2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷1
一、填空题
1．写出命题“若，则或”的否命题为__________．
【答案】若，则且
【解析】命题“若，则或”的否命题为若，则且，故答案为若，则且.
2．曲线在点（1,1）处的切线方程为_________.
【答案】
3． 命题“?x＜3，x2＞9”的否定是_____．
【答案】
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 的否定是： ，
故答案为．
4．直线的倾斜角为__________．
【答案】（或）
【解析】
5．设，则“”是“”的_________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．
【答案】充分不必要．
【解析】由题设可得，是充分条件；当，即不是必要条件，应填答案充分不必要条件。
6． 若，则等于___________.
【答案】
【解析】由，得： ， 取得： ，所以，故， 故答案为.
7．已知双曲线的一条渐近线是，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．函数的单调递增区间为_____________.
【答案】（0，1）
【解析】函数有意义，则： ，且： ，
由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.
9．抛物线的焦点坐标为___________
【答案】
【解析】抛物线的焦点坐标为
故答案为：
10．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】求导 在 上恒成立，即 .
11． 已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
【答案】
12． 已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
令
，又
.
13．设a＞0，b＞0，4a＋b＝ab，则在以(a，b)为圆心，a＋b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是______．
【答案】(x?3)2＋(y?6)2＝81；
点睛：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程；要求面积最小的圆的即要半径最小，就要最小，求出的最小值即可得到圆的半径及、的值，写出圆的标准方程即可.
14．椭圆C. 左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上存在点P,使得PF1=2ePF2(e为椭圆的离心率,则椭圆C的离心率的取值范围为_________
【答案】
【解析】椭圆C上存在点P,使得 PF1=2e ，又
故答案为
点睛：本题考查了椭圆的定义及焦半径的范围，利用解不等式组即得解.
二、解答题
15． 已知命题： ，命题： （）．
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若， 为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：先解得.（1）由于是的充分条件，故，由此解得；（2）当时， .由于真， 假，故一真一假.分别令真假和假真，求得的取值范围.
试题解析：（1）对于，对于，
由已知， ，∴∴.
（2）若真： ，若真： ，
由已知， 、一真一假.
①若真假，则，无解；
②若假真，则，∴的取值范围为.
16． 已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：1）分别求出为真时的的范围，根据充分必要条件的定义得到关于的不等式组，解出即可；
（2）求出是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解出即可．
17．如图，已知动直线过点，且与圆交于、两点．
（1）若直线的斜率为，求的面积；
（2）若直线的斜率为，点是圆上任意一点，求的取值范围；
（3）是否存在一个定点（不同于点），对于任意不与轴重合的直线，都有平分，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：
(1)利用题意分别求得距离和弦长可得；
(2)利用题意得到关于纵坐标y的函数，结合定义域可得的取值范围是.
(3)联立直线和圆的方程，结合对称性可得点Q存在，其坐标为 .
试题解析：
解：（1）因为直线的斜率为，所以直线 ，
则点到直线的距离，
所以弦的长度，
所以.
（2）因为直线的斜率为，所以可知、，
设点，则，
又，
所以，又，
所以的取值范围是.
（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点在轴上，设、又设、，
因直线不与轴重合，设直线 ，
代入圆得，
所以（*）
若平分，则根据角平分线的定义，与的斜率互为相反数
有，又，，
化简可得，
代入（*）式得，因为直线任意，故，
即， 即
化简可得，
代入（*）式得，因为直线任意，故，
即， 即
18． 某企业生产一种产品，日销售量（百件）与产品销售价格（万元/百件）之间的关系为，已知生产（百件）该产品所需的成本（万元）.
（1）把该产品每天的利润表示成日产量的函数；
（2）求当日产量为多少时，生产该产品每天获得的利润最大？
【答案】（1）；（2）当日产量为6百件时，生产该产品每天获得的利润最大.
【解析】试题分析：(1)用销售额减去成本即可得出的解析式;(2)利用导数判断的单调性，从而可得当时，出的最大值.
19．如图,直线与圆O: 且与椭圆C: 相交于A,B两点
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长AB;
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值,并说明理由
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由题意直线斜率存在，设直线因为直线与圆相切，所以时， 解得，所以，当时，同理（2）ⅰ）当的斜率不存在时，得；ⅱ）当的斜率存在时，设直线 因为直线与圆相切， 所以①，与椭圆进行联立，韦达定理所得式子代入可得得;
试题解析：
（1）由题意直线斜率存在，设直线因为直线与圆相切，所以时， 解得，所以当时，同理所以
（2）ⅰ）当的斜率不存在时，得；
ⅱ）当的斜率存在时，设直线 因为直线与圆相切， 所以①，，
，② ③，将①②代入③式得所以
点睛：本题考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，直线与圆相切转化为，直线与椭圆相交则联立，韦达定理表示所求即得解，注意计算过程的准确性.
