11.2.1 三角形内角和定理
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°﹣∠B；④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
3．已知，在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，则∠B=（ ）
A．60° B．30° C．20° D．40°
4．有一个外角等于120°，且有两个内角相等的三角形是（ ）
A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
5．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．60°
6．在△ABC中，∠A=25°，∠B=63°，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A
8．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=1：2：3，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC上的点A′处，如果∠A′EC=70°，则∠A′DE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．65°
10．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD，若∠B=30°，∠C=40°，则∠DAC的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．75°
12．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=45°，∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
二．填空题（共8小题）
13．在△ABC中，若∠A=78°，∠B=57°，则∠C= ．
14．已知三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则这个三角形三个内角的度数为 ．
15．一个三角形的三个内角中最多有 个钝角（或直角）．
16．在△ABC中，∠C=60°，∠A=2∠B，则∠A= ．
17．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB= （度）．
18．在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．
19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）
20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠A=80°，则∠BOC= ．
三．解答题（共4小题）
21．如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB的度数．
22．如图，在△ABC中，∠A=50°，过点C作CD∥AB，若CB平分∠ACD，求∠B的度数．
23．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠EAD的度数；
（3）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．
24．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°．
（1）∠BAC= °；
（2）求∠DAE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．
解：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选：C．
2．
解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．
故选：D．
3．
解：∵在△ABC中，∠A=60°，∠C=80°，
∴∠B=180°﹣60°﹣80°=40°．
故选：D．
4．
解：当∠BAC的外角是120°时，
则∠BAC=60°，
∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=60°，
即∠BAC=∠B=∠C，
所以△ABC是等边三角形；
当∠ABC的外角是120°时，∠ABC=60°，
即∠C=∠ABC=60°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形；
同样当∠ACB的外角是120°，也能推出△ABC是等边三角形；
故选：C．
5．
解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为180°，
∴x+y+x﹣y+x=180，
∴3x=180，
x=60，
故选：D．
6．
解：∵△ABC中，∠A=25°，∠B=63°，
∴∠C=180°﹣25°﹣63°=92°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
7．
解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2，
∴∠1﹣∠2=2∠A，
故选：D．
8．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴若 ①∠A+∠B=∠C，则∠C=90°．三角形为直角三角形；
②∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°．三角形不是直角三角形；
③∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形；
故选B．
9．
解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，
又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．
故选：D．
10．
解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
11．
解：∵AB=BD，∠B=30°，
∴∠ADB=75°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=75°﹣40°=35°．
故选：B．
12．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（45°+60°）=75°，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
13．
解：由题可得，
∠C=180﹣∠A﹣∠B
=180°﹣78°﹣57°
=45°，
故答案为：45°．
14．
解：根据三角形的内角和定理，得
三个内角分别是180°×=40°，180°×=60°，180°×=80°．
15．
解：假设三角形中，出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，不符合三角形内角和是180°，因而假设不成立，
所以一个三角形中最多有一个钝角．
故答案为：1．
16．
解：设∠A=2x，则∠B=x，
由三角形内角和等于180°，得：2x+x+60°=180°，
解得x=40°．
∴∠A=2x=2×40°=80°．
故答案为：80°．
17．
解：由题意可得∠DAE=∠BAC﹣（90°﹣∠C），
又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，
∴90°﹣2∠B=∠B，
则∠B=36°，
∴∠BAC=2∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°．
故答案为72
18．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．
故答案是：270°．
19．
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
20．
解：∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
三．解答题（共4小题）
21．
解：∵DF⊥AB于点F，
∴∠AFE=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AEF=45°，
∴∠CED=∠AEF=45°．
∴∠ACB=∠D+∠CED=30°+45°=75°．
22．
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=50°，
∴∠B+∠ACB=130°．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠B．
∵CB平分∠ACD，
∴∠DCB=∠ACB，
∴∠ACB=∠B，
∴2∠B=130°，
∴∠B=65°．
23．
解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°．
又∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×100°=50°．
（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°﹣30°=60°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50°=10°．
（3）∠DAE=（β﹣α），理由如下：
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°﹣α﹣β．
又∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠BAC=90°﹣（α+β）．
∵∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣α，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣[90°﹣（α+β）]=（β﹣α）．
24．
解：（1）∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°
故答案为：60°
（2）∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=60°
∴∠BAE=30°
∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE
=100°
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE
=100°﹣90°
=10°
答：∠DAE的度数是10°．
11.2.2 三角形的外角性质
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共12小题）
1．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（ ）
A．50° B．65° C．90° D．130°
2．如图，在△ABC中，∠C=80°，D为AC上可移动的点，则x可能是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，∠x的两边被一直线截得∠α，∠β，则x用α，β表示的式子是（ ）
A．β﹣α B．α﹣β C．180°﹣α﹣β D．180°﹣α+β
5．如图所示，下列四个判断中，正确的是（ ）
A．∠ACE是△ABC的外角 B．∠ECD是△ABC的外角
C．∠DCF是△ABC的外角 D．∠ACD是△ABC的外角
6．三角形的三个外角之比为2：2：3，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3的大小为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
8．如图，船从A处出发准备开往正北方向M处，由于一开始就偏离航线AM15°（即∠A=15°），航线到B处才发现，立即改变航向，并想在航行相同航程后（BM=BA）到达目的地M处，则应以怎样的角度航行即∠CBM等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，点D是AB延长线上的一点．∠CBD的度数是（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC=（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（ ）
A．75° B．135° C．120° D．105°
二．填空题（共8小题）
13．△ABC的三个外角之比为3：4：5，则最大内角为 ．
14．△ABC中，∠A=32°，∠B=76°，则与∠C相邻的外角是 °．
15．如图，在△ABC中，D是边BC延长线上的一点，∠B=45°，∠A=75°，则∠ACD= ．
16．在△ABC中，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为 度，这个三角形是 三角形．
17．如图，x的值是 ．
18．如图，△ABC中，∠C=40°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与D交于点D，那么∠D= °．
19．如图，△ABC中，∠A=60°，BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CN是外角的平分线，则∠M﹣∠N= 度．
20．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
21．如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．
22．感知：如图①，△ABC是锐角三角形，△ABC的外角∠ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F，若∠ABC=45°，∠BAC=65°，求∠F的度数：
探究：在图①中，若∠ACB=α，其他条件不变，求∠F的度数（用含α的式子表示）；
应用：如图②，在△ABC中，∠ACB是钝角，△ABC的外角∠BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F，若∠ACB=α，则BE与CF相交所成的角的大小是 （用含α的式子表示）．
23．某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
24．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，求∠D的度数．
25．如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．?
