《勾股定理》第一课时同步练习
1． 一个直角三角形的三边长为不大于10的连续偶数，则它的各边长分别是___，___，___。
2．在直角三角形中,两条直角边的长度分别是6cm和8cm，则斜边上的高是____cm.。
3．在△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b的和为7，△ABC的面积为6，则斜边c=_______.
4．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边。
⑴如果a=8，b=15，那么c=_____。
⑵如果c=61，a=60，那么b=______。
⑶如果a=3n，b=4n,c=10，那么a=____，b=____。
5．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿。
1．设a、b、c是直角三角形的三边,则三边长不可能的是（ ）。
A.3,5,4 B.5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15
2．将直角三角形三边长的长度都扩大相同的倍数后,得到的三角形( )。
A.仍是直角三角形 B.不可能是直角三角形
C.可能是锐角三角形 D.可能是钝角三角形
3．已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）。
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24,则BC的长为（ ）。
A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对
5. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）。
A.底与边不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
.
1．一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？
2．一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
答案和解析
一．1. 6 8 10
2. 4.8
3. 5
4. （1）17 （2）11 (3)6 5
5. 12
二．1.C 2.A 3.D 4.C 5.D
三．1. 解析：∵，∴这个三角形是直角三角形。
设最长边（斜边）上的高为，由直角三角形面积关系，可得，∴．
答：这个三角形最长边上的高是12cm。
2. 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7米。
《勾股定理》第三课时同步练习
1．若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。
2．在△ABC中，如果AC2+BC2=AB2，那么_____=90°。
3.一个三角形的三边长的比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为________。
4. 已知△ABC的三边为a，b，c，且a+b+c+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为____。
5. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.
1．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：
①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（???）。
A.4组?????????????B.3组??????????????C.2组?????????????D.1组
2.下列命题中,为假命题的是 ( )。
A.三角形的三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形是直角三角形;
B.三角形的三个内角度数之比为1:1:2,那么这个三角形是直角三角形;
C.三角形的三边长度之比为3:4:5,那么这个三角形是直角三角形;
D.三角形的三边长度之比为8:16:17,那么这个三角形是直角三角形.
3．△ABC的三边为a、b、c，且(a+b)(a-b)=c2，则 ( )。
A .a边的对角是直角 B. b边的对角是直角
C. c边的对角是直角 D. 不是直角三角形
4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )。
A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.
1．如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD,AD=2，求BC的长。
2. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。
答案和解析
一．1. 9.6
2. ∠C
3. 120cm2
4. 直角三角形
5. 42或32
二．1.B 2.D 3.A 4.C
三．1. 解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∴∠ADC=60°
∵∠ADC=∠DAC+∠C
∴∠DAC=∠C
∴AD=CD=2
∵AB⊥AD
∴△ABD是直角三角形
∴BD=4
∴BC=6
2.解：连接AC
∵∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m
由勾股定理得：AC=5m
∵AB2 BC2+ AC2
△ABC是直角三角形
∴这块地的面积=+
=36()
《勾股定理》第二课时同步练习
1．轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为（ ）?㎞。
2．如右图：图形A的面积是 。
3.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。
4.如果三条线段的长分别为7cm，xcm，25cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以xcm为边长的正方形的面积是_____cm2.
1．要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（???）。
A.10m?????????B.11m?????????????C.12m????????????????????D.13m?
