第七章 圆
第26讲 与圆有关的证明
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
与圆有关的证明 ★★★★★ 掌握用全等或导角转换等方法证明直线是圆的切线掌握用圆的有关性质以及三角形全等或相似推理线段之间的位置与数量关系掌握用圆的有关性质及特殊四边形相关性质进行合理推理4 掌握用圆的有关性质等几何知识并运用数学思想方解决动态及新定义问题 利用圆的有关性质及相关的几何知识，特别是切线证明及性质运用，借力于全等或相似或导角（比）对线段的数量与位置关系进行合理探求，设置动态问题或新定义等情景，解决与线段、角、几何图形面积等，着眼于方程、转化、函数、分类及数形结合等多种思想方法的考查
1 与圆有关的常用的定理：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦并且 弦所对的两条弧；推论：一条直线如果具有过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧等五个性质中任何两个，则必具有另三个性质，但要注意推论中：平分弦（弦不是 ）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等；推论：在同圆或等圆中，一组圆心角以及它们所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧四组量中，有一组相等，则其余的三组量也分别相等
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ；推论：直径所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的 ．
切线的性质与判定：到圆心的距离 半径的直线是圆的切线；经过 外端且垂直于这条 的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过 的半径
2 与圆常见的命题背景：中点、角平分线、全等与相似、旋转与平移、特殊四边形等素材组合，一般涉及分类思想、方程思想、函数思想、转化及数形结合、运动变化等
3 与圆相关的常见模型：
模型1：垂径定理 模型2：弦切模型： 模型3：圆周角平分线与直径
模型4：定弦定角 模型5：定点定长 模型6：对角互补 模型7：阿氏圆
※考向一：推理线段与圆、线段与线段之间的关系
典例1：（2017·内江）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE
（1）求证：；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【分析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB＝∠COB＝∠PBN，根据等角对等边可得：PB＝PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠ABC，∵EC＝AE，∴∠A＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴；
（2）PB＝PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∴∠PBN＋∠OBN＝90°，∵∠OBN＋∠COB＝90°，∴∠PBN＝∠COB，∵∠PEB＝∠A＋∠ACE＝2∠A，∠COB＝2∠A，∴∠PEB＝∠COB，∴∠PEB＝∠PBN，∴PB＝PE；
（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON＝OC＝OB，Rt△OBN中，∠OBN＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A＝∠COB＝30°，∴∠PEB＝2∠A＝60°，
∠ABP＝90°﹣30°＝60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN＝，∴AB＝2BN＝4，设AE＝x，则CE＝x，EN＝2﹣x，Rt△CNE中，，x＝，∴BE＝PB＝，Rt△OPB中，OP＝，∴PQ＝．则线段PQ的最小值是．
※考向二：与等腰三角形融合推理存在性问题
典例2：（2012·启东模拟）如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，点O为BC边上的一个动点，连接OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连接MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．
【分析】以动态几何为背景考查圆与三角形、四边形等图形的性质；（1）过点A作AE⊥BC在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=解直角三角形得出BE，再求出AD,在⊙O中，过点O作OH⊥AB，构造垂径定得，再解直角三角形即可；（2）不存在BP=MN的情况．假设BP=MN成立， 因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，∵CD⊥BC，由三角形相似或锐角三角函数导比，转化为方程，求出BP，与点P应在边AB上不符，∴不存在BP=MN的情况．（3）要分⊙O与⊙C相外切及内切，两种情况讨论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6，∴AD=EC=BC-BE=3，当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，∵∴BH=∴BP=
（2）不存在BP=MN的情况．假设BP=MN成立， 因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO,设BO=x，则PO=x，OC=6-x，由，得BH=，∴BP=2BH=∴BQ=BP×cosB=，PQ=∴OQ=∵△PQO∽△DCO∴，即得当时，BP，与点P应在边AB上不符，∴不存在BP=MN的情况．
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤．
∵cosB=，∴BN=，∴CN=，此时：⊙O与⊙C相内切，0＜CN≤．
※考向三：与特殊四边形或相似形融合推断线段的比值
典例3：（2017·巴中）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AF=12，BE=6，求的值．
【分析】考查相似三角形的判定与性质；矩形的性质；切线的判定与性质．（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明△ADF∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵AF⊥FG∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴，又∵AF=12，EF=6，∴．
