第七章 圆
第23讲 圆的有关概念与性质
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
圆的有关概念与性质 ★★★★★ 了解圆的定义及相关概念灵活运用垂径定理及其推论解决相关问题灵活运用圆周角定理及其推论解决相关问题 垂径定理及圆周角定理是中考必考内容，这一部分内容涉及圆的定义及相关概念、圆心角与圆周角、弧、弦、弦心距等许多重要概念，在中考中一般有一道选填题、一道或两道解答题出现，分值在11－15分左右，是中考重点内容
1. 圆的有关概念：
（1） 平面内到定点的距离等于 的点的集合叫做圆
（2） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦， 是圆中最长的弦
（3） 弧：圆上任意两点间的部分叫弧，半圆是弧，大于半圆的弧叫优弧，小于大圆的弧叫劣弧；能够完全重合的两段弧叫 ，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧
（4） 弦心距：圆心到弦的 的长度叫弦心距
（5） 圆心角：角的顶点是 ，且角的两边与圆相交所组成的角叫圆心角
（6） 圆周角：角的顶点在 ，且角的两边与圆相交所组成的角叫圆周角
（7） 圆内接四边形对角 ，并且任何一个外角等于它的内对角
2. 圆的有关性质：
（1） 不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心是三边的 的交点，即三角形的外接圆的圆心，它到三角形 的距离相等；三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心，即三角形内切圆的圆心，它到三角形 的距离相等
（2） 中心对称性： 圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合
（3） 轴对称性：直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴
3. 三个重要定理及推论：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦并且 弦所对的两条弧；推论：一条直线如果具有过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧等五个性质中任何两个，则必具有另三个性质，但要注意推论中：平分弦（弦不是 ）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等；推论：在同圆或等圆中，一组圆心角以及它们所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧四组量中，有一组相等，则其余的三组量也分别相等
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ；推论：直径所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的 ．
4. 三个重要基本图形：
5、四条重要辅助线补形思路：一是遇弦过弦心距、连半径补形为直角三角形；二是有直径想直角；三是弧的中点与圆心试相连；四是试作直径找直角
※考向一：圆的相关概念和性质
典例1：（2018·舟山） 如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm．
【分析】 根据题意，抽象出数学图形,由圆的相关概念和性质即可作答．
【解答】解：根据题意可知：AD＝10，∠AOD＝120°，由OA＝OD，∴∠DAO＝30°，设OE＝x，则OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5，在Rt△AOE中，x2+52＝（2x）2，解得：，∴CE＝OE＝．
故答案：
※考向二：垂径定理及运用
典例2：（2017·十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝，求BC的长 ．
【分析】考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD＝∠BCD＝45°，故可得出AD＝BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【解答】解：连接BD，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径．∵ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD＝．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝．∵AC＝6，∴BC＝．
※考向三：圆周角定理及运用
典例3：（2018·龙东）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．
【分析】连接AD,利用圆周角定理和等腰直角三角形性质即可解决
【解答】解：连接AD．∵AC为⊙O的直径，点D在圆上，OD⊥AC，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO＝45°，又∠BDO＝15°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB与∠ADB所对的弧都是AB弧，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．
故答案：60°
典例4：（2015 安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【分析】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，考查了勾股定理和解直角三角形，（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ关于OP的函数关系式，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，从而得出 PQ长的最大值
【解答】解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ=；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ=，当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为．
※考向四：圆心角、弧、弦之间的关系
典例4：(2017·东营)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE CO，其中正确结论的序号是 ．
【分析】考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；
②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；
③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出，得出．
【解答】解：①∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=90°．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=45°
∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAO=45°，∴∠DOC=45°，∴∠BOD=∠DOC，∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，∴∠CDA=45°，∴∠DOC=∠CDA．∵∠OCD=∠OCD，∴△DOC∽△EDC，
∴，∴．故③正确．
故答案：①②③．
典例5：（（2015 雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．
故答案：D．
※考向五：圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用
典例6：（2016·武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
(1) 求证：AC平分∠DAB；
(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．
【分析】考查切线的性质、平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理及圆心角，弧，弦之间的关系的应用
【解答】解：（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．
（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，
化简得：，解得：，（舍去）．∴
★易错点一：位置关系不定考虑不全而出错
题1：⊙O的半径为5，弦AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 。
【分析】考查垂径定理及勾股定理、分类思想
【解答】解：分两种情况：
（1）当两条弦在圆心O异侧时，如图1所示：过O作OE⊥AB，交CD于F点，连接OB，OD，可得出OB=OD=5，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴E为AB中点，F为CD中点，又∵AB=6，CD=8，∴EB=3，FD=4，在Rt△OEB和Rt△ODF中，利用勾股定理得：OE=，
则弦AB与CD间的距离EF=OE+OF=4+3=7；
（2）当两条弦在圆心O同侧时，如图2所示：同理求出OE=4，OF=3，则弦AB与CD间的距离EF=OE-OF=4-3=1．
综上，弦AB与CD间的距离为1或7．
错因透视： 图形不明，位置不定时，要分类画图进行定位分析，由于画图习惯及思维定势等原因，会考虑不周全出错
★易错点二：对垂径定理及推论运用出错
题2：如图，⊙O的直径BC＝4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC＝2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连接GH交BC于E．
(1)当点A是BO的中点时，求AF的长；
(2)若∠AGH＝∠AFD，求△AGH的面积．
【分析】以动态问题为背景考查圆的有关性质、切线性质及垂径定理及推论、分类讨论、质疑思辨、极端考虑等意识和分析解决问题的能力
【解答】解：⑴∵BC＝4，A是OB的中点，∴AC＝3，又∵DC为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠ACF＝90o， ∵AD⊥AF，∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余；∴∠ADC＝∠CAF，∴△ACD∽△FCA，∴CD∶AC＝AC∶FC，
当点A、O重合时FD最短，此时CA＝DC＝FC＝1，∴DF＝2；
当点A、B重合时FD最长，此时：AC＝2，CD＝1，∴CF＝4，
∴DF＝5，∴2≤FD≤5，
(2)∵∠AGH＝∠AFD，∠DAF＝∠HAG，∴△AGH∽△AFD，∴∠AGH＝∠F＝∠CAG，∠AHG＝∠D＝∠CAF，∴AE＝GE＝HE．
①如果GH是直径，那么GH＝2，
而DF=5，∴△AGH与△AFD的相似比为2∶5， ∴△AGH与△AFD的面积比为4∶25，而△AFD面积为0.5×5×2＝5，∴△AGH面积＝4÷25×5＝0.8．
②如果GH不是直径，那么根据垂径定理推论得到GH⊥BC，∴AC垂直平分GH，AG=AH，且GH∥DF，而∠GAH＝90°，∴∠AGH＝45°，∴∠D＝∠AGH ＝45°，那么Rt△ACD中，∠DAC＝45° ，∴AC=DC＝1，而OC=1，∴A、O重合，那么AG＝AH＝1，∴△AGH面积为0.5．
错因透视： 对垂径定理推论“平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧”中的“弦不是直径”易忽视而出错，会漏掉GH是直径这种情况，导致解答不周全．
3第七章 圆
第23讲 圆的有关概念与性质
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
圆的有关概念与性质 ★★★★★ 了解圆的定义及相关概念灵活运用垂径定理及其推论解决相关问题灵活运用圆周角定理及其推论解决相关问题 垂径定理及圆周角定理是中考必考内容，这一部分内容涉及圆的定义及相关概念、圆心角与圆周角、弧、弦、弦心距等许多重要概念，在中考中一般有一道选填题、一道或两道解答题出现，分值在11－15分左右，是中考重点内容
圆的有关概念：
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦
弧：圆上任意两点间的部分叫弧，半圆是弧，大于半圆的弧叫优弧，小于大圆的弧叫劣弧；能够完全重合的两段弧叫等弧，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧
弦心距：圆心到弦的垂线段的长度叫弦心距
圆心角：角的顶点是圆心，且角的两边与圆相交所组成的角叫圆心角
圆周角：角的顶点在圆上，且角的两边与圆相交所组成的角叫圆周角
圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角
圆的有关性质：
不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心是三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等；三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心，即三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等
中心对称性： 圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合
轴对称性：直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴
三个重要定理及推论：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；推论：一条直线如果具有过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧等五个性质中任何两个，则必具有另三个性质，但要注意推论中：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；推论：在同圆或等圆中，一组圆心角以及它们所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧四组量中，有一组相等，则其余的三组量也分别相等
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
4. 三个重要基本图形：
5、四条重要辅助线补形思路：一是遇弦过弦心距、连半径补形为直角三角形；二是有直径想直角；三是弧的中点与圆心试相连；四是试作直径找直角