2．现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（???）。
A.22㎝??????????B.33㎝???????????C.44㎝???????????D.55㎝
3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）。
A．25 B．14 C．7 D．7或25
4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米
5. 在△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，斜边c=10cm，则△ABC的面积为（ ）
A.24cm B.36cm C.48cm D.60cm
1．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
答案和解析
一．1. 25
2. 81
3. 7
4. 576或674
二．1. C 2.B 3.D 4.B 5.A
三．1. 解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
2. 解：a2＋b2＝c2 此图可以这样理解，
有三个Rt△，其面积分别为ab，ab和c2。
还有一个直角梯形，其面积为（a＋b）（a＋b）。
由图形可知：（a＋b）（a＋b）＝ab＋ab＋c2，
整理得（a＋b）2＝2ab＋c2，a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2。
《勾股定理》第一课时
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用
【知识与能力目标】
1. 能说出勾股定理的内容。
2. 会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【过程与方法目标】
2、经历观察、想象、推理、交流等数学活动，并在活动中丰富对勾股定理的认识，发展空间观念，提高应用意识。
【情感态度价值观目标】
在探索勾股定理的过程中，经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
【教学重点】
勾股定理及其应用。
【教学难点】
勾股定理的证明与应用。
多媒体课件
一、复习引入
1、直角三角形的三边具有特殊的关系，刻画这种关系的命题就是著名的勾股定理。
多媒体展示2002年国际数学大会会标。
二、导入新课
（一）呈现素材，初步感知勾股定理
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)和毕达哥拉斯定理，在勾股定理方面的贡献。激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题。
实验探究
问题：
1.你能求出每个正方形的面积吗？
2.它们的面积有什么关系？
问题：
1.你能求出每个正方形的面积吗？
2.你能求出c是多少吗？
3.直角三角形的三条边有什么关系？
三、探究新知
问题1 如图，每一个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°，图中以AC、BC、AB 为边的正方形的面积分别是多少？这三个正方形的面积之间具有怎样的关系？
猜想：
S3= +
问题2 如图，用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°，分别以AC,BC,AB 为边的正方形（红色框标出）的面积之间有什么关系？
猜想：
S3= +
问题3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，请你猜想：分别以AC,BC,AB 为边的正方形（红色框标出）的面积之间是否也具有问题1和问题2 中的三个正方形之间的关系？如果具有，请用图中Rt△ABC的边把这种关系表示出来。
猜想：
S3= +
试着做做
如图，是并用四个全等的直角三角形拼成的，其中，四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，请你根据此图，利用它们 之间的面积关系推导出：a2+b2=c2。
推导如下：
S正方形ABDE=S正方形CFGH+4S△ACE，
c2=（b-a）2+2×ab，
a2+b2=c2.
知识要点
如果直角三角形两直角边分别a、b斜边为c，那么a2+b2=c2 。
勾股定理也可以叙述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、课堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 （ ）。
2.判断。
①Rt△ABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( )
②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 ( )
3.填空。
在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______.
出示练习，学生完成。
问题：什么时候应用勾股定理？应用勾股定理是应该注意什么？
五、拓展新知
1.说说对勾股定理的认识?谈谈学习感受?
2.思考验证勾股定理的方法。 (可以查阅资料，也可自主探究)
六、课堂小结
1、总结：这节课我们一起认识了“勾股定理”，你有哪些收获？
2、思考：在生活中，你听说过用勾股定理来解决的问题吗？下节课我们继续来研究。
?由于信息技术的发展与普及，直观实验手段在教学中日益增加，本节课利用我们学校建立了多多媒体教学，通过制作课件对于几何学的学习起到积极作用。
《勾股定理》第三课时
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，同时它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想的很好的素材．教材编写者设置例题3从实际问题出发，以勾股定理的逆定理的知识为载体建立数学模型去解决实际问题，让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，有效的培养学生的应用意识。
【知识与能力目标】
会用边长的平方等等量关系来识别一个三角形是直角三角形。
【过程与方法目标】
经历由边的数量关系识别直角三角形的探索过程，提高合情推理和试验验证的能力。
【情感态度价值观目标】
在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。
提高由已知数学知识探究与获取新的数学知识的能力，并从中增强学习数学的兴趣。
【教学重点】
探索并掌握直角三角形的判别条件。
【教学难点】
运用直角三角形判别条件解题。
直尺、三角板、多媒体课件。
一、复习引入
1.我们已经学习了勾股定理及其应用，请同学们回顾以下问题：
（1）勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。）
（2）应用勾股定理时应该注意什么？
那么反过来，我们就会想，在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗？
请同学们讨论，并猜想。然后进行下面的实验探究。
二.实验探究
练一练 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答下列问题:
（1）.这三组数都满足 a 2 +b 2 =c 2吗？
（2）.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
请同学们自己做一做。
多媒体展示实验结果：
① 5,12,13满足a 2 +b 2 =c 2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a 2 +b 2 =c 2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a 2 +b 2 =c 2 ,可以构成直角三角形.
