2．1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1.1 向量的物理背景与概念
2．1.2 向量的几何表示
2．1.3 相等向量与共线向量
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
2．已知A，B，C是⊙O上三点，则向量，，是( )
A．共线向量 B．单位向量
C．模相等的向量 D．相等向量
3．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等但方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
4．如图L2-1-1所示，△ABC的三边边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，则与向量的模相等的向量共有( )
图L2-1-1
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
5．如图L2-1-2所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系中不一定成立的是( )
图L2-1-2
A．||＝|| B.与共线
C.与共线 D.与共线
6．已知O是△ABC内一点，若||＝||＝||，则O是△ABC的( )
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
7．下列说法正确的是( )
①若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点一定不在同一直线上；
②若向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0；
③向量的长度与向量的长度相等；
④单位向量都相等．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知四边形ABCD是菱形，则在向量，，，，和中，相等的有________对．
9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
10．如图L2-1-3所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．(填序号)
图L2-1-3
①＝；
②∥；
③与共线；
④＝.
11．给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同、终点相同时才相等；
②若＝，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；
③若四边形ABCD为平行四边形，则＝；
④若a≠b，则a与b一定不共线．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
13．(13分)图L2-1-4是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
图L2-1-4
得分
14．(5分)一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点，则此人从C点回到A点的位移为______________．
15．(15分)如图L2-1-5所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
图L2-1-5
1．C [解析] 向量不能比较大小，故A错；向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错；不相等的向量也可能是共线向量，故D错；C显然正确．
2．C [解析] 因为A，B，C都在圆上，所以，，的模是相等的．故选C.
3．D [解析] 显然选项A，B，C正确；方向相同或相反的两个向量是共线向量，所以选项D不正确．
4．B [解析] ∵E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.又AB，BC，AC均不相等，∴与向量的模相等的向量有，，，，，共5个．
5．C [解析] ∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又D，C，E三点共线，∴与共线，∴A，B，D一定成立．故选C.
6．C [解析] 由条件知点O到△ABC的三个顶点的距离相等，所以O是△ABC的外心．
7．D [解析] 对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．
对于②，∵|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.
对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．
对于④，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故选D.
8．2 [解析] ＝，＝，共2对．
9．0 [解析] ∵A，B，C不共线，∴与不共线．又∵m与，都共线，∴m＝0.
10．①②③ [解析] 根据正方形的特征，结合相等向量、平行向量的定义可知，只有④是错误的，与只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．
11．③ [解析] 起点和终点都相同的向量一定相等，但相等的向量只要求长度相等、方向相同，并不要求起点相同，故①错；若＝，则A，B，C，D四点还可能共线，∴②错，③正确；当a＝b时，a与b一定共线，但当a与b共线时，不一定有a＝b，故a≠b时，a与b可能共线，④错．故填③.
12．解： 根据题意作出示意图，如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，
∴AC＝2000.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1000，∠CAD＝45°.
故丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 km.
13．解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
14．沿西偏北15°长度为100 m [解析] 根据题意画出示意图(图略)．由题意可知，||＝100，||＝100，∠ABC＝45°＋15°＝60°，
∴△ABC为正三角形，∴||＝100，即此人从C点回到A点所走的路程为100 m.
又易知此人行走的方向为西偏北15°，所以此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°长度为100 m.
15．证明：∵＝，∴AB＝DC且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝.又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，∴四边形CNAM是平行四边形，∴＝.∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，∴＝.
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．如图L2-2-1所示，已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中正确的是( )
图L2-2-1
A.＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝0
2.＋＋＋＝( )
A. B.
C．0 D.
3．下列命题中，真命题的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图L2-2-2所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
图L2-2-2
A．0 B.
C. D.
5．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则＋等于( )
A. B. C. D.
6．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式不成立的是( )
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
7．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝，则四边形ABCD为( )
A．正方形 B．梯形
C．平行四边形 D．菱形
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8.＋＋＋＝________．
9．设P为?ABCD所在平面内一点，给出下列结论：
①＋＝＋；
②＋＝＋；
③＋＝＋.
