第24讲《直线与圆的位置关系》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017?吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2018·内江）已知的半径为3cm，的半径为2cm，圆心距=4cm，则与的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
4．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有： AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2 +PG2的最小值为（ ）
A. B. C.34 D.10
5．（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A． B C． D．
6．（2018重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )
A．4 B． C．3 D．2.5
7．(2018·鄂州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP与AB交于点D，连接BC，下列结论：
①∠APB＝2∠BAC ②OP∥BC ③若tanC＝3，则OP＝5BC ④AC2＝4OD?OP
其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·宁波，17，4分）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
9．（2017?衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
10．2018·玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
12．（2018·烟台）如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、BC上两点，点A、C、E在⊙D上，点B、D在⊙E上，点F为上一点，连接EF并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为，请将∠CAD用含的代数式表示；
（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．
13．(2018·永州)如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
14．（2018·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB=x，AF=y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE=8，sinB=，求DG的长.
．
15．（2018·苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
16（2018·孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.
第24讲《直线与圆的位置关系》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017?吉林）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】考查切线的性质，根据勾股定理，可得OB的长，根据线段的和差即可求解．
【解答】解：由勾股定理，得OB=，∴CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故答案：D．
2．（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】考查了切线的性质、等腰三角形的性质；由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OB⊥BM，∴∠BAO=∠ABO=∠MBA－∠OBM=140°－90°=50°，∴∠AOB=180°－50°×2=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．
故答案：A．
3．（2018·内江）已知的半径为3cm，的半径为2cm，圆心距=4cm，则与的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【分析】考查了直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故答案：C．
4．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有： AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2 +PG2的最小值为（ ）
A. B. C.34 D.10
【分析】考查的是切线的性质、直角三角形性质取GF的中点M，半圆圆心为O，连接MP，,利用勾股定理及两点之间线段最短进行转化,．
【解答】解：取GF的中点M，半圆圆心为O，连接MP，则根据题意，可得PF2+PG2=2PM2+2GM2=2PM2+8，当O、P、M三点共线时，PM的值最小，此时PM=3-2=1，∴PF2+PG2=2×12+8=10.
故答案：D．
5．（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A． B C． D．
【分析】考查直线与圆的位置关系；一次函数图象与系数的关系；
【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB=OC=2．即b=2；同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2．则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是．