※考向一：圆的相关概念和性质
典例1：（2018·舟山） 如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm．
【分析】 根据题意，抽象出数学图形,由圆的相关概念和性质即可作答．
【解答】解：根据题意可知：AD＝10，∠AOD＝120°，由OA＝OD，∴∠DAO＝30°，设OE＝x，则OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5，在Rt△AOE中，x2+52＝（2x）2，解得：，∴CE＝OE＝．
故答案：
※考向二：垂径定理及运用
典例2：（2017·十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝，求BC的长 ．
【分析】考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD＝∠BCD＝45°，故可得出AD＝BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【解答】解：连接BD，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径．∵ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD＝．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝．∵AC＝6，∴BC＝．
※考向三：圆周角定理及运用
典例3：（2018·龙东）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．
【分析】连接AD,利用圆周角定理和等腰直角三角形性质即可解决
【解答】解：连接AD．∵AC为⊙O的直径，点D在圆上，OD⊥AC，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO＝45°，又∠BDO＝15°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB与∠ADB所对的弧都是AB弧，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．
故答案：60°
典例4：（2015 安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【分析】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，考查了勾股定理和解直角三角形，（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ关于OP的函数关系式，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，从而得出 PQ长的最大值
【解答】解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ=；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ=，当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为．
※考向四：圆心角、弧、弦之间的关系
典例4：(2017·东营)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE CO，其中正确结论的序号是 ．
【分析】考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；
②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；
③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出，得出．
【解答】解：①∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=90°．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=45°
∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAO=45°，∴∠DOC=45°，∴∠BOD=∠DOC，∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，∴∠CDA=45°，∴∠DOC=∠CDA．∵∠OCD=∠OCD，∴△DOC∽△EDC，
∴，∴．故③正确．
故答案：①②③．
典例5：（（2015 雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．
故答案：D．
※考向五：圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用
典例6：（2016·武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
(1) 求证：AC平分∠DAB；
(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．
【分析】考查切线的性质、平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理及圆心角，弧，弦之间的关系的应用
【解答】解：（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．
（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，
化简得：，解得：，（舍去）．∴
★易错点一：位置关系不定考虑不全而出错
题1：⊙O的半径为5，弦AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 。
【分析】考查垂径定理及勾股定理、分类思想
【解答】解：分两种情况：
（1）当两条弦在圆心O异侧时，如图1所示：过O作OE⊥AB，交CD于F点，连接OB，OD，可得出OB=OD=5，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴E为AB中点，F为CD中点，又∵AB=6，CD=8，∴EB=3，FD=4，在Rt△OEB和Rt△ODF中，利用勾股定理得：OE=，
则弦AB与CD间的距离EF=OE+OF=4+3=7；
（2）当两条弦在圆心O同侧时，如图2所示：同理求出OE=4，OF=3，则弦AB与CD间的距离EF=OE-OF=4-3=1．
综上，弦AB与CD间的距离为1或7．
错因透视： 图形不明，位置不定时，要分类画图进行定位分析，由于画图习惯及思维定势等原因，会考虑不周全出错
★易错点二：对垂径定理及推论运用出错
题2：如图，⊙O的直径BC＝4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC＝2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连接GH交BC于E．
(1)当点A是BO的中点时，求AF的长；
(2)若∠AGH＝∠AFD，求△AGH的面积．
【分析】以动态问题为背景考查圆的有关性质、切线性质及垂径定理及推论、分类讨论、质疑思辨、极端考虑等意识和分析解决问题的能力
