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第22讲《特殊平行四边形》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017 聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
【分析】当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
【解答】解：当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，
故答案：D．
2．（2018宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )
A． B．2 C． D．4
【分析】由菱形的性质及勾股定理可求CO,从而得S△COD＝,根据OE是中线得S△OCE＝S△COD＝，
【答案】解：∵ABCD的周长为16,∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，，∵∠BAD＝60°,∴BD＝4，即BO＝DO＝2，根据勾股定理得CO＝，∴S△COD＝，∵OE是中线得∴S△OCE＝S△COD＝，故选A．
故答案：A．
3．（2018·上海）己知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．．
【答案】解：∵∠A=∠B，AD∥BC∴∠A=∠B=90°，故A选项正确；∵∠A=∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判断；∵对角线相等平行四边形是矩形，故C选项能判断，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，故D选项能判断.
故答案：B．
4．（2017 宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【分析】以翻折变换（折叠问题）为背景考查矩形的性质．由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD－BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF＝x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，由折叠可得△BEF≌△BAE，∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10－6＝4，设EF＝AE＝x，则有ED＝8－x，∴，解得：x＝3（负值舍去），则DE＝8－3＝5，
故答案：C
5．（2017 安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABC中AB边上的高是h．
∵，∴AB h=AB AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=，即PA+PB的最小值为．
故答案：D．
6．（2018·恩施） 如图3所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD交 AG 于 F 点，已知 FG ＝２，则线段 AE 的长度为（ ）
A．6 B． 8 C．10 D．12
【分析】考查正方形的性质，利用三角形全等和平行线分线段成比例可求
【解答】解：∵正方形 ABCD，G 为 CD边中点，∴AB：DG＝2:1，∵AB∥CD ，∴AB：DG＝AF：FG，∵FG＝2，∴AF＝4，又∵△ADG≌△ECG，∴AD＝CE，AD：BE＝1:2，∵AD∥BE，∴AF：FE＝AD：BE，∴EF＝8，∴AE＝12，
故答案：D．
7．（2017 贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，，∴故④正确；
∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故答案：D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．. (2018·湖州)如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是_________.
【分析】由菱形性质及解直角三角形可求．
【答案】解：：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC＝3，AC⊥BD，∴OB＝tan∠BAC×OA＝1，∴BD＝2OB＝2.
故答案：2．
9．（2018·成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为 ．
【分析】连接AE，由作图可知：MN是AC的垂直平分线，所以AE=CE=3.
因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.利用勾股定理可求
【解答】解：连接AE，由作图可知：MN是AC的垂直平分线，所以AE=CE=3.
因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.
在Rt△ADE中，AD===.
在Rt△ADC中，AC===.
故答案：
10．(2018·攀枝花)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值是______．
【分析】由已知条件S△PAB＝S矩形ABCD可得P到AB的距离是定值2,则点P是直线EF(EF∥AB，且EF与AB间的距离是2)上的动点．作点B关于EF的对称点B′，连结AB′交EF于点P，则此时PA＋PB的值最小，最小值＝AB′
【解答】解：设点P到AB的距离是h，则AB·h＝·AB·AD，即×4·h＝×4×3，∴h＝2，可见点P是直线EF(EF∥AB，且EF与AB间的距离是2)上的动点．作点B关于EF的对称点B′，连结AB′交EF于点P，则此时PA＋PB的值最小，最小值＝AB′＝＝4．
故答案：4
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G.求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形.
【分析】（1）由矩形的性质可知：AB∥DC，∠DAB＝∠D＝90°，再由两次折叠可知：MN∥AB∥DC，AM＝DM，∠AFP＝∠D＝90°，∠1＝∠2，由平行线分线段成比例得点F是PG的中点即PF＝GF，根据SAS定理得△AFG≌△AFP；（2）由△AFG≌△AFP得∠2＝∠3，AP＝AG，由∠DAB＝90°，∠1＝∠2＝∠3得∠PAG＝60°，∴△APG为等边三角形.
