第八章 统计与概率
第28讲 概率
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1事件与概率 ★★ 了解确定事件与随机事件的定义了解概率的定义掌握列举法（包括列表、画状图）计算简单事件发生的概率理解大量重复试验时，用频率估计概率掌握概率在实际生活中的应用 概率在中考中一般分值为3－8分，近几年对概率的考查，多以现实生活中的情境问题或结合统计知识考查，主要考查用树状图及列表求一些简单事件的概率及利用概率大小衡量游戏是否公平等
2.概率的应用 ★★★★★
1. 事件发生的可能性大小叫做概率
2. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件；在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件
3. 求概率常用的方法：
（1）利用定义直接求概率：随机事件A的概率P（A）=；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
（2）用树状图或列表法求概率
（3）用试验的方法估计一些随机事件发生的概率
※考向一：用频率估计随机事件的概率
典例1:（2018·北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时公交车用时的频数线路 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【分析】用频率估计概率,频率估计概率时，实验的次数越多，其频率越接近于概率
【解答】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．
故答案：C
※考向二：确定事件与随机事件识别
典例2：(2017·新疆)下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】根据随机事件与必然事件的定义即可求出答案．
【解答】解：(A)购买一张彩票中奖是随机事件；
(B)根据物理学可知0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
(C)明天是晴天是随机事件；
(D)经过路口遇到红灯是随机事件；
故答案：B
典例3：（2018·泰州）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%.他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是
A.小亮明天的进球率为10% B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球 D.小亮明天肯定进球
答案：C，解析：
【分析】根据概率的含义即可求出答案．
【解答】解：“小亮进球率为10%”的含义是，在大数次实验情况下，小亮每射球100次，平均进球10次，因此A、B选项都错了；小亮明天进球这一事件为随机事件，故D选项错误；只有C选项说法正确.
故答案：C
※考向三：常见的简单事件的概率的计算
典例4：（2018·张家界） 在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为,则袋子内共有乒乓球的个数为 .
【分析】根据一步随机事件概率计算方法即可求出
【解答】解：设袋子内共有乒乓球x个，由黄球的概率为,得，解得x=10.
.典例5：（2018·咸宁）—个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，它们的标号分別为1，2，3.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号相同的概率是________．
【分析】用列表或画树状图分析,求二步随机事件概率,注意每种情形的等可能性
【解答】解：：列表或画树状图：
第二次第一次 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
∵ 总共有9种结果，两次摸出的小球标号相同的结果有3种
∴ 两次摸出的小球标号相同的概率P＝＝.
答案：，
※考向四：与简单几何图形有关的概率计算
典例6：（2018·通辽）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图” ．已知AE＝3，BE＝2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为 ．
【分析】考查几何图形概率求法，与几何图形概率常用面积比计算概率，而本题却以“赵爽弦图”这一数学文化为背景另出新意，回到概率公式求概率
【解答】解：∵AE＝3，BE＝2，∴AB＝＝，BE＝3－2＝1,∴正方形ABCD的面积为13，正方形EFGH的面积为1，∴飞镖恰好落在正方形EFGH内的概率为：．故应填：．
故答案：
※考向五：概率与统计综合
典例7：（2018·黔东南、黔南、黔西南市，23，14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人(每名学生必须选一种且只能从这四种中选择一种)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出m= _______，n= _________；
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全；
(3)根据抽样调查的结果，请估算出全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
(4)已知A、B两位同学同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”.从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.
【分析】(1)从条形统计图中知，选择“共享单车”的有10人，从扇形统计图中知“共享单车”占总体的10%，所以m=10÷10%=100(人)；从条形统计图中知，选择“支付宝”的有35人，所以选择“支付宝”的人所占的百分比为35÷100=35%，所以n=35.(2) 条形统计图中，“网购”的人数为100×15%=15人；扇形统计图中， “微信”所占的百分比为40÷100=40%.(3)用总人数2000去乘以“微信”所占的百分比40%既可；(4)根据题意，列出表格或者画出树状图，得到所有可能的结果和“两位同学最认可的新生事物不一样”的结果个数，根据概率的定义求之即可.