【解答】解：⑴∵BC＝4，A是OB的中点，∴AC＝3，又∵DC为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠ACF＝90o， ∵AD⊥AF，∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余；∴∠ADC＝∠CAF，∴△ACD∽△FCA，∴CD∶AC＝AC∶FC，
当点A、O重合时FD最短，此时CA＝DC＝FC＝1，∴DF＝2；
当点A、B重合时FD最长，此时：AC＝2，CD＝1，∴CF＝4，
∴DF＝5，∴2≤FD≤5，
(2)∵∠AGH＝∠AFD，∠DAF＝∠HAG，∴△AGH∽△AFD，∴∠AGH＝∠F＝∠CAG，∠AHG＝∠D＝∠CAF，∴AE＝GE＝HE．
①如果GH是直径，那么GH＝2，
而DF=5，∴△AGH与△AFD的相似比为2∶5， ∴△AGH与△AFD的面积比为4∶25，而△AFD面积为0.5×5×2＝5，∴△AGH面积＝4÷25×5＝0.8．
②如果GH不是直径，那么根据垂径定理推论得到GH⊥BC，∴AC垂直平分GH，AG=AH，且GH∥DF，而∠GAH＝90°，∴∠AGH＝45°，∴∠D＝∠AGH ＝45°，那么Rt△ACD中，∠DAC＝45° ，∴AC=DC＝1，而OC=1，∴A、O重合，那么AG＝AH＝1，∴△AGH面积为0.5．
错因透视： 对垂径定理推论“平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧”中的“弦不是直径”易忽视而出错，会漏掉GH是直径这种情况，导致解答不周全．
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第23讲《圆的有关概念与性质》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1 ．（2018·咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角及圆的旋转不变性．
【解答】解：将△COD绕点O顺时针旋转，使OC与OB重合，∵∠AOB与∠COD互补，∴A、O、D三点共线，即AD是直径，∴∠ABD＝90°，∴AB＝＝＝8，
故答案：B．
2．（2018·菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【分析】由垂径定理，得＝，然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间关系即可得到结论．
【解答】解：∵OC⊥AB，由垂径定理，得＝，∴∠O＝2∠D＝64°，∴∠OBA＝90°－64°＝26°．
故答案：D．
3．(2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣；①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG.问：OG 的长是多少？
大臣给出的正确答案应是( )
A．r B．(1＋)r C．(1＋)r D．r
【分析】.由题意可知OG是AD的垂直平分线，再由圆周角定理及勾股定理可求．
【答案】解：如图，连接AD，AC、AG、CD.由题意可知OG是AD的垂直平分线，∴△AOG是直角三角形.在△ACD中，易知∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∴AC＝sin∠ADC×AD＝r，∴AG＝r.在Rt△AOG中，OG＝＝＝r.
故答案：D．
4．(2017·阿坝州)如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )
A．2cm B．cm C．cm D．cm
【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2cm，
∴AD= (cm)，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．
故答案：D．
5．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【分析】考查了圆内接四边形性质及三角形内心性质
【解答】解：由∠AIC=124°，知∠IAC+∠ICA=180°﹣∠AIC=180°﹣124°=56°．又点I是△ABC的内心，∴点I是△ABC三个内角角平分线的交点．∴∠BAC+∠BCA =56°×2=112°．
∴∠B =180°﹣(∠BAC+∠BCA)=180°﹣112°=68°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE =∠B =68°
故答案：C．
6．（2018·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6， ∠APC＝30°，则CD的长为 （ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC先根据垂径定理和勾股定理即可得出结论．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2
故答案：C．
7 （2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上一动点.当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．连结AB，过点P作PE⊥OB于点E，反向延长PE交⊙P于点D，则此时点D到弦OB的距离最大．
【解答】解如图，连结AB，过点P作PE⊥OB于点E，反向延长PE交⊙P于点D，则此时点D到弦OB的距离最大，由题意得：AB是⊙P的直径，AB＝10，∴PB＝5，由垂径定理可知：BE＝OE＝OB＝3，在Rt△PEB中，由勾股定理得PE＝4，∴DE＝PD＋PE＝5＋4＝9，taN∠BOD＝＝＝3.
故答案：B．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．(2018·临沂)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm．
【分析】能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O，考查了过不在同一直线上的三点确定一个圆及垂径定理
【解答】解：能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O，连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=120°，过点D作OD⊥BC于点D，∴∠BOD=∠BOC=60°，由垂径定理得BD=BC=cm，∴OB=，∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是
故答案：．
9．（2017·海南）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
【分析】考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，AB＝5，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝，∴MN最大＝．
故答案：．
10．（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O，连接OC,则OC=
【分析】考查基本作图及内心的概念．
【解答】解：∵AB=5,AC=4,BC=3,∴AC2+BC2=42+32=25=AB2,∴△ABC是直角三角形，由作法可知AO,BO分别是∠BAC,∠ABC的角平分线，∴点O是△ABC内切圆的圆心，其内切圆半径为=1，由勾股定理得OC=.