20.已知函数，其中
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】试题分析：（1）先求 切线方程（2）求导得，令 ，再分 和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；（3）利用分类讨论思想分 和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；
②若， ，该二次函数开口向下，对称轴， ，
所以在上有且仅有一根，故，
且当时， ， ，函数在上单调递增；
当时， ， ，函数在上单调递减；
所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；
③若， ，该二次函数开口向上，对称轴．
（ⅰ）若，即， ，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；
（3）由（2）可知，
①当时，函数在上单调递增，所以当时，
，符合题意，
②当时， ，
（ⅰ）若，即，函数在上单调递减，故，不符题意，舍去，
（ⅱ）若，即，故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时， （事实上，令， ，则，函数在上单调递减，所以，即对任意恒成立．）
所以存在，使得，故不符题意，舍去；
③当时， ，函数在上单调递增，所以当时， ，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷2
一、填空题
1．命题“”的否定是____________．
【答案】
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.
2．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则______.
【答案】-2
考点：导数的运用.
3．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意，解得．
考点：含有存在题词的命题的真假．函数的零点．
4．若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】∵不等式 成立的一个充分条件是 ，
∴当时，不等式不等式成立，
设
则满足 ，即
解得
故答案为 ．
5．已知点A(－3，－4)，B(6， 3)到直线l:ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a等于______．
【答案】或
【解析】∵两点，到直线的距离相等， ∴，化为．∴， 解得或，故答案为或.
6． 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为___________.
【答案】
点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.
7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
【答案】
【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；
考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；
8．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， 若，则的大小关系为___________.（用“<”连接）
【答案】
9．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ．（写出所有不正确命题的序号）
【答案】①②
【解析】试题分析：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真；②命题“设，，若，则或”是一个真命题；③的解集是，故“”是“”的充分不必要条件；正确；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．正确
考点：命题真假的判断
10． 已知函数，设为的导函数，
根据以上结果，推断_____________.
【答案】
【解析】 .
11．已知函数的图象为曲线C,O为坐标原点，若点P为曲线C上的任意一点，曲线C上存在点Q,使得，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】不妨设 ，
设 ，
记 是减函数，由 ，故所求集合为
12．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为______.
【答案】4
【解析】
当且仅当 时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
13．已知F1,F2是椭圆和双曲线C2的公共焦点,A为C1,C2的一个公共点,且A到原点的距离为,则C2的离心率为_________
【答案】
14．已知椭圆的右顶点为, 点,过椭圆上任意一点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为_________.
【答案】
【解析】在椭圆中， ，所以椭圆的右焦点坐标为，右准线方程为。过点作右准线的垂线，设垂足为G，则，由椭圆的第二定义得，所以。
因此，
当且仅当三点共线时等号成立。
所以的最小值为。
答案：
点睛：本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷，如在本题中运用了连接两点间的线中线段最短的结论。
二、解答题
15． 设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R;命题q:方程表示椭圆
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题"p或q”为真命题,求实数a的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ） 解不等式求解（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集即得解.
试题解析：
（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ）；所以.
（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集，所以
16． 已知，命题椭圆C1： 表示的是焦点在轴上的椭圆，命题对，直线与椭圆C2： 恒有公共点.
（1）若命题 “”是假命题，命题“”是真命题，求实数的取值范围.
（2）若真假时，求椭圆C1、椭圆C2的上焦点之间的距离d的范围。
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）当命题P为真命题时可得，当为真命题时；由“”假，“”真可得一真一假，分两种情况讨论可得结论；（2）由条件知求当时，求点与点之间距离的最小值，利用函数的知识可求解。
试题解析：
（1）若命题P为真命题时，则有 ，
∵直线过定点，
∴当命题为真命题时，则有，
解得，
∵命题 “”是假命题，命题 “”是真命题，
∴命题和命题一真一假。
①当真假时，
则有，解得；
②当假真时，
则有，解得或。
综上所述或或，
所以实数的取值范围为。
点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
17．如图，在半径为3的圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.
（1）写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；
（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？最大体积是多少？（圆柱体积公式： ， 为圆柱的底面积， 为圆柱的高）
【答案】（1）其中.（2）当为 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是 .
【解析】试题分析：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为r，则=2πr，即可得出r．利用V=πr2?x（其中0＜x＜30）即可得出．（2）利用导数V′，得出其单调性，即可得出结论．
列表如下：
极大值
所以当时， 有极大值，也是最大值为.