回到开始的问题。今天我们来学习（板书课题：）勾股定理的逆定理。
三、探究新知
问题 如果△ABC的三边a，b，c满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么∠C是直角吗？
分析：在△ABC中，由边的关系a 2 +b 2 =c 2 ，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等的性质来说明∠C是直角。
下面我们就来进行验证：
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.
由勾股定理可得A'B'2=a2+b2
∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
∴∠C'=∠C=90°（全等三角形的对应角相等）.
四、学习新知
由上面的证明，我们得到：勾股定理的逆定理 ：
如果△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
五、新知应用
例 如图，是一个机器零件的示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标，现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ACB=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD=90°.
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°.
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
∵AB=4，BC=3，∴AC2=32+42=52.
∴AC=5，
在△ABC中，
∵AC=5.CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169.
∴AC2+CD2=AD2.
∠ACD=90°（勾股定理的逆定理）.
∴根据这些条件，能知道∠ACD=90°.
课堂练习：
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 (B )
A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 (A )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.
4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?
5.小明在一次偶然的机会中，发现工人师傅在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，采取了如下的方法：如图，先量出框AB和框BC的长，再量出点A和点C的距离，由此推断出∠B是不是直角。
六、课堂小结
1、总结：这节课学习了“勾股定理的逆定理”，你有哪些收获？
.请同学们小组讨论。
师生共同总结。
（1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边；
（2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方和相等.若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。
教学反思
学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体；教师只是课堂教学活动的组织者，引导者与合作者。因此，课堂教学过程的设计，也必须充分体现出学生的主体性。
通过设计系列活动让学生经历不同的学习过程，在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律、猜想出一般性的结论，然后由学生验证结论、证明结论，由合情推理上升到逻辑推理符合几何教学的特点。
一节好课，并不是取决于在一节课内讲授了多少知识给学生，或者是有没有完成教学内容，在于的是学生学会了多少知识，不要拘泥于某些教育理论和观点。
《勾股定理》第二课时
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。
【知识与能力目标】
通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理的有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
【过程与方法目标】
会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”,“转化”“方程”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学???思想给解题带来的便利。
【情感态度价值观目标】
感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。
【教学重点】
把实际问题转化成数学问题,利用勾股定理来解决。
【教学难点】
分析思路，渗透数学思想。
直尺、三角尺、多媒体课件。
一、复习引入
1、课前提问：
勾股定理
运用勾股定理时应该注意些什么？
我们已经学习了勾股定理，在实际生活和生产中，勾股定理有着广泛的应用，利用勾股定理，我们可以解决一些实际问题。
二、感受生活中“勾股定理”的应用
例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得AB=200m，BC=160m.根据测量结果，求点A和点C间的距离。
请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。
解：在△ABC中，∵∠ACB=90°.
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
∵AB=200m，BC=160m，
∴AC===120(m)
答：点A和点C间的距离是120m。
例2 如图，在长为50mm，宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离。
请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。
解：∵△ABC中是直角三角形，
∴AC 2 +BC 2 =AB 2 （勾股定理）.
∵AC=50-40-26=9（mm），
BC=40-18-10=12（mm），
∴AB===15(mm)
答：A和B间的距离是15mm。
例3 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？
请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。
解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺。设水深AC为x尺。
在Rt△ABC中，∴AC 2 +BC 2 =AB 2 （勾股定理）.又∵AB=AD=（x+3）尺,
∴（x+3） 2 =x 2 +62，化简解得x=4.5.
答：湖水深4.5尺。
三、学有所思
在应用勾股定理解决实际问题时，关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形模型，常见类型有哪些？
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；
（3）证明含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度解决生活、生产中的实际问题。
四、课堂练习
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
2．如上图，有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x 2 =1.5 2 +2 2
解得x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(m).