典例4：（2017·娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：．
【分析】考查相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系．（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；
【解答】解：（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，
∴BD=BC sin36°=10 sin36°≈5.9．
（2）连接OD．∵AE=EC，OB=OC，∴OE∥AB，∵CD⊥AB，∴OE⊥CD，∵OD=OC∴∠DOE=∠COE，在△EOD和△EOC中，，∴△EOD≌△EOC，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC=2CE，∴，∴．
考向四：与几何变换融合进行推断
典例5：（2014 荆州）如图1，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识．（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．（3）当0≤x≤2时，如图1，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图4，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=．再由即可求出x，从而求出S．
【解答】解：（1）证明：连接OH，如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON=．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．
∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA=．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．
（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．如图2所示，点G落到AD上．∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED=．
∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
（3）①如图1，在Rt△EGF中，tan∠FEG=．∴FG=x．∴S=GE FG=x x=．
②如图3，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．
∵tan∠SRG=，∴SG=（x﹣2）．
∴S△SGR=SG RG= （x﹣2） （3x﹣6）=
∵S△GEF=，∴S=S△GEF﹣S△SGR=﹣＝．
综上所述：当0≤x≤2时，S=；当2＜x≤3时，S=．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图4所示．∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S==×=．∴FG与⊙O相切时，S的值为．
典例6：(2017·上海一模）如图，已知圆O的半径长为1,AB,AC是圆O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA,OC
(1)求证：△OAD～△ABD
(2)当△OCD是直角三角形时，求B,C两点的距离
（3）记△AOB,△AOD,△COD面积分别为,如果是和的比例中项，求OD长
【分析】本题中的第3小题，将三角形中的面积相关（等高）的常见结论、黄金三角形（有关性质与结论）、与比例相关知识完美地融合在一起，在圆的背景下，图形不但简洁美观，而且隐藏动感（动态）之美、计算之美，同时又可以无限扩展，可以将更多的圆的相关知识融入其中
【解答】解：（1）解法1：简解：结合子母相似，利用AB=AC导角可得∠OAD=∠ABD；
解法2：简解：延长AO作直径，利用弧相等导角得∠BAO=∠OAD=∠ABO
(2)∵BD所在直线过圆心O,所以∠ACB<90°,而∠OCD<∠ACB<90°
（或者:由OA=OC,∠OCD=∠OAC,由三角形内角和定理知，∠OCD+∠OAC<180°,
即2∠OCD<180°,所以∠OCD不可能为直角）
∴若△COD是直角三角形时，分∠CDO=90°和∠COD=90°两种情况：
当∠CDO=90°时，由垂径定理得AB=CB，∴AB=CB，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=
当∠COD=90°时，可得△BOC是等腰直角三角形，∴BC=
综上所述，当△OCD是直角三角形时有BC=或
（3）作OF⊥AB，OE⊥AC由题意得 ，∴，而AB=AC，∴OE=OF,即三个三角形的高OE、OF均相等，∴ ，∴
∴D为线段AC的黄金分割点，∴，即 ，
∴ ，∵△AOB,△AOD的高相同，∴，∴OD=
★易错点一：数形结合意识不足
题1：如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N
求证：△ODM∽△MCN；
设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？
【分析】综合利用圆的有关性质和相关几何知识导比转化为方程或函数，利用方程思想和函数思想求解
【解答】解：（1）证明：∵MN为切线，∴OM⊥MN，∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，∴Rt△DOM∽Rt△CMN；
（2）设OA=y，Rt△ODM中，，即，解得；
（3）由（1）知△DOM∽△CMN，∴，
故，故p为定值16。
错因透视：缺少数形意识，导致不能转化而无法入手解答．
★易错点二：畏惧动态问题
题2：（2017·宜昌四月调考）已知P是⊙O的直径AB的延长线上一动点，经过P点作⊙O的切线，C是切点，以AP为斜边作直角三角形APF，使AF∥PC，直角边AF和⊙O交于另一点E，连接CB并延长交边PF于点D，连接DE
（1）判断三角形PDB的形状，并说明理由
（2）当AB:BP=2:1时，求证：ED=DB
（3）当点D在边PF上时，求AB:BP的最小值
【分析】(1)由△PDB是等腰三角形，连接OC，由平行线性质和切线性质导角得∠DBP=∠BDP，从而得出BP=PD即可；（2）连接BE由AB∶BP＝2∶1，OA=OB，推出∠BPD=60°，可得△PDB是等边三角形，进一步推出△EBD是等边三角形得证；（3）作图并推理发现，BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小. 设AB=x,BP=y，证 △AFP∽△PCO即可转化为方程求解