答：当为 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是 .
18．如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）．
【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程，再根据，解方程组可求得的值，从而可得椭圆方程．（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去得关于的一元二次方程，由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据斜率公式分别求和的值．求．
试题解析：解：（1）由在椭圆上，得①．
又得．．②
由①②，得
故椭圆C的方程为5分
（2）设直线的方程为，
由
7分
又将代入得
，
故存在常数符合题意．
考点：1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题．
19．设函数。
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）5；（2）；（3）存在， ，理由见解析．
【解析】试题分析：（1）分别求出函数、的导函数，分别求得在出的切线斜率，有两切线垂直的条件，解方程即可得到的值；
（2）由函数在定义域内不单调，又，所以得的最小值为负，即可求出的取值范围；
（3）假设存在实数，使得对任意正实数恒成立，构造新的函数，求导，求出新函数的单调区间和最值，结合不等式恒成立的思想列出对应的等式，求出的值．
（3）令 ，其中
则 ，设
在单调递减， 在区间必存在实根，不妨设
即，可得（*）
在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
，代入（*）式得
根据题意恒成立．
又根据基本不等式， ，当且仅当时，等式成立
所以， ．代入（*）式得， ，即
（以下解法供参考，请酌情给分）
解法2： ，其中
根据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时．
解法3： ，其中
设 ， 函数单调递增， 函数单调递减，
要使得对任意正数恒成立，
只能是函数， 的与轴的交点重合，即，所以．
考点：1．导函数的应用；2．不等式恒成立问题．
20．如图,M在椭圆C: 上,经过点P的直线交椭圆于E,F(E在F上方),直线MP交椭圆于N.
(1)求椭圆C的方程
(2)若直线的斜率为求的值;
(3)若求直线的方程
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
试题解析：
（1）因为点M在椭圆 上，
所以，解得。
所以椭圆方程为
（2）由题意得直线，
由消去整理得，
设
则
所以= ，
所以.
（3）设
因为
所以,
所以
又因为
解得
所以的方程为，
整理得.
2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷3
一、填空题
1．命题“若，则”的逆否命题是__________.
【答案】若，则
【解析】 命题的条件： ，结论是： ， 则逆否命题是： ，则，故答案为若，则.
2．抛物线y2=2mx(m>0)的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为_________
【答案】
3． 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的______条件. (请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空).
【答案】必要不充分
【解析】当“α⊥β”时，m与β的关系可以是相交、平行、垂直，故“m⊥β”不一定成立；反之，当m⊥β时，又，故有α⊥β，即当“m⊥β”时，必有“α⊥β”。综上可得“α⊥β”是“m⊥β” 必要不充分条件。
答案：必要不充分
4．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．
①命题“若，则”的否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③命题“?∈R，使得”的否定是“?∈R，均有”；
④命题“若，则”的逆否命题为真命题．
【答案】④
【解析】对于命题①命题“若，则”的否命题为“若，则”，故该命题是错误的；对于命题②“”是“”的充分不必要条件，则该命题也是错误的；对于命题③命题“?∈R，使得”的否定是“?∈R，均有”，所以该命题也是错误的；对于命题④由于命题“若，则”是真命题，所以由原命题与其逆否命题同真假可知该命题的逆否命题为真命题，故该命题是的真命题，应填答案④．
5．已知函数在区间取得最小值4，则 ．
【答案】
考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．
【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间取得最小值这一条件和信息,先对函数进行求导,进而分类讨论参数的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出符合题设条件的参数的值.
6．已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______ ．
【答案】
【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.
7．已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】 ，当 时， 为极大值，矛盾；当 时 为极大值；当 时，无极值；当 时 为极小值，故取值范围为.
8．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是
【答案】
【解析】先求与直线 平行的曲线的切线，设切点为 ，则由 ，所以切点为 ，因此点P到直线y=x﹣2的最小距离为
9．已知定义在上函数满足，且，则不等式的解集为________.
【答案】
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值是______．
【答案】±13；
【解析】由圆的方程，可得圆心坐标为，圆半径，∵圆心到直线的距离，∴，即， 解得，故答案为±13.
点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式解决问题；由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值.
11． 函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.
【答案】3
12．已知A(-1,0),B(2,0),直线l:x+2y+a=0上存在点M,使得MA2+2MB2=10,则实数a的取值范围为_________
【答案】
【解析】设,由得
整理得 ,由题意可得直线l:x+2y+a=0与有交点,联立得
整理得 解得a
故答案为
点睛：本题考查了直接法求M轨迹，又点M在直线l上，所以问题转化为直线与求得的M轨迹方程有交点，即 解不等式即得解，计算量大些，要注意准确性.