故答案：D．
6．（2018重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )
A．4 B． C．3 D．2.5
【分析】作OH⊥PC于点H．利用切线性质导角易证△POH∽△PBC即可
【解答】解：作OH⊥PC于点H．易证△POH∽△PBC，∴，∴，∴PA＝4．
故答案：A
7．(2018·鄂州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP与AB交于点D，连接BC，下列结论：
①∠APB＝2∠BAC ②OP∥BC ③若tanC＝3，则OP＝5BC ④AC2＝4OD?OP
其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】连接OB，由切线长定理得AP＝BP，易证OP是AB的垂直平分线，导角得∠APB＝2∠BAC，故①正确；由AC是直径，导角∠ADO＝∠ABC＝90°则OP∥BC，故②正确；
由∠APO＝∠BAC，∠PAO＝∠ABC，得△OPA∽△CAB，再由tanC＝3，设BC＝a，则AC＝3a，AC＝a，可求得OP＝5a，即OP＝5BC，故③正确；易证△AOD∽△POA，得OA2＝OD?OP，由AC＝2OA，得AC2＝4OD?OP，故④正确．
【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，∴OP是AB的垂直平分线，∴∠APO＋∠PAB＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠APB＝2∠APO．∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°，∴∠APB＝2∠BAC，故①正确；
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ADO＝∠ABC＝90°，∴OP∥BC，故②正确；
∵∠APO＝∠BAC，∠PAO＝∠ABC，∴△OPA∽△CAB，∴＝．∵tanC＝3，设BC＝a，则AC＝3a，AC＝a，∴＝，∴OP＝5a，即OP＝5BC，故③正确；
∵∠OAP＝∠ODA，∠AOP＝∠AOD，∴△AOD∽△POA，∴＝，∴OA2＝OD?OP，∴AC＝2OA，∴AC2＝4OD?OP，故④正确．
综上所述，故选D．
故答案：D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·宁波，17，4分）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
【分析】考查圆与圆的位置关系；分两种情况，（1）与CD相切，（2）与AD相切,再利用切线性质及勾股定理列方程即可
【解答】解：由题意知，BM=4，分两种情况，（1）与CD相切时，设PM=PC=x，由勾股定理得，x2=42＋(8－x)2,解得x=5,所以BP=3；（2）与AD相切时，PM=8，由勾股定理得，BP2=82－42，即BP=。
故答案：3或．
9．（2017?衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y＝x＋3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝x＋3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小∵A的坐标为（－1，0），设直线与x轴，y轴分别交于B，C，∴B（0，3），C（4，0），∴OB＝3，AC＝5，∴BC＝，∴AC＝BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△OBC，∴AP＝OB＝3，∴．
故答案：
10．2018·玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm．
【分析】连接OC，交AB于点D，设⊙O的半径为r,利用切线性质及垂径定理,用勾股定理转化为方程求解．
【解答】解：如图，⊙O的切点为C，AB＝16－4＝12．连接OC，交AB于点D，设⊙O的半径为r，∴OC⊥AB，BD＝AB＝6，OD＝r－2，∴，解得r＝10．
故答案：10
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
【分析】（1）由直径所对的圆周角为90°得：∠ACB＝90°，由轴对称性质得：∠ADB＝∠ACB＝90°，即可证得点D在⊙O上；（2）由轴对称性质得：∠DAB＝∠CAB，将AB2＝AC·AE可转化为，综合两个条件可得△ABC∽△AEB，再由相似的性质得∠ABE＝∠ACB＝90°，即证得BE为⊙O的切线；（3）设EF＝x，通过观察、分析发现△EBF∽△BAF，由相似的性质可得BF＝2x，在Rt△BDF中，由勾股定理建立方程解之．
【解答】解：（1）∵点C在以线段AB为直径的⊙O上，∴∠ACB＝90°，∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴点D在⊙O上．
（2）由轴对称性质得：∠DAB＝∠CAB，又∵AB2＝AC·AE，∴，在△ABC和△AEB中，，∠DAB＝∠CAB，∴△ABC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACB＝90°，∴BE为⊙O的切线．
（3）设EF＝x，∵BC＝2，AC＝4，∴由轴对称的性质得BD＝BC＝2，AD＝AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∵AB2＝AC·AE，∴AE＝5，DE＝AE－AD＝5－4＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
∵∠ABE＝∠ACB＝90°，∴∠FBE＋∠ABC＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠FBE＝∠CAB，又∵∠DAB＝∠CAB，∴∠FBE＝∠DAB，在△EBF和△BAF中，∠FBE＝∠DAB，∠BFE＝∠AFB，∴△EBF∽△BAF，∴，即BF＝2EF＝2x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BD2＋DF2＝EF2，即4＋（1＋x）2＝4x2
