4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时 速度
一、基础达标
1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d
( )
A．d>0 B．d<0
C．d＝0 D．d≠0
答案 D
2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为
( )
A．8 B．8＋2d
C．8d＋2d2 D．4d＋2d2
答案 C
解析 Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.
3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为
( )
A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1
答案 D
解析 ＝＝4.1.
4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为
s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为
( )
A．2 B．1 C. D.
答案 C
解析 ＝＝＋Δt→(Δt→0)．
5．质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．
答案 4＋2d
解析 ＝＝4＋2d.
6．已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1.
(1)t＝2到t＝2.1；
(2)t＝2到t＝2.01；
(3)t＝2到t＝2.001.
则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t＝2时的瞬时速度为________．
答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s
－4 m/s
7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s内完成刹车，其位移
(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：
s(t)＝－3t3＋t2＋20，求：
(1)开始刹车后1 s内的平均速度；
(2)刹车1 s到2 s之间的平均速度；
(3)刹车1 s时的瞬时速度．
解 (1)刹车后1 s内平均速度
1＝＝
＝－2(m/s)．
(2)刹车后1 s到2 s内的平均速度为：
2＝
＝
＝－18(m/s)．
(3)从t＝1 s到t＝(1＋d)s内平均速度为：
3＝
＝
＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0)
即t＝1 s时的瞬时速度为－7 m/s.
二、能力提升
8．质点M的运动方程为s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋Δt]内的平均速度为
( )
A．8＋2Δt B．4＋2Δt
C．7＋2Δt D．－8＋2Δt
答案 A
解析 ＝＝8＋2Δt.
9．自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度为________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．
答案 g g＋gΔt g
解析 ＝g.
＝g＋gΔt.
当Δt→0时，g＋gΔt→g.
10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.
答案 9.8
解析 ＝2g＋gΔt.
当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.
∴2g＝19.6，g＝9.8.
11．求函数s＝2t2＋t在区间[2,2＋d]内的平均速度．
解 ∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(2×22＋2)＝9d＋2d2，
∴平均速度为＝9＋2d.
12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)?
解 (1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲
(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以>即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．
三、探究与创新
13．质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．
解 ＝
＝3Δt＋25，
当Δt→0时，3Δt＋25→25.
即4秒时刻的瞬时速度为25.
∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3 125(J)
4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时 速度
1．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为
( )
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
答案 D
解析 v(1，d)＝＝－＝－2d－4.
2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是
( )
A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度
B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等
C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等
D．以上三种说法都不正确
答案 C
解析 两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．
3．已知s＝gt2，从3秒到3.1秒的平均速度＝________.
答案 3.05g
解析 ＝＝3.05g.
4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．
答案 8＋2d
解析 v(2，d)＝＝8＋2d.
1．平均速度与瞬时速度的区别与联系
平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．
2．求瞬时速度的一般步骤
设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：
(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为，其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；
(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.
4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
一、基础达标
1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于
( )
A．2 B．4
C．6＋6d＋2d2 D．6
答案 B
2．已知曲线y＝x2－2上的一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为
( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
答案 B
3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为
( )
A．(－1，－8) B．(1,13)
C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1)
答案 B
4．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为
( )
A．－ B．0 C. D．1
答案 C
解析
＝＝.
当Δx→0时，→.
5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________．
答案 (1,2)
6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 ＝Δx＋2，
当Δx→0时，Δx＋2→2.
所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．
即为2x－y＋1＝0.
7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．
解 设点P(x0，y0)，
＝＝d＋2x0，
d→0时，d＋2x0→2x0.
抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，
由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1，
即P点坐标为(1,1)，
切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.
二、能力提升
8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为
( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 ＝＝，
当Δx→0时，→1.
曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1×(x－1)，即y＝x－2.
9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．
答案 7
解析
＝＝Δx＋7，
当Δx→0时，Δx＋7→7，
所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.
10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．
答案 (2,10)
解析 设A点坐标为(x0，x＋3x0)，
则
＝
＝Δx＋(2x0＋3)，
当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，
∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.
x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．
11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．
解 设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0，x＋1)．
则＝Δx＋2x0.
Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.
∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.
即切点为(1,2)或(－1,2)．
所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.
三、探究与创新
12．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．
解 设切点A(x0，y0)，
＝
＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．
故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，
∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得
或代入直线l，
当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，
即切点坐标为(－，)，a＝.
4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时
( )
A．运动方向指向圆心O
B．运动方向所在直线与OA垂直
C．速度与在圆周其他点处相同
D．不确定
答案 B
2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy)，则等于
( )
A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d
答案 C
解析 ＝＝4＋2d.