其中，正确结论的序号为________．
10．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________．
11．已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)如图L2-2-3，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力大小．
图L2-2-3
13．(13分)如图L2-2-4所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
图L2-2-4
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
1．C [解析] 由相等向量的概念和向量加法的平行四边形法则，易知C正确．
2．B [解析] ＋＋＋＝＋＋＝＋0＝，故选B.
3．B [解析] ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
4．D [解析] ＋＋＝＋＋＝＋＝.
5．C [解析] ∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DE∥AF且DE＝AF，
∴＝，∴＋＝＋＝.
6．C [解析] 由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立．由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．
7．C [解析] ∵＝＋，＝＋，且＝，＝，∴＝，∴AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
8. [解析] ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
9．② [解析] 以PA，PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC的中点O，同样以PB，PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD的中点O′，则O与O′重合，点E，F重合，＝，∴＋＝＋.
10．3 [解析] ∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，∴|a＋b|＝3.
11．[1，5] [解析] ∵|a|－|b|＝3－2＝1，|a|＋|b|＝3＋2＝5，∴1≤|a＋b|≤5.
12．解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.在△OCA中，||＝24，||＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°，∴||＝12.
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成 90°角竖直向上．
13．解：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．平行四边形ABCD中，－－＋等于( )
A．2 B.
C．2 D．0
2．化简下列各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.其中结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在△ABC中，向量可表示为( )
①－；②－；③＋；④－.
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
4．已知O为平行四边形ABCD所在平面上一点，且＝a，＝b，＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b＋c－d＝0
5．已知任意两个向量a，b，则( )
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
B．|a－b|＝|a|－|b|
C．|a－b|≤|a|－|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
7．设a，b为非零向量，且满足|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b的关系是( )
A．既不共线也不垂直 B．垂直
C．同向 D．反向
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________．
9．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
图L2-2-5
10．如图L2-2-5，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．(填序号)
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
11．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
13．(13分)如图L2-2-6所示，已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.
图L2-2-6
1．D [解析] －－＋＝－＋＝＋＝0.
2．D [解析] 4个向量化简后均为零向量．
3．C [解析] 由向量减法和加法可得②③④正确．
4．D [解析] 在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，
∴a－d＝，c－b＝，∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝＋＝0，∴选D.
5．D [解析] 若a，b为共线向量且方向相同，则有|a－b|<|a|＋|b|，若方向相反，则有|a－b|＝|a|＋|b|.
若a，b不共线，则|a|，|b|，|a－b|构成三角形，如图，
∴|a－b|<|a|＋|b|.故|a－b|≤|a|＋|b|.
6．D [解析] 由＋＝，可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．∴点P在△ABC的外部，故选D.
7．D [解析] 设a，b的起点为O，终点分别为A，B，则a－b＝，由|a－b|＝|a|＋|b|，得O，A，B三点共线，且O在A，B之间．所以与反向，故选D.
8．2 [解析] 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，所以||＝||.又||＝4，M是线段BC的中点，M是对角线BC，AD的交点，所以||＝||＝||＝2.
9．2 [解析] |－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
10．① [解析] ∵－＋＝＋＝，＋＝＋＝≠，－＝≠，＋＝≠，∴填①.
11．[3，13] [解析] ＝－.当，同向共线时，||＝||－||＝3；当，反向共线时，||＝||＋||＝13；
当，不共线时，由|||－|||<|－|<||＋||，可得3<||<13.
综上可得3≤||≤13.
12. 解：∵－＋－＝＋，－＝＝－，
又|－|＝|－＋－|，∴|＋|＝|－|，∴以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形为矩形，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．
13．解：(1)＝a＋b，＝a－b.
(2)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线的长相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．3(2a－4b)等于 ( )
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
2．下列各组向量中，能推出a∥b的是( )
①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
3．设P是△ABC所在平面内的一点，且＋＝2，则( )
A.＋＝0
B.＋＝0
C.＋＝0
D.＋＋＝0
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
6．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝( )
A. B．2
C．3 D．4
7．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
9. (a＋2b)－(5a－2b)＋a＝________．
10．在四边形ABCD中，＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是________．
11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
13．(13分) 设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
得分
14．(5分)已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝( )
A．λ(＋)，λ∈(0，1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0，1)
D．λ(－)，λ∈
15．(15分)(1)设a，b是两个不共线的向量，已知＝3a－2b，＝－2a＋4b，＝－2a－4b，试判断A，C，D三点是否共线；
(2)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝3a－2b，＝2a－4b，证明：四边形ABCD为平行四边形．
1．D [解析] 利用向量数乘的运算律，可得3(2a－4b)＝6a－12b，故选D.