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∠DAB＝∠D＝90°，
由两次折叠可知：MN∥AB∥DC，AM＝DM，∠AFP＝∠D＝90°，∠1＝∠2，
∵∠AFP＝90°，∴∠AFP＝∠AFG，∵MN∥AB∥DC，AM＝DM，∴点F是PG的中点即PF＝GF，在△AFG和△AFP中，PF＝GF，∠AFP＝∠AFG，AF是公共边，∴△AFG≌△AFP；（2）∵△AFG≌△AFP，∴∠2＝∠3，AP＝AG，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠PAG＝∠2＋∠3＝60°，∵AP＝AG，∴△APG为等边三角形.
12．（2018·扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）要证四边形AEBD是菱形，可以先证明四边形AEBD为平行四边形，再证邻边相等或对角线互相垂直，也可以证四边相等；（2）根据已知条件，分别求出菱形AEBD的对角线AB＝，ED＝3,再运用菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算出面积．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD,∴∠ADE＝∠BED
∵点F是AB的中点,∴AF＝BF,∴△ADF≌△BEF,∴AD＝BE,又∵AD∥BC,∴四边形AEBD是平行四边形,∵DA＝DB,∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）∵平行四边形AEBD是菱形,∴AB⊥ED,∵AB∥CD,∴ED⊥CD,在Rt△CDE中，tan∠DCB＝3，DC＝,∴DE＝3,∵AB＝CD＝,
∴菱形AEBD的面积＝×AB×ED＝××3＝15
13在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1．点D是边AB上一点（点D不与A，B重合），将纸片沿CD折叠，得到A的对称点A1，连接A1B．
（1）如图1，当点A1在BC的上方，且满足A1B⊥BC时，求A1B的长；
（2）如图2，当点D为AB的中点时，试判断四边形A1BCD的形状，并说明理由；
（3）当∠BDA1＝30° 时，求BD的长（直接写出结果）.
【分析】考查翻折变换,勾股定理及菱形判定与性质,第三问要分两种情形
【解答】解：（1）由折叠知，A1C＝AC. ∵A1B⊥BC，∴∠A1BC＝90°,在Rt△A1BC中，A1C＝AC＝，BC＝1，根据勾股定理，A1B＝＝ EQ \R(,()2－12)＝.
(2) 在Rt△ABC中，∵AC＝，BC＝1，∴∠A＝30°.∵D是AB的中点，∴CD＝DA＝1. ∴∠1＝∠A＝30°.由折叠知，∠1＝∠2＝∠A＝∠4＝30°，DA1＝DA＝1.∴∠3＝90°－30°－30°＝30°＝∠4.∴DA1∥BC. ∵BC＝AB＝DA＝DA1，∴四边形A1BCD是平行四边形.∵CD＝DA，DA＝DA1，∴CD＝DA1.∴四边形A1BCD是菱形.
（3）当∠BDA1＝30°时，分两种情况：
①点A1在直线BC上时，BD＝－1.
②点A1在直线BC下方时，BD＝2－.