故答案：．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11． (2018·定西)如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5－r，在Rt△AOE中，sinA＝＝，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE＝EF，∴∴∠OBE＝∠DBE∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC
∴BC⊥AC∴∠C＝90°
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝∴AB＝5，设⊙O的半径为r，则AO＝5－r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝∴r＝∴AF＝5－2×＝
12．（2018·昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）将圆心O与切点C连接起来，利用切线的性质可得OC⊥ED，再通过证明OC∥AD，得到∠D＝∠OCE＝90°解决．（2）取OC与BF的交点为G，证明四边形GFDC是矩形后，得GF＝CD＝4，并产生垂径定理的应用条件OC⊥BF，于是求出BF＝2GF＝8，最后在Rt△AFB中，运用勾股定理计算即可求出半径．
【解答】解：（1）证明：连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥ED．∴∠OCE＝90°．
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA．又∵AC平分∠BAD，∴∠OAC＝∠DAC．∴∠OCA＝∠DAC．
∴OC∥AD．∴∠D＝∠OCE＝90°．∴AD⊥ED．
（2）取OC与BF的交点为G，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．又∠D＝90°，∴∠AFB＝∠D．∴BF∥ED．而GC∥FD，∴四边形GFDC是平行四边形．又∠D＝90°，∴四边形GFDC是矩形．∴GF＝CD＝4，∠FGC＝90°．∴OC⊥BF．∴BF＝2GF＝8．
在Rt△AFB中，∵AF2＋BF2＝AB2，∴AB＝＝＝2．
∴⊙O的半径是．
13．（2017·台州）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求的值．
【分析】考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，
可得；
【解答】解：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠AEP=∠ABP=45°，∵PE是直径，∴∠PAB=90°，∴∠APE=∠AEP=45°，∴AP=AE，∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=PM，PB=PN,则有：
14．（2018·福建）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，DE⊥AB，垂足为 E，交⊙O于点F．
(1)延长DE交⊙O于点F，、延长DC、FB交于点P，求证：PB＝PC；
(2) 如图2，过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H．且点O和点A都在DE的左侧，若AB＝，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
【分析】：（1）易得DF∥BC，只需证明∠PCB＝∠PDF＝∠PFD＝∠PBC即可.
（2）不难得出四边形DHBC由平行四边形，从而tan∠ADB＝tan∠ACB＝AB:BC＝，
所以∠ADB＝∠ACB＝60°，连接OD可得∠ODH＝20°，由∠ODA＝∠DAC＝∠DBC＝∠EDB°可得答案.
【解答】解：（1）∵AC为直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，又DF⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∴DF∥BC，∴∠PCB＝∠PDF，∠PBC＝∠PFD，
∵DF⊥AB，∴∠AEF＝∠ABF＋∠DFB＝90°，∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠PDF＝∠PFD，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC.
（2）连接OD，∵BG⊥AD，∴∠BGD＝∠ADC＝90°，∴∠BGD＋∠ADC＝180°，∴BG∥CD，∴四边形DHBC为平行四边形，∴DH＝BC＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝,∴∠ACB＝60°，∴∠CAB＝30°，∴BC＝DH＝，∴DO＝HD，∴∠DOH＝∠DHO＝80°，∴∠ODH＝20°，∵∠EDB＝∠DBC，,
∴∠DAC＝∠DBC，又OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD,∴∠ADO＝∠BDH，∵,
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADO＋∠ODH＋∠BDE＝60°，∴∠ADO＝∠BDH＝20°，即∠EDB＝20°.
15．（2017·深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE HF的值．
【分析】考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；（2）只要证明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可；（3）由△EHM∽△NHF，推出，推出HE HF=HM HN，又HM HN=AH HB，推出HE HF=AH HB，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OC．∵AB⊥CD，∴∠CHO=90°，在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r﹣2，CH=4，∴，∴r=5．
（2）如图1中，连接OD．∵AB⊥CD，AB是直径，∴==，∴∠AOC=∠COD，∵∠CMD=∠COD，∴∠CMD=∠COA，∴sin∠CMD=sin∠COA=．
（3）如图2中，连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵∠E+∠ABM=90°，∴∠E=∠MAB，∴∠MAB=∠MNB=∠E，∵∠EHM=∠NHFM，∴△EHM∽△NHF，∴，∴HE HF=HM HN，∵HM HN=AH HB，∴HE HF=AH HB=2 （10﹣2）=16．
16．（2018·哈尔滨）已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上，连接BE、DE，点F在弧AD上，连接BF、DF、BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
(1)如图1，求证:∠CBE＝∠DHG;
(2)如图2，在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合)，连接BN交DE于点L，过
点H作HK//BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP＝HF时，求证:BE＝HK;
(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF＝2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