2．B [解析] ①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．
3．B [解析] 由＋＝2，得(－)＋(－)＝0，即＋＝0.
4．A [解析] 依题意＝2，∴＝＋＝＋＝＋＝b＋c，选A.
5．B [解析] 因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.选B.
6．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC与BD的中点，即＝－，＝－.
在△OAC中，＋＝(＋)＋(＋)＝2.在△OBD中，＋＝(＋)＋(＋)＝2.所以＋＋＋＝4，故选D.
7．A [解析] 由－＝2，得＝＋.同理可得，＝＋，＝＋，所以＋＋＝－，故选A.
8．± [解析] 由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.
9．－a＋b [解析] 原式＝a＋b－a＋b＋a＝a＋b＝－a＋b.
10．等腰梯形 [解析] 由已知可得＝－，所以∥，且||≠||.
又||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
11．－a＋b [解析] ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b.
12．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
13．解： d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
14．A [解析] 由向量加法运算法则可知，＝＋.又点P在线段AC上，所以与同向，且0<||<||，故＝λ(＋)，λ∈(0，1)．
15．解：(1)∵＝＋＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b，
又＝－2a－4b＝－2(a＋2b)，∴＝－2，∴与共线．
又∵与有公共点C，故A，C，D三点共线．
(2)证明：∵＝＋＝(a＋2b)＋(2a－4b)＝3a－2b＝，
又A，B，C，D四点不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
2．3.1 平面向量基本定理
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．如图L2-3-1所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
图L2-3-1
①与；②与；③与；④与.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
2．如图L2-3-2所示，用向量e1，e2表示向量a－b等于( )
图L2-3-2
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
3．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝( )
A.(a－b) B．－(a－b)
C．－(a＋b) D.(a＋b)
4．如图L2-3-3所示，矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，则等于( )
图L2-3-3
A．3e1＋2e2
B．3e1－2e2
C．2e1＋3e2
D．2e1－3e2
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及它们所在平面内的一点P满足＋＋＝，则( )
A．点P在△ABC内部
B．点P在△ABC外部
C．点P在AB边所在直线上
D．点P是AC边上的一个三等分点
6．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B.
C. D.
7．如图L2-3-4，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为( )
图L2-3-4
A．3
B．2
C．1
D．－3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c为________(用a，b表示)．
9．已知a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三点共线，则实数k＝________．
10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________．
11．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)如图L2-3-5所示，D是线段BC的一个四等分点，试用，表示.
图L2-3-5
13．(13分)如图L2-3-6所示，平行四边形ABCD中，M是DC的中点，N在线段BC上，且NC＝2BN.已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
图L2-3-6
得分
14．(5分)已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，则点P的轨迹一定过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
15．(15分)如图L2-3-7，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积．
图L2-3-7
1．B [解析] 与不共线，∥，与不共线，∥，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．C [解析] 由图易知a－b＝e1－3e2.
3．D [解析] 以AB，AC为邻边作平行四边形，如图所示，因为＝＋＝2，所以＝(a＋b)．
4．A [解析] ＝＝(＋)＝(＋)＝3e1＋2e2.
5．D [解析] ∵＋＋＝＝－，∴＝2，∴P，A，C三点共线，且P是AC边上的一个三等分点．
6．C [解析] 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得
7．D [解析] ∵E是DC的中点，∴＝(＋)，∴＝－＋2，∴λ＝－1，μ＝2，∴λ－μ＝－1－2＝－3.
8．2a－2b [解析] 设c＝λa＋μb，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)，所以解得故c＝2a－2b.
9．－8 [解析] ∵＝a＋3b，＝2a－b，∴＝＋＝－a－3b＋2a－b＝a－4b.又＝2a＋kb，且A，B，D三点共线，∴一定存在实数λ，使＝λ，∴2a＋kb＝λ(a－4b)，∴∴k＝－8.
10．3 [解析] 由题意知，＋＝＋＋＋＝3，故m＝3.
11．2 [解析] 由题知，＝(＋)＝(m＋n)，又O，M，N三点共线，∴m＋n＝1，故m＋n＝2.