13． 若不等式对任意恒成立，则实数的值______.
【答案】
【解析】当 时，记
；当 时 或，综上 .
14．椭圆左、右焦点分别为若椭圆上存在点,使得为椭圆的离心率,则椭圆的离心率的取值范围为_________.
【答案】
【解析】由题意得，解得，
∵，即，
∴，
整理得，解得或（舍去），
又，
∴。故椭圆的离心率的取值范围为。
答案： 。
点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求的值，由直接求．(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
二、解答题
15． 已知：命题： 表示双曲线，
命题：函数在上单调递增.
（1）若命题为真命题，求实数取值范围；
（2）若命题和命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析：
（1）∵命题为真命题
∴，解得
∴实数的取值范围为.
（2）当命题为真命题时有恒成立
∴，解得
若命题是真命题，命题是假命题，则有
解得；
若命题是假命题，命题是真命题，则有
解得.
故所求实数的取值范围为.
16． 已知：方程表示双曲线；：关于x的方程有实根；如果复合命题“或”为真，“且”为假，求m的取值范围.
【答案】1【解析】试题分析：
首先确定p,q均为真的实数m的取值范围，然后结合命题的运算讨论实数m的取值范围即可.
17．某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC, 百米， 百米，广场入口P在AB上，且，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN（小路的宽度不计），点M,N分别在边AD,BC上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场， 区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化，PM小路的美化费用为每百米1万元，PN小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化总费用最低，并求出最小费用.
【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为平方百米;(2) 时总美化费用最低为4万元.
【解析】试题分析：（1）先求得
,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得 ，
总美化费用为 ，再利用导数工具求得正解.
试题解析：（1）在中， ，得，
所以
由,
在中， ，得，
所以
所以绿化草坪面积
又因为
当且当，即。此时
所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.
（2）方法一：在中， ，得，
由,
在中， ，得，
所以总美化费用为
令得列表如下
-
0
-
单调递减
单调递增
所以当时，即时总美化费用最低为4万元。
方法二：在中， ，得，
由,
在中， ，得，
所以总美化费用为
令得
所以，
所以在上是单调递减
所以当， 时，即时总美化费用最低为4万元。
18．已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交， 圆于不同两点，记的斜率为
（1）求的取值范围；
（2）若四边形为梯形，求的值．
【答案】（1）（2）或．
【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式求得的取值范围，；（2）首先设出点的坐标，然后分别将的方程代入圆的方程，从而利用韦达定理，结合梯形的性质求得的值．
试题解析：（1）显然k≠0，所以l1：y＝kx，l2：y＝－x．
依题意得M到直线l1的距离d1＝＜，
整理得k2－4k＋1＜0，解得2－＜k＜2＋；
同理N到直线l2的距离d2＝＜，解得－＜k＜，
所以2－＜k＜．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将l1代入圆M可得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝； …7分
将l2代入圆N可得：(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝．
由四边形ABCD为梯形可得，所以＝，
所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3（舍）．
考点：1、点到直线的距离公式；2、直线与圆的位置关系．
19．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对，都有成立，求的取值范围；
（3）当时，求在上的最大值.
【答案】（1）（2） (3)
试题解析：
⑴时， ， ，令，得 ，解得．
所以函数的单调增区间为．
⑵由题意 对恒成立，因为时， ， 所以对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，
所以，因此．
，记， 对恒成立，
所以在上单调减函数， ， ，所以，使，
当时， ， 在上是单调增函数；当时， ， 在上是单调减函数．又，所以对恒成立，
即对恒成立，所以．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
20．如图，已知椭圆的右准线的方程为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点作直线与椭圆交于点（异于椭圆的左、右顶点）两点，设直线与直线相交于点.
①若，试求点的坐标；
②求证：点始终在一条直线上.
【答案】（1）点的坐标为， 的坐标为（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求得直线MA1的方程和以MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点P，Q的坐标；②设点M（x0，y0），求得直线MA1的方程和以MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点P，Q的坐标，结合P，Q，B三点共线，所以kPB=kQB，化简整理，可得或．分别考虑，即可得到点M始终在一条定直线x=4上．
②设点，由题意， ．因为， ， 所以直线的方程为，代入，得，
即，因为，
所以，则，故点的坐标为．
同理可得点的坐标为．
因为， ， 三点共线，所以， ．
所以，即，
由题意， ，所以．
即．
所以，则或．若，则点在椭圆上， ， ， 为同一点，不合题意．故，即点始终在定直线上.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