14．（2017 阜新）在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BEG．
（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；
（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)
【分析】（1）先判断出∠AEB＝∠FEG，即可得出结论；
（2）先判断出BE＝BG，再借助（1）△ABE≌△FGE，即可得出结论；
（3）先判断出∠AEB＝∠FEG，进而判断出△ABE≌△FGE(ASA)，再得出BG＝BE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD，
∵BE＝EG，∴∠CBD＝∠BGE，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠AEB＝∠FEG，
在△ABE和△FGE中，，∴△ABE≌△FGE(ASA)；
（2）∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠ABC＝60°，∵BE＝EG，∴△BEG是等边三角形，∴BE＝BG，由（1）知，△ABE≌△FGE，∴AB＝FG＝BF＋BG＝BF＋BE；
（3）结论：AB＋BF＝BE．
理由：∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴AB＝BC，
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝EG，∴∠G＝∠CBE＝45°＝∠ABD，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠AEB＝∠FEG，
在△ABE和△FGE中，，∴△ABE≌△FGE(ASA)，∴AB＝FG，
∵AB＝BC＝BF＋FC，FG＝CF＋CG，∴BF＝CG，∴BG＝BC＋CG＝AB＋BF，
∵∠CBG＝∠G＝45°，∴∠BEG＝90°，∴BG＝BE，∴AB＋BF＝BE．
15．.（2018十堰） 已知正方形ABCD与正方形 CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论;
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（3）如图3中，作MR⊥DE于R．
在Rt△CDE中，DE＝＝12，
∵DM＝ME，DM⊥ME，
又∵MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝＝＝
如图4中，作MR⊥DE于R．
在Rt△MRF中，FM＝＝，
故满足条件的MF的值为或．
16．（2018·江西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求正边形ADPE的面积．
【分析】（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；
（2）结论仍然成立．证明方法类似；
（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．
理由：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
故答案为PB＝EC，CE⊥AD．
（2）结论仍然成立．
理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP＝CE，∠BAP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
（3）∴△BAP≌△CAE，
由（2）可知EC⊥AD，CE＝BP，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC，
∵BC＝AB＝2，BE＝2，
在Rt△BCE中，EC＝＝8，
∴BP＝CE＝8，
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝2AB cos30°＝6，
∴OA＝AB＝，DP＝BP﹣BD＝8﹣6＝2，
∴OP＝OD＋DP＝5，
在Rt△AOP中，AP＝＝2，
∴S四边形ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝×2×＋×(2)2＝8．
P
C
B
A
D
P
C
B
A
D
F
E
B′
P
M
1
2
3
B
C
D
A
E
F
N
G
A
A1
D
B
C
A
A1
D
B
C
A
A1
D
B
C
1
2
3
4
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第22讲 特殊平行四边形
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1.矩形 ★★★★ 掌握矩形的概念和性质掌握矩形的判定掌握菱形的概念和性质掌握菱形的判定掌握正方形的概念和性质掌握正方形的判定 矩形、菱形、正方形的性质与判定是中考考查的重点内容之一，常见的题型有特殊四边形的翻折、几种特殊四边形与解直角三角形的综合运用、与圆相关的计算与推理、与函数和直角坐标系融合成动态问题等，考查数形结合、方程思想、函数思想、分类讨论及转化等多种思想方法及多种模型的演变与深化
2 菱形 ★★★★
3 正方形 ★★★★
矩形：
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形具有平行四边形的性质
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；或者对角线相等的平行四边形是矩形；或者有三个角是直角的四边形是矩形
菱形：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形
判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形；或者四条边都相等的四边形是菱形
菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
正方形：
(1) 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形；或者有一个角是直角的菱形是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形
※考向一：特殊四边形的有关计算
典例1：（2018滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为___________．
【分析】取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”
【解答】解：取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，故有EH＝MH＋BE．由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN－BE＝2－1＝1，设MH＝x，由M是AD中点，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2－x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△EHN中有，故，解得x＝，故DF＝，故AF＝
故答案:
．
※考向二：特殊四边形有关推理
典例2：（2018·成都，24，4分） 如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 .
【分析】延长NF与DC交与点H,由折叠性质和已知条件可证ABCD是菱形,再导角证得∠DHF=90°,可解Rt△DHF求出DH=DF·sin∠DFH=k.,得CH=9k－k=k.;在Rt△CHN中，tanC= tanA=，则cosC=.得NC==7k.,则有BN=9k－7k=2k.,故得.
【解答】证明:延长NF与DC交与点H由折叠的性质，得∠E=∠A，∠EFN=∠B，AM=EM，EF=AB.∵EF⊥AD，∴∠MDE=90°.在Rt△MDE中，tanE=tanA=，设DM=4k，DE=3k，则EM=5k.∴AM=EM=5k，AD=9k.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=AD=9k，∠C=∠A，AB∥CD，AD∥BC.
∴∠A+∠ADC=180°，∠A+∠B=180°.∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°.∵∠DFH+∠DFN=180°，∠A+∠B=180°，∠EFN=∠B，∴∠A=∠DFH.∴∠DFH+∠FDH=90°.∴∠DHF=90°.∵EF=9k，DE=3k，∴DF=6k.