得x1＝，x2＝－（舍）：线段EF的长为．
12．（2018·烟台）如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、BC上两点，点A、C、E在⊙D上，点B、D在⊙E上，点F为上一点，连接EF并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为，请将∠CAD用含的代数式表示；
（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．
【分析】（1）连接CD、DE，用含的代数式表示∠CDB,由等边对等角，结合三角形在内角和定理可解决；
（2）先根据直线EF为⊙D的切线确定在大小，再利用（1）的结论求解．
（3）由（2）的特殊角的度数得到等腰三角形和直角三角形，利用特殊三角形的边角关系求得NE,EM和MF即可．
【解答】解：（1）连接CD、DE． ∵DE=EB，∴∠EDB=∠EBD．∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2．
同理，∠CDB=2∠CAD．∵DC=DE，∴∠DCE=∠CED =2．
∵∠DCE+∠CED+∠CDE=180°，即2∠CAD﹣α+2α+2α=180°，∴∠CAD=．
（2）当EM=MB时，∠MEB=∠MBE=α．∴∠EMD=2α．当EDM+∠EMD=90°，即3α=90°，α=30°时，直线EF为⊙D的切线．此时∠CAD==45°．
（3）在（2）的条件下，∠DCE=∠CED =2=60°，∴CE=DE．∠NCE=∠A+∠ABC=45°+30°=75°．又∠CEN=∠MEB=30°，∴∠N=75°．∴NE=CE=DE=AD=．
∵∠EDB=30°，∠DEM=90°，∴EM=DE·tan30°=1． ∴DM=2．∴MF=EF-EM=-1．∴．
13．(2018·永州)如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1） 连接AC，根据等角对等边证明∠BCD＝∠CBE．①根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余证明∠CAB＝∠BCD；②根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠BEC，从而∠BEC＝∠BCD；③根据等弧所对的圆周角相等可得∠BEC＝∠CBE，于是有∠BCD＝∠CBE，问题得到证明．（2）连接OC，交BE于点G，利用勾股定理的逆定理证明∠OCM＝90°，①在Rt△OGB中，根据cos∠OBG ＝求出BG的长，②在△OBC中，根据S△OBC＝OC·BG＝OB·CD，求得CD的长，③在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD的长，从而可得DM的长；④在Rt△CDM中，根据勾股定理求得CM的长；⑤在△OCM中，根据勾股定理的逆定理证明∠OCM＝90°，于是可得结论．
【解答】解：（1）连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＋∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠BCD，又∠CAB＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCD．∵＝，∴∠BEC＝∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE，∴CF＝BF；
（2）连接OC，交BE于点G，∵＝，∴BE⊥OC，∴∠OGB＝90°，在Rt△OGB中，cos∠OBG ＝，∴BG＝OB·cos∠OBG ＝6×＝．在△OBC中，S△OBC＝OC·BG＝OB·CD，∵OC＝OB，∴CD＝BG＝．在Rt△OCD中，OD＝＝＝，∴DM＝OM－OD＝OB＋BM－OD＝6＋4－＝，在Rt△CDM中，CM＝＝＝8．∴OC2＋CM2＝ 62＋82＝100，OM2＝(6＋4)2＝100，∴OC2＋CM2＝ OM2，∴△OCM是直角三角形，∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．
14．（2018·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB=x，AF=y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE=8，sinB=，求DG的长.
【分析】(1)连接OD，根据角平分线的定义、圆的半径相等可证的∠ODA=∠CAD，可证得∠ODC=90°；(2)连接DF，先证得∠FDC=∠DAC，再证得∠ADB=∠AFD，进而证得△ABD∽△ADF，利用相似的性质，可求得AD的长；(3)连接EF，由三角函数、圆周角定理以及平行线的性质，可求得OD，AE，AB的长，再证得△AGF∽△DGO，进而求得DG的长.
【解答】解：(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.
∴∠OAD=∠CAD.∵∠C=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°.∴∠ODA+∠ADC=90°.即OD⊥BC.∴BC是⊙O的切线.
(2)连接DF.∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD.∴∠ODF=(180°－∠DOF)=90°－∠DOF.
∴∠FDC=90°－∠ODF=∠DOF.∵∠DAF=∠DOF，∴∠FDC=∠DAF.
∴∠FDC=∠ODA.∵∠ADB=90°+∠ODA，∠AFD=∠90°+∠FDC，
∴∠ADB=∠AFD.∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF.∴.
∴AD2=AB?AF=xy.∴AD=.