12．解：∵D是线段BC的一个四等分点，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋.
13．解：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC的中点，NC＝2BN，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋.
因为＝c，＝d，所以
解得＝(3d－c)，＝(2c－d)．
14．D [解析] ∵O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，且(2－2λ)＋(1＋2λ)＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故选D.
15．解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.∵点A，P，E共线，且点D，P，C共线，∴存在实数λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又∵＝＋＝a＋μb，∴解得∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)，S△PBC＝14×＝2(cm2)，∴S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
2．在平面直角坐标系中，|a|＝2018，a与x轴的正半轴的夹角为，则向量a的坐标是( )
A．(1009，1009)
B．(－1009，1009)
C．(1009，1009)
D．(1009，1009)
3．如图L2-3-8所示，向量的坐标是( )
图L2-3-8
A．(1，1) B．(－1，－2)
C．(2，3) D．(－2，－3)
4．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝( )
A．3a－b B．3a＋b
C．－a＋3b D．a＋3b
5．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
7．已知向量与a＝(3，－4)的夹角为π，且||＝2|a|，若A点的坐标为(－1，2)，则B点的坐标为( )
A．(－7，10) B．(7，10)
C．(5，－6) D．(－5，6)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(6，5)，O为坐标原点，则＝________，＝________．
9．若向量＝(1，－2)，＝(－3，4)，则＝________．
10．已知＝(1，2)，＝(－3，－4)，则＝__________．
11．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
13．(13分)已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．
(1)p＝(2，3)；
(2)q＝(－3，2)．
1．B [解析] ＝(2，3)－(3，1)＝(－1，2)．
2．C [解析] 设a＝(x，y)，则x＝2018cos＝1009，y＝2018sin＝1009，故a＝(1009，1009)．
3．D [解析] 由图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．
4．A [解析] 设c＝xa＋yb，则解得∴c＝3a－b.
5．A [解析] ＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
6．D [解析] 因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，
所以c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
7．A [解析] 由题意知，与a的方向相反，又||＝2|a|，∴＝－2a＝－2(3，－4)＝(－6，8)．设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，∴
解得故点B的坐标为(－7，10)．
8．(2，3) (6，5) [解析] 因为点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(6，5)，点O的坐标为(0，0)，所以向量＝(2，3)，＝(6，5)．
9．(－2，3) [解析] ＝(－)＝(－4，6)＝(－2，3)．
10．(4，6) [解析] ＝－＝(1，2)－(－3，－4)＝(4，6)．
11．(－6，21) [解析] －＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
12．解：设P点坐标为(x，y)．
当P在线段AB上时，易知＝2，所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
所以 解得 所以P点坐标为.
当P在线段AB的延长线上时，易知＝－2，所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
所以 解得 所以P点坐标为(－5，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．
13．解：xa＋yb＝x(1，1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
(1)由p＝(2，3)＝(x＋y，x－y)，得
解得所以p＝a－b.
(2)由q＝(－3，2)＝(x＋y，x－y)，得
解得所以q＝－a－b.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
3．已知△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2)
4．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
5．若O(0，0)，B(－1，3)，且＝3，则点A的坐标为( )
A．(3，9) B．(－3，9)
C．(－3，3) D．(3，－3)
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
7．已知向量a＝(1，－4)，b＝(2，－1)，c＝(x，y)，若a与b＋c平行，则x与y的关系式为( )
A．4x＋y－7＝0 B．4x＋y＋7＝0
C．4x－y－7＝0 D．4x－y＋7＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，当________时，点P在第三象限．
9．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)．若a∥b，则x＝________．
10．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)．若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系为____________________．
11．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
13．(13分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝.
(1)求点E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
1．C [解析] 由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2，2a－b＝(2，－4)－(m，4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．
2．B [解析] A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中，e1＝e2，所以e1∥e2；D中，e1＝4e2，所以e1∥e2.