在Rt△DHF中，tan∠DFH=tanA=，则sin∠DFH=.∴DH=DF·sin∠DFH=k
.∴CH=9k－k=k.
在Rt△CHN中，tanC= tanA=，则cosC=.∴NC==7k.∴BN=9k－7k=2k.
∴.
故答案：
※考向三：特殊四边形中的定长对定角模型
典例3：（2017 宜昌）正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作.
(1)当经过点时，
①请直接填空： （可能，不可能）过点；（图1仅供分析）
②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.
（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.
【分析】以双正方形为背景的定长对定角动态问题，突出数形结合及画图分析能力的考查
【解答】解：（1）①不可能
②∵在正方形ABCD中，,∴,又EH⊥BC，∴,而,EFCH为矩形，在⊿OFE和⊿ABO中，,,OE=AO, ∴⊿OFE≌⊿ABO, ∴EF=OB,OF=AB,有OF=OC+CF=AB=BC=BO+OC=EF+OC, ∴CF=EF, ∴由①②得EFCH为正方形
（2）由∠POK=∠OGB, ∠PKO=∠OBG可得⊿PKO～⊿OBG,因为，所以,∴OP=2,则⊿POG的面积为定值1，因为OG=1为定值，则直角三角形OBG内接于⊙O，设OB=a.BG=b,过B作BT垂直OG，垂足为T，则ab=BT×OG,，当BT为半径是地，ab最大，即为，这时，⊿OBG最大面积为
（因为本题中有，则也可由完全平方公式转化为a,b的均值不等式即或表示出⊿OBG的面积的函数关系式为求出其最大面积为）
※考向四：特殊四边形中的全等与相似模型
典例4：（2016 扬州）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
【分析】本题有角含半角及利用一线三等角相似模型﹒（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．
（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；
（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，再判断出∠AFC+∠AEC=45°，从而求出∠AEC，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF∽△ECA，即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，
，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=，即：a=b=；
（2）当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴，，
∴，∴，∴①
∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴4CF=CE（CE+4）②，联立①②，CE=4，CF=8
∴a=4，b=8，
②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．
（3）ab=32，
理由：如图，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，
∴， ∴ab=32．
※考向五：双正方形及演变
典例6：已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
【分析】(1)易证△APE≌△CFE，得EA=EC；
（2）①由P为AB的中点，得PA=PB，又PB=PE，从面得PA=PE，导出∠PAE=45°，又∠DAC=45°，则可证△ACE是直角三角形；
②由EP平分∠AEC，EP⊥AG，则AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，由PE∥CF导比，即，解得，,作GH⊥AC于H，求得,由PE∥CF，得∠PEG=∠BCG，故∠AEC=∠ACB=45°．从而得；所以∠AEC=45°．
【解答】解:（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；
（2）①∵P为AB的中点，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，∵PE∥CF，∴，即，解得，,作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴,∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴；∴∠AEC=45°．
※考向六：特殊四边形与函数问题
典例6：（2018·恩施）如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点、、使得、、的面积均为定值，求出定值及、、这三个点的坐标．
【分析】1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；（2）分类讨论，以坐标平移规律定出P点坐标；（3）对任意的面积，抛物线位于直线下方的部分一定存在两个点使得与、所围成的三角形的面积为．则抛物线位于直线上方的部分有且仅有一个点使得与、所围成的三角形的面积为．平移直线与抛物线交于一点，联立求点的坐标．利用平移规律求另两个点的坐标．
【解答】解:（1）∵ OC＝2，OB＝3，∴ C为(0，2)，B为(3，0)
设抛物线的解析式为，将A(－1，0)，B(3，0)代入得
解得，抛物线的解析式为
（2）∵ D为的顶点，∴ D为(1，)∵ C为(0，2)，为(3，0)
① 当四边形DCBP1为平行四边形时，BP1可由CD平移得到，由点C到点D横坐标加1个单位，纵坐标加个单位，P为；
② 当四边形DP2CB为平行四边形时，CP2可由BD平移得到，由点B到点D横坐标减2个单位，纵坐标加个单位，P为；
③ 当四边形CP3BD为平行四边形时，BP3可由DC平移得到，由点B到点D横坐标减1个单位，纵坐标减个单位，P为．
综上所述，当P为或或时，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
∵ 对任意的面积S，抛物线位于直线BC下方的部分一定存在两个点使得与B、C所围成的三角形的面积为S
∴ 抛物线位于直线上方的部分有且仅有一个点使得与B、C所围成的三角形的面积为S
∴ 作直线BC的平行线L使得它与抛物线有且仅一个交点，设：
∴ 令，
解得，，∴直线l1是由直线向上平移个单位得到，M1为．
∵ C为，B为，M1为可得，．
则由直线BC向下平移个单位得到直线：，联立得
解得，，，代入到直线的解析式中得到
，．
综上，，，，．
★易错点一：与特殊四边形相关的操作性问题
题1：有一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上任意选择的两点（但不与顶点重合，如下图是一种选择情形），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的各种情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行 若平行，请给予证明；若不平行时，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直