(3)连接EF.再Rt△BOD中，sinB= =.设圆的半径为r，∴，解得r=5.
经检验，r=5是所列分式方程的解.∴AE=10，AB=18.∵AE是直径，∴∠AFE=90°.
∵∠C=90°，∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B.∴sin∠AEF=∠B=，∴AF=AE?sin∠AEF=10×=.∵∠ODA=∠FAD，∠OGD=∠FGA，∴△AGF∽△DGO，
∴=，∴DG=AD.∵AD===，
∴DG=×=.
．
15．（2018·苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
【分析】（1）连接AC．利用切线导角证△CDA≌△CEA(AAS)，得CD＝CE．
（2）连接BC．由△CDA≌△CEA及圆周角定理及弦切角导角∠AOC＝2∠F＝45°．得△CEO是等腰直角三角形，
【解答】解：证明：（1）连接AC．∵CD为OO的切线，∴OC⊥CD．又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°．∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO．又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO．又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°．在△CDA和△CEA中，∵∠D＝∠CEA，∠DAC＝∠EAC，AC＝AC，∴△CDA≌△CEA(AAS)，∴CD＝CE．
（2）连接BC．∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG．∴∠ECA＝∠ECG．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°．又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B．又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG．又∵∠D＝90°．∴∠DCF＋∠F＝90°．∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5．∴∠AOC＝2∠F＝45°．∴△CEO是等腰直角三角形，
16（2018·孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长.
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解（1）连，，∵，是的直径，∴，，
∴，∵，∴，∴是的切线.
（2）连，∵，∴，∵，∴，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴.∵，，∴，
∴，∴，，∴.
第七章 圆
第24讲 直线与圆的位置关系
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1点与圆的位置关系
★★★
理解点与圆的位置关系
掌握直线与圆的位置关系
灵活运用切线的性质与判定解决相关问题
点与圆的位置关系在中考中常以选填题出现，而直线与圆的位置关系，特别是圆的切线性质与判定是中考必考内容，一般以综合题出现
2.直线与圆的位置关系
★★★★★
点与圆的位置关系：设点P与圆心O的距离为d，圆的半径为R
当 时点P在⊙O内
当 时点P在⊙O上
当 时点P在⊙O外
直线与圆的位置关系：设R为⊙O的半径，d为圆心O到直线的距离
（1）当直线与⊙O相离时 （没有公共点）
（2）当直线与⊙O相切时 （有且只有一个公共点）
（3）当直线与⊙O相交时 有两个公共点）．
切线的性质与判定：
切线的定义：到圆心的距离 半径的直线是圆的切线
切线的的判定：经过 外端且垂直于这条 的直线是圆的切线；也可以由定义判定一条直线是否为圆的切线
切线的性质：圆的切线垂直于经过 的半径
弦切角：角的顶点在圆上，一边是圆的切线，另一边是圆的弦所组成的角叫 ；
弦切角等于它所夹的弧所对的 ．
切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到切点的连线段叫切线长，切线长相等
※考向一：点与圆的位置关系
典例1：（2017．枣庄） 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．＜r＜ B．＜r＜ C．＜r＜ D．＜r＜
【分析】考查点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】解：给各点标上字母，如图所示．
AB＝，AC＝AD＝，AE＝，AF＝，AG＝AM＝AN＝，
∴＜r＜时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故答案：B
※考向二：直线与圆的位置关系
典例2：（2018眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】考查直线与圆的位置关系
【解答】解：由PA是⊙O的切线，可得∠OAP＝90°，∴∠AOP＝54°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B＝27°
故答案：A，
※考向三：圆的切线判定与性质
典例3：(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.
【分析】（1）方法一：由切线的性质得到∠OAP＝90°，再通过△OAP≌△OBP得到∠OBP＝∠OAP，从而判断出PB是⊙O的切线.；方法二：由等边对等角的性质得到∠PBO与∠OAP的关系；
（2）根据切线长定理得到OP∥BC，再根据条件∠APC＝3∠BPC得到CB＝BP.