【解答】解：(1)100,35；
(2) 图略(网购15人，微信占40%)；
(3)2000×40%=800(人). 答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物.
(4)画出树状图如下：
由上图知，共有12个等可能的结果，其中最认可点的新生事物不一样的结果有10个，所以两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P=
※考向六：概率与实数、方程、不等式及函数等知识的综合
典例8：（2018·黄冈）在－4、－2、1、2四个数中，随机取两个数分别作为函数y＝ax2＋bx＋1中a、b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．
答案：，解析：
【分析】由函数y＝ax2＋bx＋1的图像一定经过y轴上的点（0,1），又知其图像经过第一、二、四象限，可得a＞0，b＜0，b2－4ac＞0；再列出从－4，－2,1,2四个数中随机取两个数的总共12种情形，其中a＝1，b＝－4，和a＝2，b＝－4共有2中情形，则图像恰好经过第一、二、四象限的概率．
【解答】解：∵函数y＝ax2＋bx＋1的图像一定经过y轴上的点（0,1），又知其图像经过第一、二、四象限，∴图像的开口向上，对称轴在y轴的右侧，且与x轴正半轴有两个交点∴a＞0，b＜0，b2－4ac＞0；从－4，－2,1,2四个数中随机取两个数一共有12种情形，其中a＝1，b＝－4，和a＝2，b＝－4共有2中情形，∴图像恰好经过第一、二、四象限的概率．
故答案：
★易错点一：基础不实综合运用能力不强而出错
题1：（2015 成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【分析】考查概率公式；解一元一次不等式组；关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：，得，∵关于x的不等式组有解，
∴，解得：a＞5，洗匀后从写有1～9这九个数字的卡片中抽取一张共有9种等可能情形，而抽得大于5的数字a可能为6、7、8、9四种情形，∴使关于x的不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
错因透视：考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由于对字母系数的一元一次不等式组是否有解及解不等式等基础不实，会出错
★易错点二：判断游戏是否公平的综合运用不强
题2：（2017·株洲）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．
【分析】本题以游戏为背景，考查的是条形统计图的综合运用．通常解决游戏是否公平，就是看胜负的概率是否相等
读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数．概率=所求情况数与总情况数之比．①由图知1人6秒，3人7秒，小于8秒的爱好者共有4人，进入下一轮角逐的人数比例为4：30；
②因为其他赛区情况大致一致，所以进入下一轮的人数为：600×A区进入下一轮角逐的人数比例；
③由完成时间的平均值和A区30人，得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，得到完成时间8秒的爱好者的概率．
【解答】解：①A区小于8秒的共有3+1=4（人）所以A区进入下一轮角逐的人数比例为：；
②估计进入下一轮角逐的人数为600×=80（人）；
③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，
所以（1×6+3×7+a×8+b×9+10×10）÷30=8.8，化简，得8a+9b=137
又∵1+3+a+b+10=30，即a+b=16，所以，解得a=7，b=9
所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为．
错因透视：确定游戏是否公平，就是比较概率，如果随机事件概率大小相同，则游戏公平，否则不公平．
★易错点三：概率与统计综合运用能力欠缺
题3：（2017·内江）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；
（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%＝50（人）；
（2）A组所占圆心角的度数是：360°×＝108°；
C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4＝12（人），
补全条形图如图所示：
（3）画树状图，共有12个可能的结果，
恰好选中甲的结果有6个，
∴P（恰好选中甲）＝．
错因透视：考查列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，明白条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
1第八章 统计与概率
第28讲 概率
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
1事件与概率 ★★ 了解确定事件与随机事件的定义了解概率的定义掌握列举法（包括列表、画状图）计算简单事件发生的概率理解大量重复试验时，用频率估计概率掌握概率在实际生活中的应用 概率在中考中一般分值为3－8分，近几年对概率的考查，多以现实生活中的情境问题或结合统计知识考查，主要考查用树状图及列表求一些简单事件的概率及利用概率大小衡量游戏是否公平等
2.概率的应用 ★★★★★
1. 事件发生的 叫做概率
2. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为 事件；在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件；在一定条件下， 的事件叫做不可能事件