3．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
答案 1
解析 由平均变化率的几何意义知，k＝＝1.
4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d，－2＋Δy)，则＝________.
解析 Δy＝f(－1＋d)－f(－1)
＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2)
＝－d2＋3d.
∴＝＝－d＋3.
答案 －d＋3
1．求曲线y＝f(x)上一点(x0，y0)处切线斜率的步骤
(1)作差求函数值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)．
(2)化简，用x0与d表示化简结果．
(3)令d→0，求的极限即所求切线的斜率．
2．过某点的曲线的切线方程
要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．
3．曲线的割线与切线的区别与联系
曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．
4．1.3 导数的概念和几何意义
一、基础达标
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 B
解析 分别作出A、B两点的切线，由题图可知kB>kA，即f′(xB)>f′(xA)．
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
( )
A．4 B．16 C．8 D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.
答案 C
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
( )
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
答案 A
解析 分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；
f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.
5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．
答案 3 3x－y＋1＝0
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝
＝ (3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．
答案 4x－y－5＝0
解析 ∵f′(x)＝＝
＝＝ (2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为
y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解 ∵f′(3)＝
＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×2×54＝54.
二、能力提升
8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
答案 A
解析
＝－Δx2＋3.
Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案 3
解析 由已知切点在切线上．
∴f(1)＝×1＋2＝.
切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.
答案 1 1
解析 ∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，
∴－b＋1＝0，b＝1.
又＝＝a＋Δx，
∴f′(0)＝a＝1.
11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
解 设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.
＝＝
Δx2＋3x0Δx＋3x.
∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.
点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．求抛物线y＝x2的过点P(，6)的切线方程．
解 由已知得，＝2x＋d，
∴当d→0时，2x＋d→2x，
即y′＝2x，
设此切线过抛物线上的点(x0，x)，
又因为此切线过点(，6)和点(x0，x)，
其斜率应满足＝2x0，
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.
解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0，
此即是所求的切线方程．
三、探究与创新
13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率
k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即
P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.
4．1.3 导数的概念和几何意义
1．f(x)在x＝x0处可导，则
( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是
( )
A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0
C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
答案 3＋d 3
1．求导数的步骤主要有三步：
(1)求函数值的增量：Δy＝f(x0＋d)－f(x0)；
(2)求平均变化率：＝；
(3)取极限：f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．
(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.
4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
一、基础达标
1．下列结论中正确的个数为
( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为
( )
A. B.或
C. D.
答案 B
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于
( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有
( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：
y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
答案 64
解析
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为．
令x＝0得；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝18，∴a＝64.
7．求下列函数的导数：
(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝′＝＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为
( )
A. B．－ C．－e D．e
答案 D
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.
答案 1
解析 y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．
答案
解析 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与创新
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．
解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.
4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝
( )
A．0 B．2x C．6 D．9
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于
( )
A. B．0 C. D.
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，
∴αl∈∪.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．
4．2.3 导数的运算法则
一、基础达标
1．设y＝－2exsin x，则y′等于
( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝
( )
A．a B．±a C．－a D．a2
答案 B
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于
( )
A．2 B. C．－ D．－2
答案 D
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为
( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
答案 B
解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝x－sin cos .
解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋
3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝x′－′＝1－cos x.
二、能力提升
8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为
( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 y′＝＝，
故y′|＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案 D
解析 y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′
＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与创新
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，
①
又f′(x)＝a＋，
∴f′(2)＝，
②
由①，②得
解之得
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
4．2.3 导数的运算法则
1．下列结论不正确的是
( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．函数y＝的导数是
( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为
( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
答案 A
解析 ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
答案 ln 2－1
解析 设切点为(x0，y0)，
∵ y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
4．3.1 利用导数研究函数的单调性
一、基础达标
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x2－ln x的单调减区间是
( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 ∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，
即x－<0，解得：0又∵x>0，∴03．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是
( )
A．增函数
B．减函数
C．常函数
D．既不是增函数也不是减函数
答案 A
解析 求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的
Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是
( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案 B
解析 显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；对于D，y′＝－1 (x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数．故选B.
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案 ∪[2,3)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)＜0得x＜－1或＜x＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．
解 f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，
令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是
( )
答案 A
解析 由f(x)与f′(x)关系可选A.
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有
( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)＞0，
∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x在上恒成立．
令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，
所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；
(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.
∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′＜0，即－1＜x＜－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)＞0，
得x＜1－或x＞1＋；
令f′(x)＜0，得1－＜x＜1＋.
故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
三、探究与创新
13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)＞0，即3mx2－6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．
综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).