【解答】解：（1）△PDB是等腰三角形，连接OC，如图1:∵AF∥PC，∠F=90°，
∴∠FPC=90°， ∵CP为⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∴OC∥FP ， ∴∠OCB=∠BDP，,∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，又∠OBC=∠DBP，∴∠DBP=∠BDP，∴BP=PD∴△PDB是等腰三角形
（2）连接BE如图2：∵AB∶BP＝2∶1，OA=OB，∴OP=2OC，又∠OCP=90°，∴∠OPC=30°，∠COP=60°， ∵∠FPC=90°，∴∠BPD=60°，∵BP=PD，∴△PDB是等边三角形， ∴DB=BP，∠DBP=60°， ∵AB是直径∴∠AEB=90°，∵∠AFP=90°，∴EB∥FP，∴BPD=∠EBA=60°，∴∠EAB=30°，∠EBD=60°，在Rt△ABE中，AB=2BE，∴BE=OB 又DB=BP=OB∴EB=BD∴△EBD是等边三角形，∴ED=BD
(3) ∵BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小. 设AB=x,BP=y ∵AF∥PC∴∠FAP=∠OPC, ∵∠AFP=∠OCP, ∴△AFP∽△PCO，∴， ∴ ∴—，∴ ∴
错因透视：本题在图形运动中，很难发现BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小，；另外不善于作辅助线，或者缺少数形意识及转化意识等数学思想方法，导致不能费时而不能顺利求解．
★易错点三：畏惧新定义
题3：（2017·宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【分析】（1）根据题意得出∠B＝∠D，∠C＝∠A，代入∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°求出即可；
（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE＝∠BOE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，求出∠EFC＝180°﹣2α，∠AOC＝180°﹣2α，即可得出等答案；
（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC＋∠ACB＝120°，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，根据直角三角形的性质得出BC＝2BM＝BO＝BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴3∠B＋3∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；
（2）证明：∵在△BED和△BEO中 ∴△BED≌△BEO，∴∠BDE＝∠BOE，∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BCO＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，∴，∵DH＝BG，BG＝2HG，
∴DG＝3HG，∴，∴．
错因透视：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．读不懂半对角四边形这一新定义或发现不了图中角之间的关系，不会利用圆周角及圆心角导角沟通角之间的关系，导致不易解答而畏难
图1
图2
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第26讲《与圆有关的证明》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018凉山州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
【分析】考查同弧所对圆周角与圆心角之间的关系
【解答】解：根据半径相等，所以∠AOB=180°-50°×2=80°，圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，所以∠ACB=40°.
故答案：A
2．（2017 自贡）AB是⊙ O的直径，PA切⊙ O于点A，PO交⊙ O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】考查切线的性质、等腰三角形的性质，由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°－40°＝50°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝25°，
故答案：B．
3．（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】考查圆的切线性质及同弧所对圆周角与圆心角之间的关系
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OB⊥BM，∴∠BAO=∠ABO=∠MBA－∠OBM=140°－90°=50°，∴∠AOB=180°－50°×2=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．
答案：A
4．（2017 宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝ D．∠BCA＝∠DCA
【分析】考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【解答】解：A．∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；
C．∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D．∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故答案：B．
5．（2017 日照）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
【分析】过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵AB＝10，∴OA＝5，∴OD＝AO＝2.5，∴AD＝，∴AC＝2AD＝5，
故答案：A．
6．2018 常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52，则∠NOA的度数为（ ）
A．760 B．560 C．540 D．520
【分析】考查圆的切线性质
【解答】解：∵N为切点，∴MN⊥ON，则∠MNO=90°，已知∠MNB=52°，
∴∠BNO=38°，∵ON=OB，∴∠BNO=∠B，∴∠NOA=2∠BNO=76°，选项A正确..