3．B [解析] 设C点坐标为(x，y)，则D点坐标为.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故C点坐标为(－4，－2)．
4．C [解析] 依题意，a＋b＝(0，1＋x2)．由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．
5．B [解析]设点A(x，y)，∴＝(x，y)，∵＝(－1，3)，＝3，
∴(x，y)＝3(－1，3)＝(－3，9)．
∴点A的坐标是(－3，9)．
6．B [解析] v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
7．B [解析] 因为b＋c＝(2＋x，－1＋y)，又a＝(1，－4)，a与b＋c平行，所以(－4)×(2＋x)－1×(－1＋y)＝0，即4x＋y＋7＝0.
8．λ＜－1 [解析] 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵ ＝＋λ，∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴即 要使点P在第三象限，只需解得λ＜－1.
9．4 [解析] 依题意，x－4＝0，解得x＝4.
10．λ＝μ [解析] ∵a＝(1，2)，b＝(－2，3)，∴a＋b＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，λa＋μb＝λ(1，2)＋μ(－2，3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)．
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，∴(－1)×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.
11．①③④ [解析] ①因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0，2)＝，所以③正确；④因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
12．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ(λ∈R)，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以解得m＝.
13．解：(1)依题意得＝(2，2)，＝(－2，3)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由＝，可知(x1＋1，y1)＝(2，2)，即解得
∴点E的坐标为(－，)．
由＝，可知(x2－3，y2＋1)＝(－2，3)，
即解得
∴点F的坐标为(，0)．
故E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．
(2)由(1)可知＝(，0)－(－，)＝(，－)，
又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，故与共线．
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．已知两个单位向量e1，e2之间的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A．e1在e2方向上的投影为cos θ
B．e1·e2＝1
C．e＝e
D．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
2．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b>0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
3．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
4．若|b|＝2|a|≠0，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b之间的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B.
C．－ D.
6．若非零向量a与b之间的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则|a|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．12
7．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2之间的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是( )
A．(－7，－)
B．(－7，－)∪(－，－)
C．(－7，－)
D．(－，－)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知单位向量e1，e2之间的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
9．在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且＝2，则·＝________．
10．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
11．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
13．(13分)设a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋2e2，其中e1⊥e2且e＝e＝1.
(1)求|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，ka＋b与a－3b互相垂直．
得分
14．(5分)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
15．(15分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，B∈[，]，求·的取值范围．
1．B [解析] e1在e2方向上的投影为|e1|·cos θ＝cos θ，故A正确；e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故B不正确；|e1|2＝|e2|2＝1，故C正确；(e1＋e2)·(e1－e2)＝|e1|2－|e2|2＝0，故D正确．
2．D [解析] 由·>0知，·<0，即角B为钝角．
3．C [解析] 由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綊AD，所以四边形ABCD是矩形．
4．C [解析] 因为c⊥a，所以c·a＝(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，所以a·b＝－|a|2.设向量a与b之间的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝120°.
5．C [解析] 由题意可知，||＝，||＝，根据向量的加法，知＋＝2，则·(＋)＝2||·||cos 180°＝2×××(－1)＝－.
6．A [解析] ∵(a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2＝a2＋a·b－2b2＝－32，又a·b＝|a||b|cos ＝|a|×4×＝－2|a|，∴|a|2－2|a|－2×42＝－32，∴|a|＝2或|a|＝0(舍去)．
7．B [解析] 由题意知(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，即2t2＋15t＋7<0，解得－78．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9，所以|a|＝3.
9．3 [解析] ∵＝2，∴·＝·＝×3×3×＝3.
10.－ [解析] 已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋2a·b＝3c2，即2＋2a·b＝3，∴a·b＝.又a＋b＝－c，∴a·b＋b·c＋c·a＝a·b＋c·(a＋b)＝a·b＋c·(－c)＝－.
11．1 [解析] 由|ka＋b|＝|a－kb|，得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1×cos 60°＝，∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
12．解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，∴|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的投影为
|a|cos α＝|a|×＝＝＝＝.
13．解：(1)∵|a＋b|2＝(－2e1＋4e2)2＝4e－16e1·e2＋16e.
又e1⊥e2，∴e1·e2＝0，∴|a＋b|2＝20，∴|a＋b|＝＝2 .
(2)由题知a2＝(e1＋2e2)2＝5，b2＝(－3e1＋2e2)2＝13，
a·b＝(e1＋2e2)·(－3e1＋2e2)＝1.
若ka＋b与a－3b垂直，则(ka＋b)·(a－3b)＝ka2＋(1－3k)a·b－3b2＝0，即5k＋(1－3k)－3×13＝0，解得k＝19.