3. 求概率常用的方法：
（1）利用定义直接求概率：随机事件A的概率P（A）= ；P（必然事件）= ；P（不可能事件）= ．
（2）用树状图或列表法求概率
（3）用试验的方法估计一些随机事件发生的
※考向一：用频率估计随机事件的概率
典例1:（2018·北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时公交车用时的频数线路 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【分析】用频率估计概率,频率估计概率时，实验的次数越多，其频率越接近于概率
【解答】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．
故答案：C
※考向二：确定事件与随机事件识别
典例2：(2017·新疆)下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】根据随机事件与必然事件的定义即可求出答案．
【解答】解：(A)购买一张彩票中奖是随机事件；
(B)根据物理学可知0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
(C)明天是晴天是随机事件；
(D)经过路口遇到红灯是随机事件；
故答案：B
典例3：（2018·泰州）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%.他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是
A.小亮明天的进球率为10% B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球 D.小亮明天肯定进球
答案：C，解析：
【分析】根据概率的含义即可求出答案．
【解答】解：“小亮进球率为10%”的含义是，在大数次实验情况下，小亮每射球100次，平均进球10次，因此A、B选项都错了；小亮明天进球这一事件为随机事件，故D选项错误；只有C选项说法正确.
故答案：C
※考向三：常见的简单事件的概率的计算
典例4：（2018·张家界） 在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为,则袋子内共有乒乓球的个数为 .
【分析】根据一步随机事件概率计算方法即可求出
【解答】解：设袋子内共有乒乓球x个，由黄球的概率为,得，解得x=10.
.典例5：（2018·咸宁）—个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，它们的标号分別为1，2，3.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号相同的概率是________．
【分析】用列表或画树状图分析,求二步随机事件概率,注意每种情形的等可能性
【解答】解：：列表或画树状图：
第二次第一次 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
∵ 总共有9种结果，两次摸出的小球标号相同的结果有3种
∴ 两次摸出的小球标号相同的概率P＝＝.
答案：，
※考向四：与简单几何图形有关的概率计算
典例6：（2018·通辽）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图” ．已知AE＝3，BE＝2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为 ．
【分析】考查几何图形概率求法，与几何图形概率常用面积比计算概率，而本题却以“赵爽弦图”这一数学文化为背景另出新意，回到概率公式求概率
【解答】解：∵AE＝3，BE＝2，∴AB＝＝，BE＝3－2＝1,∴正方形ABCD的面积为13，正方形EFGH的面积为1，∴飞镖恰好落在正方形EFGH内的概率为：．故应填：．
故答案：
※考向五：概率与统计综合
典例7：（2018·黔东南、黔南、黔西南市，23，14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人(每名学生必须选一种且只能从这四种中选择一种)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出m= _______，n= _________；
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全；
(3)根据抽样调查的结果，请估算出全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
(4)已知A、B两位同学同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”.从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.
【分析】(1)从条形统计图中知，选择“共享单车”的有10人，从扇形统计图中知“共享单车”占总体的10%，所以m=10÷10%=100(人)；从条形统计图中知，选择“支付宝”的有35人，所以选择“支付宝”的人所占的百分比为35÷100=35%，所以n=35.(2) 条形统计图中，“网购”的人数为100×15%=15人；扇形统计图中， “微信”所占的百分比为40÷100=40%.(3)用总人数2000去乘以“微信”所占的百分比40%既可；(4)根据题意，列出表格或者画出树状图，得到所有可能的结果和“两位同学最认可的新生事物不一样”的结果个数，根据概率的定义求之即可.
【解答】解：(1)100,35；
(2) 图略(网购15人，微信占40%)；
(3)2000×40%=800(人). 答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物.