图1 图2 图3
【分析】（1）问利用同弧和等弧所对圆周角等与三角形外角性质易证的结论．
（2）过H作HM⊥KD，易证得HM＝BP，加上直角条件，可导出第三个全等条件，得到△BEP≌△HKM，所以BE＝HK．
（3）连接BD后根据条件3HF＝2DF可得到tan∠ABH＝tan∠ADE＝＝，过点H作HS⊥BD后再设边计算就能求出tan∠BDE＝tan∠DBF＝＝，在ER上截取ET＝DK，连接BT易证得△BET≌△HKD，这时BP·ERHM·DK＝BP(ER－DK)＝BP(ER－ET)＝，易求得BP＝1，PR＝5，BR＝＝＝
【解答】解：（1）证明:∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠ABC＝90°∵∠F＝∠A＝90°∴∠F＝∠ABC
∵DA平分∠EDF∴∠ADE＝∠ADF∵∠ABE＝∠ADE∴∠ABE＝∠ADF
又∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE，∠DHG＝∠F＋∠ADF∴∠CBE＝∠DHG
（2）证明:过H作HM⊥KD垂足为点M∵∠F＝90°∴HF⊥FD又∵DA平分∠EDF∴HM＝FH
∵FH＝BP∴HM＝BP∵KH∥BN∴∠DKH＝∠DLN∵∠ELP＝∠DLN∴∠DKH＝∠ELP
∵∠BED＝∠A＝90°∴∠BEP＋∠LEP＝90°∵EP⊥BN∴∠BPE＝∠EPL＝90°
∴∠LEP＋∠ELP＝90°∴∠BEP＝∠ELP＝∠DKH∵HM⊥KD∴∠KMH＝∠BPE＝90°
∴△BEP≌△HKM∴BE＝HK
(3)解:连接BD∵3HF＝2DF，BP＝FH∴设HF＝2a，DF＝3a∴BP＝FH＝2a
由(2)得HM＝BP，∠HMD＝90°∵∠F＝∠A＝90°
∴tan∠HDM＝tan∠FDH∴＝＝ ∴DM＝3a
∴四边形ABCD是正方形∴AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB＝45°
∵∠ABF＝∠ADF＝∠ADE，∠DBF＝45°－∠ABF，∠BDE＝45°－∠ADE
∴∠DBF＝∠BDE∵∠BED＝∠F，BD＝BD∴△BED≌△DFB∴BE＝FD＝3a
过点H作HS⊥BD垂足为点S∵tan∠ABH＝tan∠ADE＝＝
∴设AB＝3m，AH＝2m∴BD＝AB＝6m DH＝AD－AH＝m
sin∠ADB＝＝ ∴HS＝m∴ DS＝＝m
∴BS＝BD－DS＝5m∴tan∠BDE＝tan∠DBF＝＝
∵∠BDE＝∠BRE∵tan∠BRE＝＝∵BP＝FH＝2a ∴RP＝10a
在ER上截取ET＝DK，连接BT由(2)得∠BEP＝∠HKD∴△BET≌△HKD
∴∠BTE＝∠KDH∴tan∠BTE＝tan∠KDH∴＝ ∴PT＝3a∴TR＝RP－PT＝7a
∵S△BER－S△KDH＝∴BP·ERHM·DK＝
∴BP(ER－DK)＝BP(ER－ET)＝∴×2a×7a＝
∴a2＝，a1＝，a2＝(舍去)∴BP＝1，PR＝5
∴BR＝＝＝
A
B
C
D
O
A
B
O
x
P
y
A
B
O
x
P
y
D
E
图1
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第23讲《圆的有关概念与性质》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1 ．（2018·咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
2．（2018·菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
3．(2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣；①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG.问：OG 的长是多少？
大臣给出的正确答案应是( )
A．r B．(1＋)r C．(1＋)r D．r
4．(2017·阿坝州)如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )
A．2cm B．cm C．cm D．cm
5．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
6．（2018·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6， ∠APC＝30°，则CD的长为 （ ）
A． B．2 C．2 D．8
7 （2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙ P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上一动点.当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．(2018·临沂)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm．
9．（2017·海南）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
10．（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O，连接OC,则OC=
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11． (2018·定西)如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
12．（2018·昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
13．（2017·台州）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求的值．
14．（2018·福建）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，DE⊥AB，垂足为 E，交⊙O于点F．
(1)延长DE交⊙O于点F，、延长DC、FB交于点P，求证：PB＝PC；
(2) 如图2，过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H．且点O和点A都在DE的左侧，若AB＝，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
15．（2017·深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE HF的值．
16．（2018·哈尔滨）已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上，连接BE、DE，点F在弧AD上，连接BF、DF、BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
(1)如图1，求证:∠CBE＝∠DHG;
(2)如图2，在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合)，连接BN交DE于点L，过
点H作HK//BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP＝HF时，求证:BE＝HK;
(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF＝2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
图1 图2 图3
A
B
C
D
O
A
B
O
x
P
y
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