4.3.1 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是
( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案 A
解析 ∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋＞0，∴函数在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是
( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是
( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
解析 y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，
所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
4.3.2 函数的极大值和极小值
一、基础达标
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于
( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 D
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有
( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
答案 C
解析 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．
5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,4)
解析 y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0?x＝±，不难分析，当
1＜＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．
7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
解 函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·′
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
二、能力提升
8．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则
( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
答案 C
解析 ∵f(x)在x＝1处存在极小值，
∴x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.
9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是
( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
答案 D
解析 x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．故A错；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故－x0应是f(－x)的极大值点，B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故D正确．
10.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
答案 ③
解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝
－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.
11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m＞0)有极大值－，求m的值．
解 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.
12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，
x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f ＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
三、探究与创新
13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
(1)解 f′(x)＝ex－.
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝ex－.
函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当
x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)证明 当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤
ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.
当m＝2时，
函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)单调递增．
又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，
且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当
x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得
ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.
综上，当m≤2时，f(x)＞0.
4.3.2 函数的极大值和极小值
1．下列关于函数的极值的说法正确的是
( )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案 D
解析 由极值的概念可知只有D正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)
( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案 C
解析 在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
( )
A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
解得a＞6或a＜－3.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案 9
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
一、基础达标
1．函数y＝f(x)在[a，b]上
( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是
( )
A．0 B. C. D.
答案 B
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.
3．函数y＝的最大值为
( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
答案 A
解析 令y′＝＝＝0.(x＞0)
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜xy极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.
4．函数y＝在定义域内
( )
A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值2，最小值－2 D．无最值
答案 C
解析 令y′＝＝＝0，
得x＝±1.当x变化时，y′，y随x的变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小值
?
极大值
?
由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.
5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数
g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在
(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为
(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需
a≤2ln 2－2即可．
6．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
答案 ＋
解析 y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在
[－2,2]上的最大值．
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
?
极大值a
－8＋a
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.
当x＝0时，f(x)的最大值为3.
二、能力提升
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为
( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；
当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是
( )
A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在(a，b)上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在
[a，b]上恒成立，即有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，
即ymax＝＝5，所以t≥5，故选D.
10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．
答案 －
解析 f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.
∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，
∴f(x)max＝a＝2.
∴f(x)min＝－＋a＝－.
11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴，∴.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值c＋5
极小值
c－27
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，
当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；
当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．
12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在
[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.
三、探究与创新
13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解 (1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，
g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，
F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
有题设可得F(0)≥0，即k≥1，
令F′(x)＝0得，x1＝－ln k，x2＝－2，
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，
F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，
在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而
F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
∴当 ≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)，
∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，
③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述，k的取值范围为[1，e2].
4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是
( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)
( )
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)
在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是
( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为y′＝1－cos x，当x∈，时，y′＞0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
4．(2012·安徽改编)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为
( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．
∵x∈，f′(x)＞0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝.
5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值
(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．
(2)求最值的步骤：
①求出函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2．极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．
(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．
4.4 生活中的优化问题举例
一、基础达标
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为
( )
A．4 B．6 C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为
( )
A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为
( )
A.3π B.3π C.3π D.3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为
( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.
5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
答案 3
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
答案 40
解析 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x dm，则版心的宽为
dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．
二、能力提升
8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
( )
A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
( )
A．150 B．200 C．250 D．300
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
10. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(0令y′＝＝0，
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋＝
令f′(x)＝0，得＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a(0＜x＜100)．
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10 km/h时，总费用最少．
三、探究与创新
13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，
因此y＝4π(c－2)r2＋，0(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，令y′＝0，得r＝m.
当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2，即3综上所述，当3时，建造费用最小时
r＝.
4.4 生活中的优化问题举例
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是
( )
A．8 B. C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以
当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为
( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
3. 在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．
V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，
解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答 当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．
2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．
4．5.1 曲边梯形的面积
4．5.2 计算变力所做的功
一、基础达标
1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于
( )
A. B. C. D.
答案 B
2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为
( )
A．200 B．210 C．190 D．220
答案 A
3．关于近似替代下列说法正确的是
( )
A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代
B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代
C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代
D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代
答案 D
4．函数f(x)＝x2在区间[，]上
( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案 D
解析 当n很大时，区间[，]的长度越小，f(x)的值变化很小．
5．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．
答案
6．一物体的速度与时间的关系式为v＝t2，则在从开始到1秒内运动的路程为________．
答案
7．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
解 ①分割
把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)
②近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝f()Δx＝[1＋()2](i＝1,2，…，n)．
③求和
ΔSi＝ [1＋()2]
＝
＝[n＋×]＝1＋(1－)(1－)．
④取极限值
当n→∞时，ΔSi→1＋＝.
