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第9章 第二部分核心演练
第29讲 代数推理
核心能力:
1 熟练运用平方差公式及完全平方公式进行代数式进行变形及推理
2 熟练运用不等式(组)方程(组)及函数之间的联系互相转化进行推理
3 熟练运用一元二次方程根的判别式根与系数关系进行推理,揭示如图形规律,字母相互关系,取值范围,线段及图形面积及最值等问题
核心方法:
熟练运用方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合及临界分析等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1:已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝－x＋m与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C．－2.典例2: (2017宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
典例3．（2017 泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．
典例4 (2018·临沂)一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )
A.原数与对应新数的差不可能等于零．
B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大
核心演练:（90分钟,满分100分）(1到5题每题4分,第6题5分,第7到11题每题15分共100分)
1 (2018乐山)二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是( )
A.a=3± B.-1≤a<2 C. a=3±或≤a<2 D. a=3-或-1≤a<
2 （2018·长沙）若对于任意非零实数，抛物线y＝ax2＋ax－2总不经过点P，则符合条件的点P( )
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．至少有3个 D．有无穷多个
3（2018·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3 A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线yx＋4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018 ．
4（2018·齐齐哈尔）抛物线C1：y1＝mx2－4mx＋2n－1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（－1，2），请结合图像分析以下结论：①对称轴为直线x＝2；②抛物线与y轴的交点坐标为（0，－1）；③m＞；④若抛物线C2：y2＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2－4mx＋2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5（2018·通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与半径为5的⊙O相交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是 ．
6 (2017南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A．0 B．1 C．2 D．1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．
（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
7 (2018·武汉)已知点A(a，m)在双曲线上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B.
（1） 如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
① 若t＝1，直接写出点C的坐标；
② 若双曲线经过点C，求t的值.
（2）如图2，将图1中的双曲线(x＞0)沿y轴折叠得到双曲线(x＜0)，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
8（2018·孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（－2，0），B（0，－6），将Rt△AOB绕点O按顺时针分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF，抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F.
（1）点C的坐标为________，点E的坐标为________；抛物线C1的解析式为________，抛物线C2的解析式为________；
（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点.
①若∠PCA＝∠ABO，求P点的坐标；
②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h＝PM＋NM＋BM，求h与x的函数关系式.当－5≤x≤－2时，求h的取值范围.
9 (2018宜昌调考) 在平面直角坐标系中，抛物线（a>0）与x轴的两个交点分别为A（3+m,0）,B(3－m,0)，其中m>0.
(1)写出抛物线的对称轴方程，并将b用含a的代数式表示；
(2)若AB=4，求抛物线的解析式；
（3）如果E（0，），当经过A,B,E三点的⊙P面积最小时，求抛物线的解析式。
（4）若点C（2,1）D（5,1），若抛物线（a>0）与线段CD有两个交点，请求出a的取值范围，
10（2018·淄博）如图，抛物线经过的三个顶点,其中、.O为坐标原点.（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若点，为该抛物线上的两点，且n（3）若C为线段AB上的动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求的大小及点C的坐标.