【分析】以动手操作为背景，通过翻折变换，考查矩形的性质及分类讨论、数形结合、方程及转化思想
【解答】解：（1）证明：由 （x+AF） a = （b﹣x+b﹣AF） a，得AF = b﹣x，又EC = b﹣x，∴AF=EC．
（2）翻折后的图形如图，
①如图1，当直线E′E经过原矩形顶点D时，x：b=2：3，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b=1：3；
②如图1，当直线E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF,理由如下：
根据题意得，BE=DF，EE′=EF，又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，∴在△BEE′与△FDE中，
∴△BEE′≌△FED（SAS），∴∠BE′E=∠FED，∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b=：3 时，BE′与EF垂直．理由如下：BE′与EG垂直,,又,,又,,. 又,
,.由勾股定理，,
即,于是. .
错因透视：动手操作能力差，几何直观意识不强，缺少数形结合等数学思想方法，不易上手，另外，考虑问题不全易出错
★易错点二：特殊四边形有关的几何变换
题2：已知：已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。收起 ( javascript: / / )
【分析】以旋转为背景，考查正方形的性质
【解答】解：（1）证明：如图，延长CB ( https: / / www. / s wd=CB&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )至E使得BE=DN，易证△ABE ( https: / / www. / s wd=ABE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△ADN ( https: / / www. / s wd=ADN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )，∴∠BAE ( https: / / www. / s wd=BAE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠DAN ( https: / / www. / s wd=DAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )，AE=AN，∴∠EAN ( https: / / www. / s wd=EAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠BAE ( https: / / www. / s wd=BAE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )+∠BAN ( https: / / www. / s wd=BAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠DAN ( https: / / www. / s wd=DAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )+∠BAN ( https: / / www. / s wd=BAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=90°；∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵AM是公共边，∴△ABE ( https: / / www. / s wd=ABE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△AND，∴ME ( https: / / www. / s wd=ME&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=MN，即BM+BE=MN，∴BM+DN=MN
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
如图，在DC ( https: / / www. / s wd=DC&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )上截取DE=BM，易证△ADE ( https: / / www. / s wd=ADE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△ABM，∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN；∵AN是公共边，∴△MAN≌△EAN，∴EN=MN，即DN-DE=MN，∴DN-BM=MN
错因透视：正方形是最为特殊的平行四边形，其中易与等腰三角形及另一个正方形组合成旋转，角含半角模型是研究正方形中各线段关系常考题型，常考常新，由于题目背景熟悉，所以易简单用模型而出错
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
M
H
N
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第22讲《特殊平行四边形》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017 聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
2．（2018宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )
A． B．2 C． D．4
3．（2018·上海）己知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
4．（2017 宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．（2017 安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·恩施） 如图3所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD交 AG 于 F 点，已知 FG ＝２，则线段 AE 的长度为（ ）
A．6 B． 8 C．10 D．12
7．（2017 贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8. (2018·湖州)如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是_________.