因此S＝.
二、能力提升
8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值可以用下列哪个值近似地代替(
)
A．f() B．f() C．f() D．f(0)
答案 C
解析 当n很大时，f(x)＝x2在[，]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．
答案 4
10．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
解 (1)化整为零，插入等分点．
将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点
，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间[0，]，[，]，…，[，]，…，[，1]．
简写作：[，](i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲，估计误差．
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．
在小区间[，]上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，
为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝()(－1)为一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，
可以近似地表示为：
ΔSi≈f(xi)·Δx＝()(－1)·(i＝1,2，…，n)．
(3)积零成整，精益求精．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：
S＝ΔSi≈f(xi)Δx＝ ()(－1)·＝
－(1－)．①
当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．
Δx趋于0时，S趋于－(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是.
三、探究与创新
12．设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同．求F对质点m所作的功．
解 将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为.
在[1＋，1＋]上取xi＝1＋i.
∴Fi＝x＋1＝(1＋i)2＋1，Wi＝Fi＝[(1＋i)2＋1]＝＋i2＋i.
Wi＝18＋×＋×＝18＋(1＋)(2＋)
＋81(1＋)．
当n→∞时，Wi→18＋×2＋81＝342.
所以F对质点所作的功为342.
4.5.1 曲边梯形的面积 4.5.2 计算变力所做的功
1．由直线x＝1，x＝2，y＝0和y＝x＋1围成的图形的面积为
( )
A. B．2 C. D．3
答案 C
解析 S＝(2＋3)×1＝.
2．抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积为
( )
A. B. C. D．1
答案 B
3. (－)＝________.
答案
4．已知和式(p＞0)当n→∞时，能无限趋近于一个常数A，此时，A的几何意义是表示由y＝f(x)和x＝0，x＝1以及x轴围成的图形面积，根据和式，可以确定f(x)＝________.
答案 xp
解析 因为
＝·[()p＋()p＋…＋()p]，
所以当n→∞时，和式表示函数f(x)＝xp和x＝0，x＝1，以及x轴围成的曲边梯形面积，填xp.
1．曲边梯形的面积
要求一个曲边梯形的面积，不能用已有的面积公式计算，为了计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．
2．变力所做的功
变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的，仍然是“化整为零，以直代曲”的策略．虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题，能使我们更好地了解定积分的概念．
4．5.3 定积分的概念
一、基础达标
1．下列命题不正确的是
( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则
B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
2．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin x围成的平面图形的面积可表示为
( )
A. B．2(x3＋sin x)dx
C． D.(x3＋sin x)dx
答案 B
3．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于
( )
A．8 B．10 C．18 D．不确定
答案 A
4．已知定积分f(x)dx＝8，则f(x)为奇函数，则f(x)dx＝
( )
A．0 B．16 C．12 D．8
答案 A
5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S＝________.
答案 [f1(x)－f2(x)]dx(两图积分式相同)
6．由定积分的几何意义，定积分sin xdx表示________．
答案 由直线x＝0，x＝，y＝0和曲线y＝sin x围成的曲边梯形的面积
7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1) xdx；(2) cos xdx.
解 若x∈[a，b]时，f(x)≥0，则f(x)dx的几何意义是表示由直线x＝a，x=b
y＝0和曲线y＝f(x)围成的平面图形的面积；若x∈[a，b]时，f(x)≤0，则f(x)dx表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图②，cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
二、能力提升
8．和式＋＋…＋，当n→∞时的极限值用定积分式子可表示为
( )
A.dx B.dx
C.dx D.dx
答案 B
9.x2dx＝，x2dx＝，则x2dx＝________.
答案
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案 f(x)dx－f(x)dx，f(x)dx
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x)＝2x(取细棒所在直线为x轴，细棒的一端为原点)，棱长为l，试用定积分表示细棒的质量m，并求出m的值．
解 细棒的质量m＝ρ(x)dx＝2xdx.而2xdx表示由直线y＝2x，x＝l，x＝0及x轴所围成的图形面积，如图所示．
∴2xdx＝×l×2l＝l2.
即m＝l2.
三、探究与创新
12．求定积分x2dx的值．
解 将区间[－1,2]等分成n个区间，则每个区间的长度为.
每个小区间的面积ΔSi＝(－1＋)2.
面积和Sn＝(－1＋)2
＝(1＋－)
＝[n＋－×]
＝3＋(1＋)(2＋)－9(1＋)
当n→∞时，Sn→3＋×2－9＝3.
∴x2dx＝3.