14．A [解析] 如图所示，令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，则||＝.又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上．易知当点C与O，D共线时，||取到最值，最大值为＋1，最小值为－1，所以|c|的取值范围为[－1，＋1]．故选A.
15．解：(1)证明：因为·＝·，所以(－)·＝0.
又因为＝－(＋)，所以－(＋)·(－)＝0，
所以2＝2，即||2＝||2，所以||＝||，
所以△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，所以cos B∈.
设||＝||＝a，由|＋|＝2，得|＋|2＝4，
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝，
所以·＝a2cos B＝＝2－∈[－2，]．
故·的取值范围为.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
题号
1
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得分
答案
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．已知向量a＝(3，1)，b＝(－1，3)，那么( )
A．a⊥b B．a∥b
C．a>b D．|a|>|b|
2．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，那么n·等于( )
A．－2 B．0
C．－2或2 D．2
3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
4．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，若a⊥(2a－b)，则k等于( )
A．6 B．－6
C．12 D．－12
5．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量与之间的夹角为( )
A. B.
C. D.
6．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( )
A. B.
C. D．(1，0)
7．已知x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，若a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|3a＋b|的最大值为________．
9．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)．若b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
10．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)．
(1)若a与b的夹角是钝角，则λ∈________________________________________________________________________.
(2)若a与b的夹角是锐角，则λ∈________________________________________________________________________.
11．设函数f(x)＝，点A0表示坐标原点，点An(n，f(n))(n∈N*)．若向量an＝＋＋…＋An－1An，θn是an与i的夹角(其中i＝(1，0))，则tan θn＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知O为平面直角坐标系的原点，设＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．(13分)已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
得分
14．(5分)在△ABC中，G是△ABC的重心，边AB，AC的长分别为2，1，∠BAC＝60°，则·＝( )
A．－ B．－
C. D．－
15．(15分)已知平面内向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q是直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)时，求cos∠AQB.
1．A [解析] ∵3×(－1)＋1×3＝0，∴a⊥b.
2．D [解析] ∵n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝7，∴n·＝7－n·＝7－[2×3＋(－1)×1]＝7－5＝2.故选D.
3．A [解析] 依题意＝(2，1)，＝(5，5)．向量在方向上的投影为＝.
4．C [解析] 2a－b＝(5，2－k)．∵a⊥(2a－b)，∴a·(2a－b)＝2×5＋(2－k)×1＝0，即k＝12.
5．B [解析] ∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，∴a＝6.又∵＝(4，2)，＝(2，6)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，∴与的夹角为.
6．B [解析] 令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①，得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝，∴y＝.故选B.
7．B [解析] 因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2.所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.
8．5 [解析] |a|＝＝1，|b|＝＝2，∴|3a＋b|≤3|a|＋|b|＝5.
9．－3 [解析] ∵a＝(2，4)，b＝(1，1)，b⊥(a＋λb)，∴b·(a＋λb)＝b·a＋λb2＝0，即2＋4＋2λ＝0，∴λ＝－3.
10．(1)(，＋∞) (2)(－∞，－)∪(－，) [解析] (1)∵a，b的夹角为钝角，∴a·b＝(λ，2)·(－3，5)＝－3λ＋10<0，∴λ>.又当a，b反向时，λ不存在，∴λ∈(，＋∞)．
(2)当a，b的夹角为锐角时，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0，∴－3λ＋10>0，∴λ<.又当λ＝－时，〈a，b〉＝0°不合题意，∴λ的取值范围为(－∞，－)∪(－，)．
11. [解析] 因为A0(0，0)，An(n∈N*)，所以an＝＋＋…＋An－1An＝＝(n，)．
又因为i＝(1，0)，所以tan θn＝＝.
12．解：假设存在点M，且＝t，t∈[0，1]，则＝(6t，3t)，即M(6t，3t)．
∴＝－＝(2－6t，5－3t)，
＝－＝(3－6t，1－3t)．
∵MA⊥MB，∴·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，
即45t2－48t＋11＝0，得t＝或t＝.
∴存在点M，使MA⊥MB，M点的坐标为(2，1)或.