故答案：A．
2．(2018·鄂州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP与AB交于点D，连接BC，下列结论：
①∠APB＝2∠BAC ②OP∥BC ③若tanC＝3，则OP＝5BC ④AC2＝4OD OP
其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】：连接OB，由PA、PB是⊙O的切线，可得OP是AB的垂直平分线，得∠APB＝2∠APO．从而可得∠APB＝2∠BAC，故①正确；
由AC是直径，可证∠ADO＝∠ABC＝90°，从而得OP∥BC，故②正确；
由∠APO＝∠BAC，∠PAO＝∠ABC易证△OPA∽△CAB，得＝．再由tanC＝3，设BC＝a，则AC＝3a，AC＝a，代入上式可得OP＝5a，即OP＝5BC，故③正确；
由∠OAP＝∠ODA，∠AOP＝∠AOD，易证△AOD∽△POA，可得OA2＝OD OP，由AC＝2OA，故AC2＝4OD OP，故④正确．
【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，∴OP是AB的垂直平分线，∴∠APO＋∠PAB＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠APB＝2∠APO．∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°，∴∠APB＝2∠BAC，故①正确；
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ADO＝∠ABC＝90°，∴OP∥BC，故②正确；
∵∠APO＝∠BAC，∠PAO＝∠ABC，∴△OPA∽△CAB，∴＝．∵tanC＝3，设BC＝a，则AC＝3a，AC＝a，∴＝，∴OP＝5a，即OP＝5BC，故③正确；
∵∠OAP＝∠ODA，∠AOP＝∠AOD，∴△AOD∽△POA，∴＝，∴OA2＝OD OP，∴AC＝2OA，∴AC2＝4OD OP，故④正确．
故答案:D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．
【分析】考查内心性质及三角形全等导角计算
【解答】解：连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；由AC=AB,∠EAC=∠EAB,AE=AE可得△AEC≌△AEB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．
故答案：135°
9．2018·连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________°．
【分析】考查圆的切线的性质
【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝22°，∴∠AOB＝180°－2×22°＝136°；又∵OC⊥OA，∴∠BOC＝136°－90°＝46°；∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴∠OCB＝90°－∠BOC＝90°－46°＝44°．
故答案：44．
10．(2018安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°．
【分析】考查切线及菱形和等边三角形的性质
【解答】解：连接OA，∵AB与⊙O相切点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴OA＝BO，∵菱形ABOC，∴AB＝BO＝AO，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BAC＝120°，∵AC与⊙O相切点E，∴OE⊥AC，∴∠DOE＝360°－90°－90°－120°＝60°．
∠A＝30°．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∴∠AOB＝60°．
故答案：60°
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·菏泽）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2＝EF·ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【分析】（1）由三角形内角和计算∠ABC与∠C的度数，故可知∠DAC与∠FBC，又由圆周角的性质，得∠FAC＝∠FBC，所以∠DAC与∠FAC之差即为∠DAF的度数；
（2）显然∠FAE＝∠DBC＝∠D，可得△DAE∽△AFE，从而有AE2＝EF·ED；
（3）连接AO、OB、OC，延长AO交BC于点P，易得△OAB≌△OAC，可知AP为等腰△ABC底边上的高，又AD∥BC，故OA⊥AD，即AD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠C＝72°．
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝72°．∵∠FAC＝∠FBC＝36°，∴∠DAF＝36°．
（2）证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC．∵∠DBC＝∠FAE，∴∠D＝∠FAE．
在△DAE和△AFE中，∴△DAE∽△AFE，∴，∴AE2＝EF·ED．
（3）证明：连接AO、OB、OC，延长AO交BC于点P．
∵∴△OAB≌△OAC (SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，∴AP⊥BC．
∵AD∥BC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．
12．(2018·常德)如图12，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD＝CF．
【分析】（1） 连接AO，并延长AO交BC于M．由AB=AC得到等弧，根据垂径定理得到AM⊥BC,又由AE∥BC证得OM⊥AE，得出结论；
（2） 先证△ADF为等边三角形，根据SAS证明△BAD≌△CAF，得出结论．
【解答】解：（1）连接AO，并延长AO交BC于M．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∴弧AB=弧AC,∴AM⊥BC．
∵AE∥BC，∴OM⊥AE，∴EA是⊙O的切线．
（2）∵△ABC为等边三角形，∴∠BDC＝∠BDA＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠ADF＝60°．∵DA＝DF，∴△ADF为等边三角形，∴∠DAF＝60°，AD＝AF，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．
13．（2017 镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即），如图2，试说明四边形DEFC是正方形．
【分析】考查正方形的判定方法、圆的定义、圆周角定理和切线的判定方法、利用相似比表示线段之间的关系、黄金分割的定义及作线段的垂直平分线．
（1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆；
（2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；