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间。
4.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积( ) A．3 B．4 C．5 D．7
5.如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
五、课堂小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？先请小组交流，再请学生汇报。
本节课通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。由于学生能力的差异，在学生合作交流中，学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能真正的参与到课堂中来。
课件16张PPT。河北教育出版社 八年级 | 上册 河北教育出版社 八年级 | 上册 导入新课直角三角形的三边具有特殊的关系，刻画这种关系的命题就是著名的勾股定理。2002年国际数学大会会标 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。勾股弦勾股定理：勾股史话“勾”“股”“弦”河北教育出版社 八年级 | 上册 导入新课 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。 商高《周髀算经》商高定理河北教育出版社 八年级 | 上册 导入新课 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理和百牛定理．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票．毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理1955年希腊发行河北教育出版社 八年级 | 上册 导入新课实验探究41620河北教育出版社 八年级 | 上册 导入新课问题：
1.你能求出每个正方形的面积吗？
2.它们的面积有什么关系？导入新课河北教育出版社 八年级 | 上册 实验探究问题：
1.你能求出每个正方形的面积吗？
2.你能求出c是多少吗？
3.直角三角形的三条边有什么关系？问题1 如图，每一个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°，图中以AC、BC、AB 为边的正方形的面积分别是多少？这三个正方形的面积之间具有怎样的关系？ 猜想：S1+S3=S2探究新知河北教育出版社 八年级 | 上册 ABCS1S3S2问题2 如图，用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°，分别以AC,BC,AB 为边的正方形（红色框标出）的面积之间有什么关系？猜想：S1+S3=S2河北教育出版社 八年级 | 上册 ABCS1S3S2问题3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，请你猜想：分别以AC,BC,AB 为边的正方形（红色框标出）的面积之间是否也具有问题1和问题2 中的三个正方形之间的关系？如果具有，请用图中Rt△ABC的边把这种关系表示出来。猜想：S1+S3=S2c2=a2+b2通过探究可知：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。abcS1S3S2ABC河北教育出版社 八年级 | 上册 如图，是并用四个全等的直角三角形拼成的，其中，四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，请你根据此图，利用它们 之间的面积关系推导出：a2+b2=c2。推导如下：
S正方形ABDE=S正方形CFGH+4S△ACE，
c2=（b-a）2+2×ab，
a2+b2=c2.试着做做abcABDECFGHb-a探究新知河北教育出版社 八年级 | 上册 知识要点勾股定理 即：如果直角三角形两直角边分别a、b斜边为c，那么a2+b2=c2 。勾股弦 如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理。河北教育出版社 八年级 | 上册 勾股定理也可以叙述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 。 36 cm2河北教育出版社 八年级 | 上册 巩固练习河北教育出版社 八年级 | 上册 巩固练习1. 出示练习，学生完成。2. 问题：什么时候应用勾股定理？应用勾股定理是应该注意什么？2.判断题. ①Rt△ABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( ) ②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 ( )
3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______.√?244.8河北教育出版社 八年级 | 上册 1.说说对勾股定理的认识?谈谈学习感受?
2.思考验证勾股定理的方法。
(可以查阅资料，也可自主探究)
?拓展新知河北教育出版社 八年级 | 上册 课堂小结(1)遇到求线段长度的问题时，能想到利用勾股定理。
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切记乱用勾股定理。
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条是斜边。1.这节课我们学习了什么知识？2.运用勾股定理时应注意什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边分别a、b斜边为c，
那么a2+b2=c2 。（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。）课件15张PPT。河北教育出版社 八年级 | 上册 河北教育出版社 八年级 | 上册 复习导入我们已经学习了勾股定理及其应用，请同学们回顾以下问题：
1.勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。）
2.应用勾股定理时应该注意什么？请同学们讨论，并猜想。然后进行下面的实验探究。那么反过来，我们就会想，在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗？河北教育出版社 八年级 | 上册 实验探究请同学们自己做一做。练一练 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答下列问题:
1.这三组数都满足 a 2 +b 2 =c 2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？河北教育出版社 八年级 | 上册 实验结果：
① 5,12,13满足a 2 +b 2 =c 2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a 2 +b 2 =c 2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a 2 +b 2 =c 2 ,可以构成直角三角形.河北教育出版社 八年级 | 上册 探究新知问题 如果△ABC的三边a，b，c满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么∠C是直角吗？分析：在△ABC中，由边的关系a 2 +b 2 =c 2 ，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等的性质来说明∠C是直角。下面我们就来进行验证： 河北教育出版社 八年级 | 上册 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求证：∠C=90°.证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2.在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C'=∠C=90°（全等三角形的对应角相等）.河北教育出版社 八年级 | 上册 学习新知勾股定理的逆定理如果△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。河北教育出版社 八年级 | 上册 新知应用例 如图，是一个机器零件的示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标，现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ACB=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD=90°. 河北教育出版社 八年级 | 上册 在△ABC中，
∵AC=5.CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169.