（1）当∠A=40°时，分别求∠D和∠P的度数．
（2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．
解：根据题意，∠3﹣∠2=180°﹣∠1，
且∠1=130°，
即得∠3﹣∠2=50°．
故选：A．
2．
解：根据题意，9x＞∠C=80°，
∴x＞（）°，
在△ABD中，9x＜180°，
∴x＜20°，
因此（）°＜x＜20°．
故选：B．
3．
解：设这个外角的度数为x，则与其相邻的内角为180°﹣x．
根据题意得，x=2（180°﹣x），
解得x=120°．
则与其相邻的内角为60°，
等于与它不相邻的一个内角的2倍，
可得这个与其不相邻的内角为60°；
即得该三角形为等边三角形．
故选：D．
4．
解：∵∠x+∠1=∠β，∠α=∠1，
∴∠x+∠α=∠β，即∠x=∠β﹣∠α．
故选：A．
5．
解：A、∠ACE不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
B、∠ECD是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
C、∠DCF是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
D、∠ACD是△ABC的外角，原说法正确，故本选项正确；
故选：D．
6．
解：设一个外角是2x°，那么其他两个外角一定是2x°，3x°．
根据题意列方程，得2x°+2x°+3x°=360°，
解得x=（51）°，
则三个外角分别是：度，度，度．
与这三角相邻的三个内角分别是：度，度，度．
因为都是锐角，所以此三角形是锐角三角形．
故选：A．
7．
解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选：D．
8．
解：∵BM=BA，
∴∠A=∠M=15°，
∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°．故选D．
9．
解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠A+∠ACB，
∵∠A=55°，∠ACB=90°，
∴∠CBD=55°+90°=145°，
故选：C．
10．
解：由折叠的性质可知，∠BA′D=∠A=65°，
∵∠ABC=90°，∠A=65°，
∴∠C=25°，
∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°，
故选：A．
11．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
12．
解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠1=45°，∠2=30°，
∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
13．
解：∵三角形三个外角度数之比是3：4：5，
设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×=90°，
∴此三角形一定是直角三角形，最大内角为90°．
故答案为：90°．
14．
解：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠A=32°，∠B=76°，
∴∠1=32°+76°=108°，
故答案为：108．
15．
解：∵∠B=45°，∠A=75°，
∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°，
故答案为：120°．
16．
解：由题意∠C=∠A+∠B+30°，
∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°，
∴∠A+∠B=75°，
∴∠C=105°，
∴∠C的外角是75°，
∵∠C=105°＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故答案为75，钝角三角形．
17．
解：由三角形的外角的性质可知，x+x+20=x+80，
解得，x=60，
故答案为：60．
18．
解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，
∴∠D=∠DBE﹣∠DAE=（∠CBE﹣∠CAE）=∠C=20°，
故答案为：20．
19．
解：∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠M=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A；
∵BN、CN是外角的平分线，
∴∠N=90°﹣，
∴∠M﹣∠N=∠A=60°，
故答案为：60
20．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，
故答案为：15°．
三．解答题（共5小题）
21．
证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角（外角定义）
∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ADB是△BCD的一个外角（外角定义）
∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）．
22．
解：感知：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，
由角平分线的性质，得
∠ACF=∠ACD=55°，
由三角形内角和定理，得
∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．
探究：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，
由角平分线的性质，得
∠ACF=∠ACD=55°，
由外角的性质，得
∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．
应用：由补角的性质，得
∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α，
由角平分线的性质，得
∠ECF=∠BCE=90°﹣α，
由外角的性质，得
∠CFE=90°﹣∠ECF=α，
由补角的性质，得
∠BFC=180°﹣α，
综上所述：BE与CF相交所成的角的大小是
故答案为：α或180°﹣α．
23．
解：如图，连接AD并延长，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，
∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，
=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，
=∠B+∠BAC+∠C，
=32°+90°+21°，
=143°，
∵143°≠145°，
∴这个零件不合格．
24．
解：∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∵∠B，∠C的平分线交于点O，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=60°，
∵D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，
∴∠DCH=∠ACH，∠DBC=∠ABC，
∴∠D=∠DCH﹣∠DBC=×（∠ACH﹣∠ABC）=30°．
25．
解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
在△BCD中，
∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）
=180°﹣（90°﹣∠A）
=90°+∠A
=90°+20°
=110°；
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP=∠CBE，∠BCP=∠BCF，
∴∠CBP+∠BCP
=∠CBE+∠BCF
=（∠CBE+∠BCF）
=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=（180°+∠A），
∴∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP）
=180°﹣（180°+∠A）
=90°﹣∠A
=90°﹣×40°
=80°．
（2）∠D+∠P的值不变．
∵由（1）知∠D=90°+∠A，∠P=90°﹣∠A，
∴∠D+∠P=180°．