(4)画出树状图如下：
由上图知，共有12个等可能的结果，其中最认可点的新生事物不一样的结果有10个，所以两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P=
※考向六：概率与实数、方程、不等式及函数等知识的综合
典例8：（2018·黄冈）在－4、－2、1、2四个数中，随机取两个数分别作为函数y＝ax2＋bx＋1中a、b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．
答案：，解析：
【分析】由函数y＝ax2＋bx＋1的图像一定经过y轴上的点（0,1），又知其图像经过第一、二、四象限，可得a＞0，b＜0，b2－4ac＞0；再列出从－4，－2,1,2四个数中随机取两个数的总共12种情形，其中a＝1，b＝－4，和a＝2，b＝－4共有2中情形，则图像恰好经过第一、二、四象限的概率．
【解答】解：∵函数y＝ax2＋bx＋1的图像一定经过y轴上的点（0,1），又知其图像经过第一、二、四象限，∴图像的开口向上，对称轴在y轴的右侧，且与x轴正半轴有两个交点∴a＞0，b＜0，b2－4ac＞0；从－4，－2,1,2四个数中随机取两个数一共有12种情形，其中a＝1，b＝－4，和a＝2，b＝－4共有2中情形，∴图像恰好经过第一、二、四象限的概率．
故答案：
★易错点一：基础不实综合运用能力不强而出错
题1：（2015 成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【分析】考查概率公式；解一元一次不等式组；关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：，得，∵关于x的不等式组有解，
∴，解得：a＞5，洗匀后从写有1～9这九个数字的卡片中抽取一张共有9种等可能情形，而抽得大于5的数字a可能为6、7、8、9四种情形，∴使关于x的不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
错因透视：考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由于对字母系数的一元一次不等式组是否有解及解不等式等基础不实，会出错
★易错点二：判断游戏是否公平的综合运用不强
题2：（2017·株洲）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．
【分析】本题以游戏为背景，考查的是条形统计图的综合运用．通常解决游戏是否公平，就是看胜负的概率是否相等
读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数．概率=所求情况数与总情况数之比．①由图知1人6秒，3人7秒，小于8秒的爱好者共有4人，进入下一轮角逐的人数比例为4：30；
②因为其他赛区情况大致一致，所以进入下一轮的人数为：600×A区进入下一轮角逐的人数比例；
③由完成时间的平均值和A区30人，得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，得到完成时间8秒的爱好者的概率．
【解答】解：①A区小于8秒的共有3+1=4（人）所以A区进入下一轮角逐的人数比例为：；
②估计进入下一轮角逐的人数为600×=80（人）；
③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，
所以（1×6+3×7+a×8+b×9+10×10）÷30=8.8，化简，得8a+9b=137
又∵1+3+a+b+10=30，即a+b=16，所以，解得a=7，b=9
所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为．
错因透视：确定游戏是否公平，就是比较概率，如果随机事件概率大小相同，则游戏公平，否则不公平．
★易错点三：概率与统计综合运用能力欠缺
题3：（2017·内江）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；
（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%＝50（人）；
（2）A组所占圆心角的度数是：360°×＝108°；
C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4＝12（人），
补全条形图如图所示：
（3）画树状图，共有12个可能的结果，
恰好选中甲的结果有6个，
∴P（恰好选中甲）＝．
错因透视：考查列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，明白条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
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第28讲《概率》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·齐齐哈尔）下列成语中，表示不可能事件的是（ ）．
A．缘木求鱼 B．杀鸡取卵 C．探囊取物 D．日月经天，江河行地
2．（2018·柳州）现有四张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花A和方块A．将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A的概率为( )
A．1 B． C． D．
3．（2018·烟台）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
4． (2018·株洲)从-5，，，-1，0，2，这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为( )
A． B． C． D．
5．（2018·随州）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·广州）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ）．
A B C D
7．（2018·玉林）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是
A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·东营）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
9．（2018·淮安） 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000
击中靶心的频数 m 9 19 37 45 89 181 449 901
击中靶心的频率 mn 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是 ( 精确到 0.01 )
10．（2018·聊城）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启
30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他
因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 ．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018 常州) 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小，质地都相同再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1) 搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒中是A型矩形纸片的概率;
(2) 搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出1个盒子，求2次摸出的盒中的纸片能拼接成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
12．（2018凉山州）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球.
（1）求从中随机抽出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式.