13．解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a之间的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4(t＋)2＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
14．A [解析] 由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，得BC＝，∠ACB＝90°.以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(，0)，所以重心G，所以＝，＝，所以·＝·＝－.
15．解：(1)设＝(x，y)．∵Q在直线OP上，∴∥，
又＝(2，1)，∴x－2y＝0，即＝(2y，y)．
又＝－＝(1－2y，7－y)，＝－＝(5－2y，1－y)，
∴·＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8，
∴当y＝2时，·取得最小值－8，此时的坐标为(4，2)．
(2)由(1)可知＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8，
故cos∠AQB＝cos〈，〉＝＝＝－.
2.5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
2．5.2 向量在物理中的应用举例
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一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为( )
A．10 N B．0 N
C．5 N D. N
2．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v2－v1
C．v1＋v2
D．|v1|－|v2|
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
4．已知圆O的半径为3，直径AB上存在一点D，使得＝3，E，F为另一直径的两个端点，则·＝( )
A．－3 B．－4
C．－8 D．－6
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
6．河水的流速的大小为2 m/s，一艘小船想从垂直于河岸的方向以10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s
B．2 m/s
C．4 m/s
D．12 m/s
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(x，y)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(12，12)，6秒后点P的坐标为(0，18)，则(x＋y)2017＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．2012
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知一物体在力F1＝(2，2)，F2＝(3，1)(两力的作用点相同)的作用下产生位移s＝(，)，则F1，F2对物体所做的功为________．
9．若＝(sin θ，－1)，＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈，则||的最大值为________．
10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，则·＝________．
11．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－2，－1)，B(1，2)，C(－2，0)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
13．(13分)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，试求：
(1)F1，F2分别对质点所做的功；
(2)F1，F2的合力F对质点所做的功．(力的单位：N，位移单位：m)
得分
14．(5分)已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝( )
A. B．3
C．3 D.
15．(15分)已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试问当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？
1．C [解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力F的大小为×5＝5(N)．
2．C [解析] 由题易知，选项C正确．
3．A [解析] ∵＝(3，3)，＝(－2，－2)，∴＝－，∴与共线．又||≠||，∴该四边形为梯形．
4．C [解析] 由题意可知，DO＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝1－9＝－8.
5．C [解析] 由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的一个三等分点，如图所示．故＝.
6．B [解析] 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2 m/s，|v|＝10 m/s，v⊥v1，所以v2＝v－v1，v·v1＝0，所以|v2|＝＝＝＝2(m/s)．故选B.
7．A [解析] 由题意，(12，12)＋6(x，y)＝(0，18)，即(12＋6x，12＋6y)＝(0，18)，解得故(x＋y)2017＝(－2＋1)2017＝－1.
8．7 [解析] 设F1，F2的合力为F，则F＝(5，3)，故其对物体所做的功为F·s＝＋＝7.
9．3 [解析] ＝－＝(sin θ，2cos θ＋1)，∴||＝＝＝，
∴当cos θ＝1，即θ＝0时，||取得最大值，且最大值为3.
10．－2 [解析] ∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°，∴·＝||·||·cos 120°＝－2.
11．λ>－且λ≠0 [解析] ∵a与a＋λb均是非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb同向时，设a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m，2m)，
∴得∴λ>－且λ≠0.
12．解：(1)由已知可得＝(3，3)，＝(0，1)．
求两条对角线的长即求|＋|与|－|.
由＋＝(3，4)，得|＋|＝5.由－＝(3，2)，得|－|＝.
(2)由已知可得＝(－2，0)．
因为(－t)·＝·－t2＝0，且·＝－6，2＝4，
所以t＝－.
13．解：＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．
(1)W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．
14．B [解析] ∵·＝m||2＋n·＝m，·＝m·＋n·||2＝3n，∴＝＝1，∴＝3.
15．解：依题意，将题目转化为在△ABC内求一点P，使得AP2＋BP2＋CP2最小．设＝a，＝b，＝t，则
＝－＝t－a，＝－＝t－b.
∴2＋2＋2＝t2＋(t－a)2＋(t－b)2＝3t2－2t·(a＋b)＋a2＋b2＝3＋(a2＋b2)－a·b，
所以，当＝t＝，即P为△ABC的重心时，AP2＋BP2＋CP2的值最小．