（3）先证明△CDB∽△CBA得到CB2=CD CA，再根据黄金分割的定义得到AD2=CD AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形．
【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；
（2）BD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，
∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；
（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD CA，
∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2=CD AC，∵AD=CB，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四边形CDEF为矩形，∴四边形DEFC是正方形．
14． (2018·永州)如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1） 连接AC，根据等角对等边证明∠BCD＝∠CBE．①根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余证明∠CAB＝∠BCD；②根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠BEC，从而∠BEC＝∠BCD；③根据等弧所对的圆周角相等可得∠BEC＝∠CBE，于是有∠BCD＝∠CBE，问题得到证明．（2）连接OC，交BE于点G，利用勾股定理的逆定理证明∠OCM＝90°，①在Rt△OGB中，根据cos∠OBG ＝求出BG的长，②在△OBC中，根据S△OBC＝OC·BG＝OB·CD，求得CD的长，③在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD的长，从而可得DM的长；④在Rt△CDM中，根据勾股定理求得CM的长；⑤在△OCM中，根据勾股定理的逆定理证明∠OCM＝90°，于是可得结论．
【解答】解：（1）连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＋∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠BCD，又∠CAB＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCD．∵＝，∴∠BEC＝∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE，∴CF＝BF；
（2）连接OC，交BE于点G，∵＝，∴BE⊥OC，∴∠OGB＝90°，在Rt△OGB中，cos∠OBG ＝，∴BG＝OB·cos∠OBG ＝6×＝．在△OBC中，S△OBC＝OC·BG＝OB·CD，∵OC＝OB，∴CD＝BG＝．在Rt△OCD中，OD＝＝＝，∴DM＝OM－OD＝OB＋BM－OD＝6＋4－＝，在Rt△CDM中，CM＝＝＝8．∴OC2＋CM2＝ 62＋82＝100，OM2＝(6＋4)2＝100，∴OC2＋CM2＝ OM2，∴△OCM是直角三角形，∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．
15（2017·云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA，由平行线的性质得到∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到，由三角函数的定义即可得到结论；
（3）连接BC，根据勾股定理得到BC＝，当M与A重合时，得到d＋f＝12，当M与B重合时，得到d＋f＝9，于是得到结论．
【答案】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AC∥OP，∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠OBP＝90°，在△POC与△POB中，∴△COP≌△BOP，∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴PC是⊙O的切线；
（2）过O作OD⊥AC于D，∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CD＝AC，∵∠DCO＝∠COP，∴△ODC∽△PCO，∴，∴，∵OP＝AC，∴AC＝OP，∴CD＝OP，∴OP OP＝∴，∴sin∠CPO＝；
（3）勾股定理求出BC=12,由,
，当M位于B时，CM有最大值12，此时d＋f有最小值9;
当CM⊥AB时，CM有最小值，此时d＋f有最大值15，9≤d＋f≤12
16．（2018·哈尔滨）已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上，连接BE、DE，点F在弧AD上，连接BF、DF、BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
(1)如图1，求证:∠CBE＝∠DHG;
(2)如图2，在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合)，连接BN交DE于点L，过
点H作HK//BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP＝HF时，求证:BE＝HK;
(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF＝2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
【分析】（1）问利用同弧和等弧所对圆周角等与三角形外角性质易证的结论．
（2）过H作HM⊥KD，易证得HM＝BP，加上直角条件，可导出第三个全等条件，得到△BEP≌△HKM，所以BE＝HK．
（3）连接BD后根据条件3HF＝2DF可得到tan∠ABH＝tan∠ADE＝＝，过点H作HS⊥BD后再设边计算就能求出tan∠BDE＝tan∠DBF＝＝，在ER上截取ET＝DK，连接BT易证得△BET≌△HKD，这时BP·ERHM·DK＝BP(ER－DK)＝BP(ER－ET)＝，易求得BP＝1，PR＝5，BR＝＝＝
【解答】解：（1）证明:∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠ABC＝90°∵∠F＝∠A＝90°∴∠F＝∠ABC
∵DA平分∠EDF∴∠ADE＝∠ADF∵∠ABE＝∠ADE∴∠ABE＝∠ADF
又∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE，∠DHG＝∠F＋∠ADF∴∠CBE＝∠DHG
（2）证明:过H作HM⊥KD垂足为点M∵∠F＝90°∴HF⊥FD又∵DA平分∠EDF∴HM＝FH
∵FH＝BP∴HM＝BP∵KH∥BN∴∠DKH＝∠DLN∵∠ELP＝∠DLN∴∠DKH＝∠ELP
∵∠BED＝∠A＝90°∴∠BEP＋∠LEP＝90°∵EP⊥BN∴∠BPE＝∠EPL＝90°
∴∠LEP＋∠ELP＝90°∴∠BEP＝∠ELP＝∠DKH∵HM⊥KD∴∠KMH＝∠BPE＝90°
∴△BEP≌△HKM∴BE＝HK
(3)解:连接BD∵3HF＝2DF，BP＝FH∴设HF＝2a，DF＝3a∴BP＝FH＝2a
由(2)得HM＝BP，∠HMD＝90°∵∠F＝∠A＝90°
∴tan∠HDM＝tan∠FDH∴＝＝ ∴DM＝3a