11 (2017·宜昌三月调考)如图，已知：点 P 是直线 y=x－3 上的一点，其横坐标为 m，抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1的顶点为 M．
（1）当点 P 在直线 y=x－3 上运动时，抛物线始终经过一定点 N，求点 N 的坐标；判断 N 是否为点M 的最高点．
（2）若点 P 沿直线 y=x－3 向上运动时，点 M 也向上运动，此时直线 y=x－3 与抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1 有两个交点 A，B（A，B 可重合），A，B 两点到 y 轴的距离之和为 d．
①求 m 的取值范围；②求 d 的最小值．
（3）连接 PM，当直线 PM 与抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1 的另一个交点在线段 PM 上时，求 m 的取值范围．
A3
O
P1
P2
P3
A1
A2
x
y
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第9章 第二部分核心演练
第29讲 代数推理
核心能力:
1 熟练运用平方差公式及完全平方公式进行代数式进行变形及推理
2 熟练运用不等式(组)方程(组)及函数之间的联系互相转化进行推理
3 熟练运用一元二次方程根的判别式根与系数关系进行推理,揭示如图形规律,字母相互关系,取值范围,线段及图形面积及最值等问题
核心方法:
熟练运用方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合及临界分析等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1:已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝－x＋m与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C．－2【解答】解:在抛物线y＝－x2＋x＋6中，令y＝0时，即－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，即抛物线y＝－x2＋x＋6与x轴交点坐标分别为（－2，0），（3，0）.∵抛物线y＝－x2＋x＋6沿x轴翻折到x轴下方，∴此时新抛物线y＝x2－x－6（y<0）与y轴交点坐标为（0，－6）.当直线y＝－x＋m过（－2，0），（0，－2）时，m＝－2.此时直线y＝－x＋m与x轴下方图象只有三个交点.如图所示，要使直线y＝－x＋m与新图像有4个交点，需y＝－x＋m与y＝x2－x－6有两个交点，则－x＋m＝x2－x－6有两个不同解，整理得x2＝m+6，所以m>-6时，y＝－x＋m与y＝x2－x－6有两个交点，m的取值范围是－6答案:D
.典例2: (2017宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
【答案】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6－t，∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选C．
典例3．（2017 泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，
所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6．∵a=1，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，
∴A（1，6），B（3，0）．∵直线y1=kx+b经过点A和点B，∴，解得：，
所以k的值为﹣3．
②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），
∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），
∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，
∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，
又∵2a﹣m=d，
∴d的取值范围为d＞﹣4．
（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，∴m=2a+4．
∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．
把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．
∵点A、点B的纵坐标相同，且a≠﹣2、a≠﹣4
∴AB∥x轴．
（3）线段CD的长随m的值的变化而不变，始终有CD=8,理由如下：
∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，
∴当x=a时，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，当x=a+2时，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，
∴A（a，﹣a2+（m﹣2）a+2m）、B（a+2，﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m）．
又因为m=2a-d,
∴点A运动的路线是的函数关系式为
yA=﹣a2+（m﹣2）a+2m=-a2+(2a-d-2)a+2(2a-d)=-xA2+(-d+2)xA-2d，
点B运动的路线的函数关系式为yB=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m．
而m=2a-d=2xB-d-4
∴yB=﹣xB2-dxB-2 d-8
点C（0，2d），D（0，-2d﹣8）．
∴DC=8|．
∴线段CD的长随m的值的变化不变化．
典例4: (2018·临沂)一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )
A.原数与对应新数的差不可能等于零．
B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【解答】解：设原自然数列中某一自然数为x（x≤100的自然数），其相对应的新数为，则相对应的新数列为0，、………………。
当原数x=0时，新数=0，原数与对应新数的差，等于零，选项A错误；
原数与对应新数的差为y,
则y=x－=，
∵,∴当0≤x≤50时，y随着x的增大；当50＜x≤100时，y随x的增大而减小，选项B错误；
当x－=21，解得x1=30，x2=70，选项C错误；
又y=x－=,∵,抛物线开口向下，图象有最高点，即此二次函数y有最大值∴当原数x=50时，原数与对应新数的差最大，选项D正确，故选D.