4.5.3 定积分的概念
1．定积分1dx的值等于
( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 B
2．已知f(x)dx＝56，则
( )
A.f(x)dx＝28
B.f(x)dx＝28
C.2f(x)dx＝56
D.f(x)dx＋f(x)dx＝56
答案 D
3．如图所示，f1(x)dx＝M，f2(x)dx＝N，则阴影部分的面积为
( )
A．M＋N B．M C．N D．M－N
答案 D
4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式
( )
(1)xdx________x2dx(图1)；
(2)xdx________xdx(图2)；
(3)dx________2dx(图3)．
答案 (1)> (2)< (3)<
1．定积分可以表示图形的面积
从几何上看，如果在区间[a，b]上，函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx就表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分f(x)dx的几何意义．
2．定积分表示图形面积的代数和
被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x轴之上的正的面积与x轴之下的负的面积的代数和．
3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．
4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx＝f(u)du＝f(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如(x2＋1)dx与(x2＋1)dx的值就不同.
4．5.4 微积分基本定理
一、基础达标
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是
( )
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；
④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.
A．① B．①② C．①②④ D．①②③④
答案 D
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是
( )
A．F(x)＝x3
B．F(x)＝x3
C．F(x)＝x3＋1
D．F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 B
解析 若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.
3.(ex＋2x)dx等于
( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．已知f(x)＝，则f(x)dx的值为
( )
A. B. C. D．－
答案 B
解析 f(x)dx＝x2dx＋1dx＝＋1
＝＋1＝，故选B.
5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．
答案
解析 由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.
6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.
7．已知 (x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．
解 ∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴ (x3＋ax)dx＝0，
∴ (x3＋ax＋3a－b)dx
＝ (x3＋ax)dx＋ (3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3，①
又f(t)＝
＝＋＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0，②
由①②得a＝－3，b＝－9.
二、能力提升
8．sin2dx等于
( )
A. B .－1 C．2 D.
答案 D
解析 sin2dx＝dx＝＝，故选D.
9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为
( )
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D. S3＜S2＜S1
答案 B
解析 S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln 2＜1，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.
10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.
11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，
xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝a＋b＝.
由，得.即f(x)＝4x＋3.
12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．
解 由积分的性质，知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝
＝＋－＋－
＝－＋＋.
三、探究与创新
13．求定积分|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝ (x＋a)dx＝＝7a－.
(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，
原式＝[－(x＋a)]dx＋ (x＋a)dx
＝－4a＋8＋
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝ [－(x＋a)]dx＝＝－7a＋.
综上，得|x＋a|dx＝
4.5.4 微积分基本定理
1． (1＋cos x)dx等于
( )
A．π B．2 C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
＝＋sin－＝π＋2.
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是
( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 dx＝2xdx＋dx＝x2|＋
ln x＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得a＝2.
3.dx＝________.
答案
解析 dx＝x2dx－xdx
＝＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算f(x)dx.
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
第四章 导数及其应用
章末检测
一、选择题
1．(2013·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为
( )
A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0
答案 D
解析 y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率
k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D.
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为
( )
A．(－∞，－1)及(0,1)
B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为
( )
A. J B. J
C. J D．2 J
答案 C
解析 由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，W＝
(5－x2)·cos 30°dx＝(5－x2)dx＝
＝×＝ (J)．
4. (2012·重庆改编)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
答案 C
解析 使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－) B．[－，]
C．(，＋∞) D．(－，)
答案 B
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.
6．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝
( )
A．e2 B．ln 2 C. D．e
答案 D
解析 f′(x)＝x(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x，
∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，
∴ln x0＝1，∴x0＝e.
7．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)
( )
A．在区间(1，e)内均有零点
B．在区间(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；
f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，
f＝＋1＞0.
8．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为
( )
A． (sin x－cos x)dx B． (sin x－cos x)dx
C． (cos x－sin x)dx D． (cos x－sin x)dx
答案 D
解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于09．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是
( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
答案 D
解析 ∵f′(x)＝x2sin θ＋x·cos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2＝
2sin.
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.
10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数有
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0，
f(2)＝－1＜0，
f(x)在(0,2)内单调递减，
∴方程在(0,2)内只有一实根．
二、填空题
11．(2013·广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案 －1
解析 求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.
12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
13.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．
答案 ①④
解析 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；
当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．
14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013的值为________．
答案 －1
解析 ∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 015
＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)
＝log2 014＝log2 014＝－1.
三、解答题
15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
16．设解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b ，f(a)＝－＋b,
f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
17．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解 若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解 (1)设长为x m，
则宽为 m.
据题意
解得≤x≤16.
y＝×400＋×248＋16 000
＝800x＋＋16 000，
(2)y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45 000.
当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元．