∴四边形ABCD是正方形∴AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB＝45°
∵∠ABF＝∠ADF＝∠ADE，∠DBF＝45°－∠ABF，∠BDE＝45°－∠ADE
∴∠DBF＝∠BDE∵∠BED＝∠F，BD＝BD∴△BED≌△DFB∴BE＝FD＝3a
过点H作HS⊥BD垂足为点S∵tan∠ABH＝tan∠ADE＝＝
∴设AB＝3m，AH＝2m∴BD＝AB＝6m DH＝AD－AH＝m
sin∠ADB＝＝ ∴HS＝m∴ DS＝＝m
∴BS＝BD－DS＝5m∴tan∠BDE＝tan∠DBF＝＝
∵∠BDE＝∠BRE∵tan∠BRE＝＝∵BP＝FH＝2a ∴RP＝10a
在ER上截取ET＝DK，连接BT由(2)得∠BEP＝∠HKD∴△BET≌△HKD
∴∠BTE＝∠KDH∴tan∠BTE＝tan∠KDH∴＝ ∴PT＝3a∴TR＝RP－PT＝7a
∵S△BER－S△KDH＝∴BP·ERHM·DK＝
∴BP(ER－DK)＝BP(ER－ET)＝∴×2a×7a＝
∴a2＝，a1＝，a2＝(舍去)∴BP＝1，PR＝5
∴BR＝＝＝
A
B
C
O
C
A
B
M
O
C
A
B
M
O
A
D
O
B
C
E
F
P
A
D
B
C
E
F
O
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HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)第七章 圆
第26讲 与圆有关的证明
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
与圆有关的证明 ★★★★★ 掌握用全等或导角转换等方法证明直线是圆的切线掌握用圆的有关性质以及三角形全等或相似推理线段之间的位置与数量关系掌握用圆的有关性质及特殊四边形相关性质进行合理推理4 掌握用圆的有关性质等几何知识并运用数学思想方解决动态及新定义问题 利用圆的有关性质及相关的几何知识，特别是切线证明及性质运用，借力于全等或相似或导角（比）对线段的数量与位置关系进行合理探求，设置动态问题或新定义等情景，解决与线段、角、几何图形面积等，着眼于方程、转化、函数、分类及数形结合等多种思想方法的考查
1 与圆有关的常用的定理：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；推论：一条直线如果具有过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧等五个性质中任何两个，则必具有另三个性质，但要注意推论中：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；推论：在同圆或等圆中，一组圆心角以及它们所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧四组量中，有一组相等，则其余的三组量也分别相等
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
切线的性质与判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径
2 与圆常见的命题背景：中点、角平分线、全等与相似、旋转与平移、特殊四边形等素材组合，一般涉及分类思想、方程思想、函数思想、转化及数形结合、运动变化等
3 与圆相关的常见模型：
模型1：垂径定理 模型2：弦切模型： 模型3：圆周角平分线与直径
模型4：定弦定角 模型5：定点定长 模型6：对角互补 模型7：阿氏圆
※考向一：推理线段与圆、线段与线段之间的关系
典例1：（2017·内江）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE
（1）求证：；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【分析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB＝∠COB＝∠PBN，根据等角对等边可得：PB＝PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠ABC，∵EC＝AE，∴∠A＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴；
（2）PB＝PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∴∠PBN＋∠OBN＝90°，∵∠OBN＋∠COB＝90°，∴∠PBN＝∠COB，∵∠PEB＝∠A＋∠ACE＝2∠A，∠COB＝2∠A，∴∠PEB＝∠COB，∴∠PEB＝∠PBN，∴PB＝PE；
（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON＝OC＝OB，Rt△OBN中，∠OBN＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A＝∠COB＝30°，∴∠PEB＝2∠A＝60°，
∠ABP＝90°﹣30°＝60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN＝，∴AB＝2BN＝4，设AE＝x，则CE＝x，EN＝2﹣x，Rt△CNE中，，x＝，∴BE＝PB＝，Rt△OPB中，OP＝，∴PQ＝．则线段PQ的最小值是．
※考向二：与等腰三角形融合推理存在性问题
典例2：如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，点O为BC边上的一个动点，连接OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连接MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．
【分析】以动态几何为背景考查圆与三角形、四边形等图形的性质；（1）过点A作AE⊥BC在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=解直角三角形得出BE，再求出AD,在⊙O中，过点O作OH⊥AB，构造垂径定得，再解直角三角形即可；（2）不存在BP=MN的情况．假设BP=MN成立， 因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，∵CD⊥BC，由三角形相似或锐角三角函数导比，转化为方程，求出BP，与点P应在边AB上不符，∴不存在BP=MN的情况．（3）要分⊙O与⊙C相外切及内切，两种情况讨论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6，∴AD=EC=BC-BE=3，当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，∵∴BH=∴BP=
（2）不存在BP=MN的情况．假设BP=MN成立， 因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO,设BO=x，则PO=x，OC=6-x，由，得BH=，∴BP=2BH=∴BQ=BP×cosB=，PQ=∴OQ=∵△PQO∽△DCO∴，即得当时，BP，与点P应在边AB上不符，∴不存在BP=MN的情况．
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤．
∵cosB=，∴BN=，∴CN=，此时：⊙O与⊙C相内切，0＜CN≤．
※考向三：与特殊四边形或相似形融合推断线段的比值