9．（2018·成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为 ．
10．(2018·攀枝花)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值是______．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G.求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形.
12．（2018·扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
13.在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1．点D是边AB上一点（点D不与A，B重合），将纸片沿CD折叠，得到A的对称点A1，连接A1B．
（1）如图1，当点A1在BC的上方，且满足A1B⊥BC时，求A1B的长；
（2）如图2，当点D为AB的中点时，试判断四边形A1BCD的形状，并说明理由；
（3）当∠BDA1＝30° 时，求BD的长（直接写出结果）.
14．（2017 阜新）在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BEG．
（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；
（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)
15．.（2018十堰） 已知正方形ABCD与正方形 CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论;
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
16．（2018·江西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求正边形ADPE的面积．
P
C
B
A
D
P
M
1
2
3
B
C
D
A
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N
G
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A1
D
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C
A
A1
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六章 四边形
第22讲 特殊平行四边形
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1.矩形 ★★★★ 掌握矩形的概念和性质掌握矩形的判定掌握菱形的概念和性质掌握菱形的判定掌握正方形的概念和性质掌握正方形的判定 矩形、菱形、正方形的性质与判定是中考考查的重点内容之一，常见的题型有特殊四边形的翻折、几种特殊四边形与解直角三角形的综合运用、与圆相关的计算与推理、与函数和直角坐标系融合成动态问题等，考查数形结合、方程思想、函数思想、分类讨论及转化等多种思想方法及多种模型的演变与深化
2 菱形 ★★★★
3 正方形 ★★★★
矩形：
定义：有一个角是 的平行四边形叫矩形
性质：矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 且互相平分；矩形既是 图形，又是 对称图形；矩形具有平行四边形的性质
判定：有一个角是 的平行四边形是矩形；或者对角线 的平行四边形是矩形；或者有 角是直角的四边形是矩形
菱形：
定义：有一组 相等的平行四边形叫做菱形
性质：菱形的 条边都相等；菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角；菱形是 对称图形，也是 对称图形
判定：一组 相等的平行四边形是菱形；或者对角线 的平行四边形是菱形；或者 条边都相等的四边形是菱形
菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的
正方形：
(1) 定义：有一组 的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的 是正方形；或者有一个角是直角的 是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的 是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的 是正方形
※考向一：特殊四边形的有关计算
典例1：（2018滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为___________．
【分析】取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”
【解答】解：取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，故有EH＝MH＋BE．由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN－BE＝2－1＝1，设MH＝x，由M是AD中点，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2－x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△EHN中有，故，解得x＝，故DF＝，故AF＝
故答案:
．
※考向二：特殊四边形有关推理
典例2：（2018·成都，24，4分） 如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 .
【分析】延长NF与DC交与点H,由折叠性质和已知条件可证ABCD是菱形,再导角证得∠DHF=90°,可解Rt△DHF求出DH=DF·sin∠DFH=k.,得CH=9k－k=k.;在Rt△CHN中，tanC= tanA=，则cosC=.得NC==7k.,则有BN=9k－7k=2k.,故得.
【解答】证明:延长NF与DC交与点H由折叠的性质，得∠E=∠A，∠EFN=∠B，AM=EM，EF=AB.∵EF⊥AD，∴∠MDE=90°.在Rt△MDE中，tanE=tanA=，设DM=4k，DE=3k，则EM=5k.∴AM=EM=5k，AD=9k.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=AD=9k，∠C=∠A，AB∥CD，AD∥BC.
∴∠A+∠ADC=180°，∠A+∠B=180°.∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°.∵∠DFH+∠DFN=180°，∠A+∠B=180°，∠EFN=∠B，∴∠A=∠DFH.∴∠DFH+∠FDH=90°.∴∠DHF=90°.∵EF=9k，DE=3k，∴DF=6k.