由△PBF∽△POB，判断出PF与OF的关系，再由△PFE∽△CBE将PF与OF的关系转移到PE与CE的关系.
【解答】解: （1）证明：方法一:分别连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切线.
方法二：连接OB.
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴∠OAB＝∠OBA， ∠PAB＝∠PBA.
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB是⊙O的切线.
⑵连接BC，设AB与OP交于点F，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PO垂直平分AB， PO平分∠APB .
∴OP∥BC， ∴∠OPC＝∠PCB.
∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠OPC＝∠CPB， ∴∠PCB＝∠CPB.
∴CB＝BP．
设OF＝t，则CB＝BP＝2t，
由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO.
即(2t)2＝ PF·(PF＋t).
解得PF＝.(取正值)
∵△PFE∽△CBE，
∴，
∴ ＝＝.
※考向四：圆与全等(相似)形
典例4：（2.018·上海）已知圆O的直径AB=2，弦AC与弦BD，交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．
(1)图11，如果AC=BD，求弦AC的长；
(2)如图12，如果E为BD的中点，求∠ABD的余切值
(3)联结BC、CD、DA，如果BC是圆O的内接正n边形的一边， CD是的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．
【分析】(1)连结CB．可以证明弧AD、弧DC、弧CB相等，从而得到∠ABC=60°．在△ABC中求出AC长．(2)运用中位线及全等转化求出CB长，再把直角三角形OBE中的两个直角边求出，即可∠ABD的余切值．(3) 根据“BC是圆O的内接正n边形的一边， CD是的内接正(n+4)边形的一边”求出n值，从而求出∠AOD=45°，可得各线段长，再求△ACD的面积．
【解答】解: （1）连结CB．
∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，∵OD⊥AC，∴弧AD=弧DC=弧AC，
∴弧AD=弧DC=弧CB，∴∠ABC=60°
在Rt △ABC中, ∠ABC=60°，AB=2，∴AC=
（2）∵OD⊥AC，∴∠AFO=90°，AF=FC
∵AO=OB，∴FO∥CB ，FO=CB
∵E为BD的中点，∴DE=EB
∵FO∥CB，∴△DEF≌△BEC，∴DF=CB=2FO
∴FO=，CB=
在Rt △ABC中，AB=2，CB=，∴AC=，∴EC=∴EB= ，
∵E为BD的中点，OD=OB，∴∠OEB=90°，∴EO=，∴cot∠ABD==．
（3）∵BC是圆O的内接正n边形的一边，∴∠COB=°
∵CD是的内接正(n+4)边形的一边，∴∠COD=°
∵弧AD=弧DC，∴∠AOD=°
∵∠COB+∠COD+∠AOD=180°，∴++=180，解得n=4
∴∠AOD=∠COD=°=45°
∵OD=OA=OC=1，∴AC=，OF=，DF=1-，
∴S△ACD=×AC×DF=－．
※考向五：圆与函数
典例5：（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，得A（a，0），B（3，0）；
（2）根据∠AOD＝∠PBC＝90°，所以分△AOD∽△BPC和△AOD∽△CPB两种情况讨论即可；
（3）根据∠BOD＝90°得B、O、D三点共圆，其圆心M为BD中点，若C也在圆上，则MC＝MB，即MC2＝MB2，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵，（0∴A（a，0），B（3，0）；D（0，3a）
（2）∵A（a，0），B（3，0），∴对称轴为，C（，），∴PB＝，PC＝，
①当△AOD∽△BPC时，则，即，解得a＝±3（舍）
②当△AOD∽△CPB时，则，即，解得a1＝3（舍），；
∴
（3）能，如图，连接BD，取中点M；
∵∠BOD＝90°，∴B、O、D三点共圆，且圆心M（，），
若C也在圆上，则MC＝MB，即，整理得：，即（）（）＝0，解得，（舍），（舍），（舍），
∴当时，D、O、C、B四点共圆．
★易错点：不会利用切线判定与性质作适当辅助线解决问题
题1：（2017?宿迁）如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