答案：D
核心演练:（90分钟,满分100分）(1到5题每题4分,第6题5分,第7到11题每题15分共100分)
1 (2018乐山)二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是( )
A.a=3± B.-1≤a<2 C. a=3±或≤a<2 D. a=3-或-1≤a<
【解答】解：本题分两种情况：一种是两个函数图像只有一个公共点，即方程组
有两个相同的解；另一种情况是两个图像有两个交点，只是在1≤x≤2的范围内，两个图像有一个交点。对于第一种情况，我们只需要要求b2- 4ac=0，即可求得a的值；对于第二种情况，我们可以根据x的取值范围求得相应的y的取值范围；最后进行检验即可。
故答案：D
2 （2018·长沙）若对于任意非零实数，抛物线y＝ax2＋ax－2总不经过点P，则符合条件的点P( )
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．至少有3个 D．有无穷多个
【解答】解：由题意得，y＝ax2＋ax－2＝a(x＋2)(x－1)( a≠0)总不经过点P
∴恒成立,即
（1）当x0＝1时，0≠－15恒成立，∴P1（－2，－15）；
（2）当x0＝4时，0≠0不符合题意；
（3）当x0＝－4时，40a≠0恒成立，∴P2（－7，0）；
（4）当x0≠1且x0≠4且x0≠﹣4时，∴a≠＝不恒成立
综上所述：P1（－2，－15），P2（－7，0)，B选项正确．
答案：B，
3（2018·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3 A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线yx＋4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018 ．
【解答】解:∵△P1OA1是等腰直角三角形，P1（3，3），∴OA1＝9，S1＝，易求得P2的纵坐标为，P3的纵坐标为，∴A1A2＝3，A2A3＝，S2＝，S3＝……
∴S2018
答案：
4（2018·齐齐哈尔）抛物线C1：y1＝mx2－4mx＋2n－1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（－1，2），请结合图像分析以下结论：①对称轴为直线x＝2；②抛物线与y轴的交点坐标为（0，－1）；③m＞；④若抛物线C2：y2＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2－4mx＋2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①∵抛物线y1＝mx2－4mx＋2n－1＝m(x－2)2－4m＋2n－1，∴对称轴为直线x＝2．①正确；②抛物线与y轴的交点坐标为（0，2n－1），②不正确；③∵y1＝mx2－4mx＋2n－1 经过点A（－1，2），∴5m＋2n－1＝2．∴2n－1＝2－5m．∵抛物线与x轴有两个交点，∴(－4m)2－4m(2n－1)＞0．∴16m2－4m(2－5m)＞0．∴36m2－8m＞0．又∵m＞0，∴m＞．∴③不正确．④抛物线C1对称轴为直线x＝2且A点坐标为（－1，2），∴B点坐标（5，2，）．若C2：y2＝ax2（a≠0）过点A，则a＝2，若C2：y2＝ax2（a≠0）与过点B，则a＝．∵抛物线C2：y2＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合图象可知，a的取值范围是≤a＜2．④正确；⑤∵mx2－4mx＋2n＞0，∴mx2－4mx＋2n－1＞－1＞0．∴抛物线y1＝mx2－4mx＋2n－1的值都为正数．⑤正确．综上，①，④，⑤正确，本题选B．
答案：B，
5（2018·通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与半径为5的⊙O相交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是 ．
【解答】解：设M（a，b），则N（b，a），依题意，得：a2＋b2＝52……①
a2－ab－（a－b）2＝3.5……②
①、②联立解得a＝，b＝, 所以M、N的坐标分别为（，），（，）
作M关于x轴的对称点M′，则M′的坐标为（，－）， 则M′N的距离即为PM＋PN的最小值．
由于M′N2＝（－）2＋（－－）2＝50，所以M′N＝5，
答案：5
6 (2017南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A．0 B．1 C．2 D．1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．
（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)，∴△＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；
（2）y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x－)2＋，把x＝代入y＝(x＋1)2得：y＝(＋1)2＝，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；
（3）设函数z＝，当m＝－1时，z有最小值为0；当m＜－1时，z随m的增大而减小；
当m＞－1时，z随m的增大而增大，当m＝－2时，z＝；当m＝3时，z＝4，则当－2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
7 (2018·武汉)已知点A(a，m)在双曲线上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B.
（1） 如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
① 若t＝1，直接写出点C的坐标；
② 若双曲线经过点C，求t的值.