在Rt△DHF中，tan∠DFH=tanA=，则sin∠DFH=.∴DH=DF·sin∠DFH=k
.∴CH=9k－k=k.
在Rt△CHN中，tanC= tanA=，则cosC=.∴NC==7k.∴BN=9k－7k=2k.
∴.
故答案：
※考向三：特殊四边形中的定长对定角模型
典例3：（2017 宜昌）正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作.
(1)当经过点时，
①请直接填空： （可能，不可能）过点；（图1仅供分析）
②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.
（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.
【分析】以双正方形为背景的定长对定角动态问题，突出数形结合及画图分析能力的考查
【解答】解：（1）①不可能
②∵在正方形ABCD中，,∴,又EH⊥BC，∴,而,EFCH为矩形，在⊿OFE和⊿ABO中，,,OE=AO, ∴⊿OFE≌⊿ABO, ∴EF=OB,OF=AB,有OF=OC+CF=AB=BC=BO+OC=EF+OC, ∴CF=EF, ∴由①②得EFCH为正方形
（2）由∠POK=∠OGB, ∠PKO=∠OBG可得⊿PKO～⊿OBG,因为，所以,∴OP=2,则⊿POG的面积为定值1，因为OG=1为定值，则直角三角形OBG内接于⊙O，设OB=a.BG=b,过B作BT垂直OG，垂足为T，则ab=BT×OG,，当BT为半径是地，ab最大，即为，这时，⊿OBG最大面积为
（因为本题中有，则也可由完全平方公式转化为a,b的均值不等式即或表示出⊿OBG的面积的函数关系式为求出其最大面积为）
※考向四：特殊四边形中的全等与相似模型
典例4：（2016 扬州）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
【分析】本题有角含半角及利用一线三等角相似模型﹒（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．
（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；
（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，再判断出∠AFC+∠AEC=45°，从而求出∠AEC，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF∽△ECA，即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，
，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=，即：a=b=；
（2）当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴，，
∴，∴，∴①
∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴4CF=CE（CE+4）②，联立①②，CE=4，CF=8
∴a=4，b=8，
②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．
（3）ab=32，
理由：如图，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，
∴， ∴ab=32．
※考向五：双正方形及演变
典例6：已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
【分析】(1)易证△APE≌△CFE，得EA=EC；
（2）①由P为AB的中点，得PA=PB，又PB=PE，从面得PA=PE，导出∠PAE=45°，又∠DAC=45°，则可证△ACE是直角三角形；
②由EP平分∠AEC，EP⊥AG，则AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，由PE∥CF导比，即，解得，,作GH⊥AC于H，求得,由PE∥CF，得∠PEG=∠BCG，故∠AEC=∠ACB=45°．从而得；所以∠AEC=45°．
【解答】解:（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；
（2）①∵P为AB的中点，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，∵PE∥CF，∴，即，解得，,作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴,∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴；∴∠AEC=45°．
※考向六：特殊四边形与函数问题
典例6：（2018·恩施）如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点、、使得、、的面积均为定值，求出定值及、、这三个点的坐标．
【分析】1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；（2）分类讨论，以坐标平移规律定出P点坐标；（3）对任意的面积，抛物线位于直线下方的部分一定存在两个点使得与、所围成的三角形的面积为．则抛物线位于直线上方的部分有且仅有一个点使得与、所围成的三角形的面积为．平移直线与抛物线交于一点，联立求点的坐标．利用平移规律求另两个点的坐标．
【解答】解:（1）∵ OC＝2，OB＝3，∴ C为(0，2)，B为(3，0)
设抛物线的解析式为，将A(－1，0)，B(3，0)代入得
解得，抛物线的解析式为
（2）∵ D为的顶点，∴ D为(1，)∵ C为(0，2)，为(3，0)
① 当四边形DCBP1为平行四边形时，BP1可由CD平移得到，由点C到点D横坐标加1个单位，纵坐标加个单位，P为；
② 当四边形DP2CB为平行四边形时，CP2可由BD平移得到，由点B到点D横坐标减2个单位，纵坐标加个单位，P为；
③ 当四边形CP3BD为平行四边形时，BP3可由DC平移得到，由点B到点D横坐标减1个单位，纵坐标减个单位，P为．
综上所述，当P为或或时，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
∵ 对任意的面积S，抛物线位于直线BC下方的部分一定存在两个点使得与B、C所围成的三角形的面积为S
∴ 抛物线位于直线上方的部分有且仅有一个点使得与B、C所围成的三角形的面积为S
∴ 作直线BC的平行线L使得它与抛物线有且仅一个交点，设：