典例3：（2017·巴中）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AF=12，BE=6，求的值．
【分析】考查相似三角形的判定与性质；矩形的性质；切线的判定与性质．（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明△ADF∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵AF⊥FG∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴，又∵AF=12，EF=6，∴．
典例4：（2017·娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：．
【分析】考查相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系．（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；
【解答】解：（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，
∴BD=BC sin36°=10 sin36°≈5.9．
（2）连接OD．∵AE=EC，OB=OC，∴OE∥AB，∵CD⊥AB，∴OE⊥CD，∵OD=OC∴∠DOE=∠COE，在△EOD和△EOC中，，∴△EOD≌△EOC，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC=2CE，∴，∴．
考向四：与几何变换融合进行推断
典例5：（2014 荆州）如图1，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识．（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．（3）当0≤x≤2时，如图1，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图4，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=．再由即可求出x，从而求出S．
【解答】解：（1）证明：连接OH，如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，∴sin∠HON=．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．
∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA=．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．
（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．如图2所示，点G落到AD上．∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED=．
∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
（3）①如图1，在Rt△EGF中，tan∠FEG=．∴FG=x．∴S=GE FG=x x=．
②如图3，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．
∵tan∠SRG=，∴SG=（x﹣2）．
∴S△SGR=SG RG= （x﹣2） （3x﹣6）=
∵S△GEF=，∴S=S△GEF﹣S△SGR=﹣＝．
综上所述：当0≤x≤2时，S=；当2＜x≤3时，S=．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图4所示．∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S==×=．∴FG与⊙O相切时，S的值为．
典例6：(2017·上海一模）如图，已知圆O的半径长为1,AB,AC是圆O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA,OC
(1)求证：△OAD～△ABD
(2)当△OCD是直角三角形时，求B,C两点的距离
（3）记△AOB,△AOD,△COD面积分别为,如果是和的比例中项，求OD长
【分析】本题中的第3小题，将三角形中的面积相关（等高）的常见结论、黄金三角形（有关性质与结论）、与比例相关知识完美地融合在一起，在圆的背景下，图形不但简洁美观，而且隐藏动感（动态）之美、计算之美，同时又可以无限扩展，可以将更多的圆的相关知识融入其中
【解答】解：（1）解法1：简解：结合子母相似，利用AB=AC导角可得∠OAD=∠ABD；
解法2：简解：延长AO作直径，利用弧相等导角得∠BAO=∠OAD=∠ABO
(2)∵BD所在直线过圆心O,所以∠ACB<90°,而∠OCD<∠ACB<90°
（或者:由OA=OC,∠OCD=∠OAC,由三角形内角和定理知，∠OCD+∠OAC<180°,
即2∠OCD<180°,所以∠OCD不可能为直角）
∴若△COD是直角三角形时，分∠CDO=90°和∠COD=90°两种情况：
当∠CDO=90°时，由垂径定理得AB=CB，∴AB=CB，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=
当∠COD=90°时，可得△BOC是等腰直角三角形，∴BC=
综上所述，当△OCD是直角三角形时有BC=或
（3）作OF⊥AB，OE⊥AC由题意得 ，∴，而AB=AC，∴OE=OF,即三个三角形的高OE、OF均相等，∴ ，∴
∴D为线段AC的黄金分割点，∴，即 ，
∴ ，∵△AOB,△AOD的高相同，∴，∴OD=
★易错点一：数形结合意识不足
题1：如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N
求证：△ODM∽△MCN；
设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？
【分析】综合利用圆的有关性质和相关几何知识导比转化为方程或函数，利用方程思想和函数思想求解
【解答】解：（1）证明：∵MN为切线，∴OM⊥MN，∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，∴Rt△DOM∽Rt△CMN；
（2）设OA=y，Rt△ODM中，，即，解得；
（3）由（1）知△DOM∽△CMN，∴，
故，故p为定值16。
错因透视：缺少数形意识，导致不能转化而无法入手解答．
★易错点二：畏惧动态问题
题2：（2017·宜昌四月调考）已知P是⊙O的直径AB的延长线上一动点，经过P点作⊙O的切线，C是切点，以AP为斜边作直角三角形APF，使AF∥PC，直角边AF和⊙O交于另一点E，连接CB并延长交边PF于点D，连接DE
（1）判断三角形PDB的形状，并说明理由
（2）当AB:BP=2:1时，求证：ED=DB
（3）当点D在边PF上时，求AB:BP的最小值
【分析】(1)由△PDB是等腰三角形，连接OC，由平行线性质和切线性质导角得∠DBP=∠BDP，从而得出BP=PD即可；（2）连接BE由AB∶BP＝2∶1，OA=OB，推出∠BPD=60°，可得△PDB是等边三角形，进一步推出△EBD是等边三角形得证；（3）作图并推理发现，BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小. 设AB=x,BP=y，证 △AFP∽△PCO即可转化为方程求解
【解答】解：（1）△PDB是等腰三角形，连接OC，如图1:∵AF∥PC，∠F=90°，