13．（2018 遵义）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一:转动转盘甲，指针指向 A 区城时，所购买物品享受 9 折优 惠 、指 针 指 向 其 它 区 域无 优 惠；方 式 二 :同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受 8 折优惠，其它情况无优惠.在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)
（1）若顾客选择方式一，则享受 9 折优惠的概率为 .
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优
惠的概率.
14．（2018·连云港）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2:2，那么甲队最终获胜的概率是＝________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
15．.(2018安徽)“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有_________人，扇形统计中“69．5~79．5”这一组人数占总参赛人数的百分比为________；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
16.(2018·乌鲁木齐)某中学1000名学生参加了“环保知识竞赛” ，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽 取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分）作为样本进行统计，并制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据） ．
请解答下列问题：
(1)写出a 、b 、c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70 分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
A
B
C
D
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第28讲《概率》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·齐齐哈尔）下列成语中，表示不可能事件的是（ ）．
A．缘木求鱼 B．杀鸡取卵 C．探囊取物 D．日月经天，江河行地
【分析】了解随机事件
【解答】解：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．缘木求鱼是不可能事件，A选项正确．杀鸡取卵可能发生也可能不发生，是随机事件；探囊取物一定发生，是必然事件；日月经天，江河行地一定发生，是必然事件．本题选A
故答案：A，
2．（2018·柳州）现有四张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花A和方块A．将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A的概率为( )
A．1 B． C． D．
【分析】了解一步随机事件的概率计算方法
【解答】解：任意抽取一张牌，共有4种可能，而抽出红桃A只有1种可能，故任意抽取一张牌是红桃A的概率为．
故答案：B．
3．（2018·烟台）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
【分析】了解随机事件
【解答】解：一年最多366天，所以367人中至少有2人生日相同，选项A正确；任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率应是，选项B错误；天气预报说明天的降水概率为90%，只是说降雨的可能性较大，但不能说明天一定会下雨，选项C错误；某种彩票中奖的概率是1%，并不是说买100张彩票不一定有1张中奖，选项D错误．
故答案：A
4． (2018·株洲)从-5，，，-1，0，2，这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为( )
A． B． C． D．
【分析】了解随机事件概率计算方法及实数分类
【解答】解：七个数中的负整数只有-5和-1两个数，所以其概率为．故选A．
故答案：A，
5．（2018·随州）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】了解随机事件概率计算方法及几何图形面积计算
【解答】解：因为正方形ABCD的面积为4，阴影部分的面积为四个半圆的面积与正方形ABCD的面积之差，即4×π×()2－4＝2π－4，所以米粒落在阴影部分的概率为＝．
故答案：A．
6．（2018·广州）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ）．
A B C D
【分析】了解二步随机事件概率计算方法
【解答】解：题意画出如下树状图，从树状图可以看出一共有4种等可能的结果，其中取出的两个小球上都写有数字2的结果有1种，所以取出的两个小球上都写有数字2的概率是．
故答案：C
7．（2018·玉林）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是
A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【分析】了解随机事件概率与频率关系
【解答】解：A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上频率约为＝0．5，不符合题意；
B．掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3的频率约为≈0．17，不符合题意；
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为＝0.25，不符合题意；
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球人频率大约是，符合题意．
故答案：D，
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018·东营）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
【分析】了解随机事件概率计算公式
【解答】解：在已知的五个图形中是中心对称图形的是平行四边形、矩形、正方形和菱形，所以随机抽取一张是中心对称图形的概率是．
故答案：
9．（2018·淮安） 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000
击中靶心的频数 m 9 19 37 45 89 181 449 901
击中靶心的频率 mn 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是 ( 精确到 0.01
【分析】掌握用频率估计随机事件概率
【解答】解：频率估计概率时，实验的次数越多，其频率越接近于概率，所以取1000次的频率来估计射手击中靶心的概率.
故答案:0.90
10．（2018·聊城）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启
30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他
因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 ．
【分析】掌握随机事件概率计算公式
【解答】解：汽车遇到红灯的概率是= = .