【分析】（1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可,（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°，∴∠ABP+∠OBC=90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC=90°，∴∠OCB+∠CPO=90°，∵∠APB=∠CPO∴∠APB=∠ABP，∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H．在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，∴OA=，∵AP=AB=3，∴PO=2．在Rt△POC中，PC=，∵?PC?OH=?OC?OP，∴OH=，∴CH=，∵OH⊥BC，∴CH=BH，∴BC=2CH=，∴PB=BC﹣PC=﹣=．
错因透视：利用直线与圆的有关性质与判定解答相关问题时，要注意如遇弦作半径、切点半径要相连等常用的辅助线，构图转化，否则不易找到思路．
第七章 圆
第24讲 直线与圆的位置关系
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1点与圆的位置关系
★★★
理解点与圆的位置关系
掌握直线与圆的位置关系
灵活运用切线的性质与判定解决相关问题
点与圆的位置关系在中考中常以选填题出现，而直线与圆的位置关系，特别是圆的切线性质与判定是中考必考内容，一般以综合题出现
2.直线与圆的位置关系
★★★★★
点与圆的位置关系：设点P与圆心O的距离为d，圆的半径为R
当d当d=R时点P在⊙O上
当d>R时点P在⊙O外
直线与圆的位置关系：设R为⊙O的半径，d为圆心O到直线的距离
（1）当直线与⊙O相离时d>R（没有公共点）
（2）当直线与⊙O相切时d=R（有且只有一个公共点）
（3）当直线与⊙O相交时d切线的性质与判定：
切线的定义：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
切线的的判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；也可以由定义判定一条直线是否为圆的切线
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
弦切角：角的顶点在圆上，一边是圆的切线，另一边是圆的弦所组成的角叫弦切角；
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到切点的连线段叫切线长，切线长相等
※考向一：点与圆的位置关系
典例1：（2017．枣庄） 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．＜r＜ B．＜r＜ C．＜r＜ D．＜r＜
【分析】考查点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】解：给各点标上字母，如图所示．
AB＝，AC＝AD＝，AE＝，AF＝，AG＝AM＝AN＝，
∴＜r＜时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故答案：B
※考向二：直线与圆的位置关系
典例2：（2018眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】考查直线与圆的位置关系
【解答】解：由PA是⊙O的切线，可得∠OAP＝90°，∴∠AOP＝54°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B＝27°
故答案：A，
※考向三：圆的切线判定与性质
典例3：(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.
【分析】（1）方法一：由切线的性质得到∠OAP＝90°，再通过△OAP≌△OBP得到∠OBP＝∠OAP，从而判断出PB是⊙O的切线.；方法二：由等边对等角的性质得到∠PBO与∠OAP的关系；
（2）根据切线长定理得到OP∥BC，再根据条件∠APC＝3∠BPC得到CB＝BP.
由△PBF∽△POB，判断出PF与OF的关系，再由△PFE∽△CBE将PF与OF的关系转移到PE与CE的关系.
【解答】解: （1）证明：方法一:分别连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切线.
方法二：连接OB.
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴∠OAB＝∠OBA， ∠PAB＝∠PBA.
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB是⊙O的切线.
⑵连接BC，设AB与OP交于点F，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PO垂直平分AB， PO平分∠APB .
∴OP∥BC， ∴∠OPC＝∠PCB.
∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠OPC＝∠CPB， ∴∠PCB＝∠CPB.
∴CB＝BP．
设OF＝t，则CB＝BP＝2t，
由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO.
即(2t)2＝ PF·(PF＋t).
解得PF＝.(取正值)
∵△PFE∽△CBE，
∴，
∴ ＝＝.