∴AC2+CD2=AD2.
∠ACD=90°（勾股定理的逆定理）.
∴根据这些条件，能知道∠ACD=90°.解：在△ABC中，∵∠ACB=90°.
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
∵AB=4，BC=3，∴AC2=32+42=52.
∴AC=5，
河北教育出版社 八年级 | 上册 课堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以
是 (B )
A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 (A )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?解：是直角三角形.因为a2+b2=c2，满足勾股定理的逆定理.3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.直角河北教育出版社 八年级 | 上册 5.小明在一次偶然的机会中，发现工人师傅在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，采取了如下的方法：如图，先量出框AB和框BC的长，再量出点A和点C的距离，由此推断出∠B是不是直角。ABCD河北教育出版社 八年级 | 上册 利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的一般步骤。（1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边；（2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方和相等.若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不相等，则不是直角三角形.河北教育出版社 八年级 | 上册 1.请同学们小组讨论。
2.师生共同总结。课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。应用：判定三角形是否为直角三角形。河北教育出版社 八年级 | 上册 古埃及人和我国古代大禹治水时画直角，以及在军事方面都用到了我们今天所学的勾股定理的逆定理的知识。
数学来源于生活，又应用于生活，服务于生活。?*Zx，，xk河北教育出版社 八年级 | 上册 课件16张PPT。河北教育出版社 八年级 | 上册 河北教育出版社八年级 | 上册 复习导入课前提问：
1.勾股定理
2.运用勾股定理时应该注意些什么？我们已经学习了勾股定理，在实际生活和生产中，勾股定理有着广泛的应用，利用勾股定理，我们可以解决一些实际问题。
河北教育出版社 八年级 | 上册 感受生活中“勾股定理”的应用结合生活例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°.测得AB=200m，BC=160m.根据测量结果，求点A和点C间的距离。请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。解：在△ABC中，∵∠ACB=90°.
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
∵AB=200m，BC=160m，答：点A和点C间的距离是120m。河北教育出版社 八年级 | 上册 规范解答：例2 如图，在长为50mm，宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离。 河北教育出版社 八年级 | 上册 请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。河北教育出版社 八年级 | 上册 解：∵△ABC中是直角三角形，
∴AC 2 +BC 2 =AB 2 （勾股定理）.
∵AC=50-40-26=9（mm），
BC=40-18-10=12（mm），答：A和B间的距离是15mm。规范解答：例3 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？河北教育出版社 八年级 | 上册 请同学们先独立思考，然后交流解决问题，最后请同学板演。解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺。设水深AC为x尺。在Rt△ABC中，∴AC 2 +BC 2 =AB 2 （勾股定理）.又∵AB=AD=（x+3）尺,
∴（x+3） 2 =x 2 +62，化简解得x=4.5.
答：湖水深4.5尺。河北教育出版社 八年级 | 上册 规范解答：在应用勾股定理解决实际问题时，关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形模型，常见类型有： （1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含有平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度解决生活、生产中的实际问题。河北教育出版社 八年级 | 上册 学有所思1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cmB河北教育出版社 八年级 | 上册 课堂练习2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？河北教育出版社 八年级 | 上册 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:最短时,x=1.5所以最长是2.5+0.5=3(m).答:这根铁棒的长应在2～3 m之间。所以最短是1.5+0.5=2(m).河北教育出版社 八年级 | 上册 x 2 =1.5 2 +2 2
解得x=2.53.如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC ，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD= cm．4河北教育出版社 八年级 | 上册 4.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．7D河北教育出版社 八年级 | 上册 5.如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．不能确定C河北教育出版社 八年级 | 上册 已知直角三角形的任意两边，求第三边已知直角三角形的一边，确定另两边的关系证明含有平方（算术平方根）关系的几何问题构造方程（或方程组）计算有关线段的长度解决生活、生产中的实际问题。河北教育出版社 八年级 | 上册 勾股定理的应用课堂小结