故答案：，
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018 常州) 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小，质地都相同再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1) 搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒中是A型矩形纸片的概率;
(2) 搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出1个盒子，求2次摸出的盒中的纸片能拼接成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
【分析】掌握用列表或树状图求随机事件的概率
【解答】解：（1）盒子里共3种情况，每种可能性相同，故能摸到A型纸片的概率为
（2）画出表格或树状图
共6种结果，其中能拼成矩形的组合为（A，B）（B，A）（B，C）（C，B）四种.因而2次摸出的盒中的纸片能拼接成一个新矩形的概率为
12．（2018凉山州）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球.
（1）求从中随机抽出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式.
【分析】取出某一种球的概率为，（1）都是已知数，可以直接列式，（2）列出关系式，整理得函数式.
【解答】解：（1）取出一只黑球的概率P==；
（2）∵取出一只白球的概率P=，∴=，∴12+4x=7+x+y
∴y与x的函数关系式为：y=3x+5.
13．（2018 遵义）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一:转动转盘甲，指针指向 A 区城时，所购买物品享受 9 折优 惠 、指 针 指 向 其 它 区 域无 优 惠；方 式 二 :同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受 8 折优惠，其它情况无优惠.在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)
（1）若顾客选择方式一，则享受 9 折优惠的概率为 .
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优
惠的概率.
【分析】（1）运用简单等可能事件概率定义“P=”计算得到答案；(2)列表或画树状图，列举出可能出现结果总数，再结合概率定义计算出结果.
【解答】解：（1）；
（2）画树状图：由树状图可知共有 12 种等可能结果，两个指针指向同一个字母的只有两种：（A,A）、（B，B）∴P(顾客享受 8 折优惠).
14．（2018·连云港）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2:2，那么甲队最终获胜的概率是＝________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
【分析】（1）根据概率公式直接解答；（2）列出树状图，找到所有可能的结果，再求出甲队后三局至少一次获胜的次数，即可求出其概率。
【解答】解：（1）．
（2）解：树状图如图所示：
如图可知，剩下的三局比赛共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局有7种，所以，P(甲队最终获胜)=．答：甲队最终获胜的概率为．
15．.(2018安徽)“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有_________人，扇形统计中“69．5~79．5”这一组人数占总参赛人数的百分比为________；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
【分析】（1）由频数直方图知59.5～69.5的频数是5人，而由扇形统计图知59.5～69.5占10%，所以本次比赛参赛选手有5÷10%＝50人；89.5～99.5有12人，占12÷50×100%＝24%，所以69.5～79.5占1－36%－10%－24%＝30%；（2）由（1）的计算结果可求出59.5～79.5占40%或求出79.5～99.5占60%，故判断78分的选手不能获奖．（3）先用树状图或列表分析所有可能出现的结果，再运用概率公式求解．
【解答】解：（1）50；30%．
（2）不能获奖．理由：由扇形统计图知59.5～69.5占10%，由（1）知69.5～79.5占30%，所以59.5～79.5占10%＋30%＝40%，又78＜79.5，所以78分的选手不能获奖．
（3）画树状图分析：
一共有12种不同的结果，而出现1男1女的情况有8种，所以P(1男1女)＝
16.(2018·乌鲁木齐)某中学1000名学生参加了“环保知识竞赛” ，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽 取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分）作为样本进行统计，并制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据） ．
请解答下列问题：
(1)写出a 、b 、c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70 分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
【分析】(1)根据频数分布表、结合频数分布直方图，可直接写出a、b、c的值；
（2）首先根据频数分布表，得到在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率，再根据样本估计总体的思想可得结果；
(3) 用列表法或树状图法求出抽取的两名同学来自同一组的概率
【解答】解：（1）a=0.24 b=2 c=0.04
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6
根据样本估计总体的思想，有：1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为A1，A2，A3，第5组有2人不妨记为B1，B2 ，从成绩是80分以上的同学中随机抽取两名同学，情形如树状图所示，共有20种情况：
抽取的 2 名同学来自同一组的有(A1，A2) ，(A1，A3) ，(A2，A1) ，(A2， A3) ，(A3，A1) ，(A3，A2) ，
(B1，B2)，（ B2，B1），共8种情况，∴抽取的两名同学来自同一组的概率是：P==
A
B
C
D
第一次
第二次
1
1
2
2
1
2
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