∴∠FPC=90°， ∵CP为⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∴OC∥FP ， ∴∠OCB=∠BDP，,∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，又∠OBC=∠DBP，∴∠DBP=∠BDP，∴BP=PD∴△PDB是等腰三角形
（2）连接BE如图2：∵AB∶BP＝2∶1，OA=OB，∴OP=2OC，又∠OCP=90°，∴∠OPC=30°，∠COP=60°， ∵∠FPC=90°，∴∠BPD=60°，∵BP=PD，∴△PDB是等边三角形， ∴DB=BP，∠DBP=60°， ∵AB是直径∴∠AEB=90°，∵∠AFP=90°，∴EB∥FP，∴BPD=∠EBA=60°，∴∠EAB=30°，∠EBD=60°，在Rt△ABE中，AB=2BE，∴BE=OB 又DB=BP=OB∴EB=BD∴△EBD是等边三角形，∴ED=BD
(3) ∵BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小. 设AB=x,BP=y ∵AF∥PC∴∠FAP=∠OPC, ∵∠AFP=∠OCP, ∴△AFP∽△PCO，∴， ∴ ∴—，∴ ∴
错因透视：本题在图形运动中，很难发现BP=PD随着点P沿着AB的延长线方向运动, BP（PD）逐渐增大，当D，F重合时，就是D在PF上时PD的最大值，这时AB：BP最小，；另外不善于作辅助线，或者缺少数形意识及转化意识等数学思想方法，导致不能费时而不能顺利求解．
★易错点三：畏惧新定义
题3：（2017·宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【分析】（1）根据题意得出∠B＝∠D，∠C＝∠A，代入∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°求出即可；
（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE＝∠BOE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，求出∠EFC＝180°﹣2α，∠AOC＝180°﹣2α，即可得出等答案；
（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC＋∠ACB＝120°，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，根据直角三角形的性质得出BC＝2BM＝BO＝BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴3∠B＋3∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；
（2）证明：∵在△BED和△BEO中 ∴△BED≌△BEO，∴∠BDE＝∠BOE，∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BCO＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，∴，∵DH＝BG，BG＝2HG，
∴DG＝3HG，∴，∴．
错因透视：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．读不懂半对角四边形这一新定义或发现不了图中角之间的关系，不会利用圆周角及圆心角导角沟通角之间的关系，导致不易解答而畏难
图1
图2
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第26讲《与圆有关的证明》达标检测卷
时间：90分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018凉山州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
2．（2017 自贡）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
3．（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2017 宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝ D．∠BCA＝∠DCA
5．（2017 日照）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
6．2018 常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52，则∠NOA的度数为（ ）
A．760 B．560 C．540 D．520
2．(2018·鄂州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP与AB交于点D，连接BC，下列结论：
①∠APB＝2∠BAC ②OP∥BC ③若tanC＝3，则OP＝5BC ④AC2＝4OD OP
其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．
9．2018·连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________°．
10．(2018安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·菏泽）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2＝EF·ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
12．(2018·常德)如图12，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD＝CF．
13．（2017 镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即），如图2，试说明四边形DEFC是正方形．
14． (2018·永州)如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
15（2017·云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．
16．（2018·哈尔滨）已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在弧AB上，连接BE、DE，点F在弧AD上，连接BF、DF、BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．
(1)如图1，求证:∠CBE＝∠DHG;
(2)如图2，在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合)，连接BN交DE于点L，过
点H作HK//BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP＝HF时，求证:BE＝HK;
(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF＝2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
A
B
C
O
C
A
B
M
O
A
D
O
B
C
E
F
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