∴ 令，
解得，，∴直线l1是由直线向上平移个单位得到，M1为．
∵ C为，B为，M1为可得，．
则由直线BC向下平移个单位得到直线：，联立得
解得，，，代入到直线的解析式中得到
，．
综上，，，，．
★易错点一：与特殊四边形相关的操作性问题
题1：有一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上任意选择的两点（但不与顶点重合，如下图是一种选择情形），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的各种情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行 若平行，请给予证明；若不平行时，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直
【分析】以动手操作为背景，通过翻折变换，考查矩形的性质及分类讨论、数形结合、方程及转化思想
【解答】解：（1）证明：由 （x+AF） a = （b﹣x+b﹣AF） a，得AF = b﹣x，又EC = b﹣x，∴AF=EC．
（2）翻折后的图形如图，
①如图1，当直线E′E经过原矩形顶点D时，x：b=2：3，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b=1：3；
②如图1，当直线E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF,理由如下：
根据题意得，BE=DF，EE′=EF，又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，∴在△BEE′与△FDE中，
∴△BEE′≌△FED（SAS），∴∠BE′E=∠FED，∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b=：3 时，BE′与EF垂直．理由如下：BE′与EG垂直,,又,,又,,. 又,
,.由勾股定理，,
即,于是. .
错因透视：动手操作能力差，几何直观意识不强，缺少数形结合等数学思想方法，不易上手，另外，考虑问题不全易出错
★易错点二：特殊四边形有关的几何变换
题2：已知：已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。收起 ( javascript: / / )
【分析】以旋转为背景，考查正方形的性质
【解答】解：（1）证明：如图，延长CB ( https: / / www. / s wd=CB&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )至E使得BE=DN，易证△ABE ( https: / / www. / s wd=ABE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△ADN ( https: / / www. / s wd=ADN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )，∴∠BAE ( https: / / www. / s wd=BAE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠DAN ( https: / / www. / s wd=DAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )，AE=AN，∴∠EAN ( https: / / www. / s wd=EAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠BAE ( https: / / www. / s wd=BAE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )+∠BAN ( https: / / www. / s wd=BAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=∠DAN ( https: / / www. / s wd=DAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )+∠BAN ( https: / / www. / s wd=BAN&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=90°；∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵AM是公共边，∴△ABE ( https: / / www. / s wd=ABE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△AND，∴ME ( https: / / www. / s wd=ME&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )=MN，即BM+BE=MN，∴BM+DN=MN
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
如图，在DC ( https: / / www. / s wd=DC&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )上截取DE=BM，易证△ADE ( https: / / www. / s wd=ADE&tn=44039180_cpr&fenlei=mv6quAkxTZn0IZRqIHckPjm4nH00T1Y4mv7hPH0znW6sn163uyDL0ZwV5Hcvrjm3rH6sPfKWUMw85HfYnjn4nH6sgvPsT6KdThsqpZwYTjCEQLGCpyw9Uz4Bmy-bIi4WUvYETgN-TLwGUv3En1bkP1TznH0snWmkPWm3PWfd" \t "_blank )≌△ABM，∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN；∵AN是公共边，∴△MAN≌△EAN，∴EN=MN，即DN-DE=MN，∴DN-BM=MN
错因透视：正方形是最为特殊的平行四边形，其中易与等腰三角形及另一个正方形组合成旋转，角含半角模型是研究正方形中各线段关系常考题型，常考常新，由于题目背景熟悉，所以易简单用模型而出错
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
M
H
N
2
