证明命题“若x2≠4，则x≠2”的第一步应假设 ___．x=2河北教育出版社八年级 | 上册 发生在身边的例子:妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.链接生活河北教育出版社八年级 | 上册 课堂小结反证法间接证明方法一般步骤假设结论不成立得出矛盾的结果假设不成立，原命题成立