※考向四：圆与全等(相似)形
典例4：（2.018·上海）已知圆O的直径AB=2，弦AC与弦BD，交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．
(1)图11，如果AC=BD，求弦AC的长；
(2)如图12，如果E为BD的中点，求∠ABD的余切值
(3)联结BC、CD、DA，如果BC是圆O的内接正n边形的一边， CD是的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．
【分析】(1)连结CB．可以证明弧AD、弧DC、弧CB相等，从而得到∠ABC=60°．在△ABC中求出AC长．(2)运用中位线及全等转化求出CB长，再把直角三角形OBE中的两个直角边求出，即可∠ABD的余切值．(3) 根据“BC是圆O的内接正n边形的一边， CD是的内接正(n+4)边形的一边”求出n值，从而求出∠AOD=45°，可得各线段长，再求△ACD的面积．
【解答】解: （1）连结CB．
∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，∵OD⊥AC，∴弧AD=弧DC=弧AC，
∴弧AD=弧DC=弧CB，∴∠ABC=60°
在Rt △ABC中, ∠ABC=60°，AB=2，∴AC=
（2）∵OD⊥AC，∴∠AFO=90°，AF=FC
∵AO=OB，∴FO∥CB ，FO=CB
∵E为BD的中点，∴DE=EB
∵FO∥CB，∴△DEF≌△BEC，∴DF=CB=2FO
∴FO=，CB=
在Rt △ABC中，AB=2，CB=，∴AC=，∴EC=∴EB= ，
∵E为BD的中点，OD=OB，∴∠OEB=90°，∴EO=，∴cot∠ABD==．
（3）∵BC是圆O的内接正n边形的一边，∴∠COB=°
∵CD是的内接正(n+4)边形的一边，∴∠COD=°
∵弧AD=弧DC，∴∠AOD=°
∵∠COB+∠COD+∠AOD=180°，∴++=180，解得n=4
∴∠AOD=∠COD=°=45°
∵OD=OA=OC=1，∴AC=，OF=，DF=1-，
∴S△ACD=×AC×DF=－．
※考向五：圆与函数
典例5：（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，得A（a，0），B（3，0）；
（2）根据∠AOD＝∠PBC＝90°，所以分△AOD∽△BPC和△AOD∽△CPB两种情况讨论即可；
（3）根据∠BOD＝90°得B、O、D三点共圆，其圆心M为BD中点，若C也在圆上，则MC＝MB，即MC2＝MB2，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵，（0∴A（a，0），B（3，0）；D（0，3a）
（2）∵A（a，0），B（3，0），∴对称轴为，C（，），∴PB＝，PC＝，
①当△AOD∽△BPC时，则，即，解得a＝±3（舍）
②当△AOD∽△CPB时，则，即，解得a1＝3（舍），；
∴
（3）能，如图，连接BD，取中点M；
∵∠BOD＝90°，∴B、O、D三点共圆，且圆心M（，），
若C也在圆上，则MC＝MB，即，整理得：，即（）（）＝0，解得，（舍），（舍），（舍），
∴当时，D、O、C、B四点共圆．
★易错点：不会利用切线判定与性质作适当辅助线解决问题
题1：（2017?宿迁）如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
【分析】（1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可,（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°，∴∠ABP+∠OBC=90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC=90°，∴∠OCB+∠CPO=90°，∵∠APB=∠CPO∴∠APB=∠ABP，∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H．在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，∴OA=，∵AP=AB=3，∴PO=2．在Rt△POC中，PC=，∵?PC?OH=?OC?OP，∴OH=，∴CH=，∵OH⊥BC，∴CH=BH，∴BC=2CH=，∴PB=BC﹣PC=﹣=．
错因透视：利用直线与圆的有关性质与判定解答相关问题时，要注意如遇弦作半径、切点半径要相连等常用的辅助线，构图转化，否则不易找到思路．