（2）如图2，将图1中的双曲线(x＞0)沿y轴折叠得到双曲线(x＜0)，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
【解答】解：⑴将xA＝－2代入y＝中得：yA＝＝－4， ∴A(－2，－4)，B(－2，0).
①∵t＝1，∴P(1，0)，BP＝1－(－2)＝3,∵将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，∴xC＝xP＝t，PC＝BP＝3，∴C(1，3).
②∵B(－2，0)，P(t，0),第一种情况：当B在P的右边时，BP＝－2－t，∴xC＝xP＝t，PC1＝BP＝－2－t，∴C1(t，t＋2).;第二种情况：当B在P的左边时，BP＝2＋t，∴xC＝xP＝t，PC2＝BP＝2＋t，∴C2(t，t＋2).
综上：C的坐标为(t，t＋2).∵C在y＝上，∴t(t＋2)＝8，解得t＝2或－4.
⑵作DE⊥y轴交y轴于点E，将yA＝m代入y＝得：xA＝，∴A(，m)， ∴AO2＝OB2＋AB2＝＋m2，将yD＝n代入y＝得：xD＝，∴D(－，n) ， ∴DO2＝DE2＋OE2＝＋n2，∴＋m2＝＋n2，－＝n2－m2，＝n2－m2，(64－m2n2)(n2－m2)＝0，
①当n2－m2＝0时，n2＝m2，∵m＜0，n＞0∴m＋n＝0；
②当64－m2n2＝0时，m2n2＝64，∵m＜0，n＞0∴mn＝－8.
综合得：m＋n＝0或mn＝－8.
.
8（2018·孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（－2，0），B（0，－6），将Rt△AOB绕点O按顺时针分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF，抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F.
（1）点C的坐标为________，点E的坐标为________；抛物线C1的解析式为________，抛物线C2的解析式为________；
（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点.
①若∠PCA＝∠ABO，求P点的坐标；
②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h＝PM＋NM＋BM，求h与x的函数关系式.当－5≤x≤－2时，求h的取值范围.
【解答】解：（1），，：，：.
（2）①若点在轴的上方，且时，则与抛物线的交点即为所求的点，设直线的解析式为：.
∴，解得，∴直线的解析式为：.
联立，解得或，∴；
若点在轴的下方，且时，则直线关于轴对称的直线与抛物线的交点即为所求的点.;设直线的解析式为：.∴，解得，
∴直线的解析式为：.联立，解得或，
∴；∴符合条件的点的坐标为或.
②设直线的解析式为：，∴，解得，∴直线的解析式为：，过点作于点，则，∴，
，，
，当时，的最大值为21.∵，当时，；当时，；当时，的取值范围是.
9 (2018宜昌调考) 在平面直角坐标系中，抛物线（a>0）与x轴的两个交点分别为A（3+m,0）,B(3－m,0)，其中m>0.
(1)写出抛物线的对称轴方程，并将b用含a的代数式表示；
(2)若AB=4，求抛物线的解析式；
（3）如果E（0，），当经过A,B,E三点的⊙P面积最小时，求抛物线的解析式。
（4）若点C（2,1）D（5,1），若抛物线（a>0）与线段CD有两个交点，请求出a的取值范围，
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点分别为A（3+m,0）,B(3-m,0)，
∴A,B关于对称轴对称，对称轴为直线x=3. ,∴,b=-6a ,
（2）∵AB=4，对称轴为直线x=3，∴A（5,0），B（1,0） ,∵抛物线的解析式为
将B（1,0）代入得a= ∴抛物线的解析式为 ,
（2）经过A,B,E三点的⊙P，则PA=PE,又∵P在抛物线的对称轴x=3上，则⊙P面积最小时，根据垂线段最短，则EP垂直于对称轴，即PE=3时，面积最小.,过点P作PH⊥AB,垂足为H,;在Rt△PAH中，PH=,PA=3，则AH=2. ,∴A（1，0）∴抛物线的解析式为 ,
（4）∵抛物线（a>0）开口向上，当抛物线过D（5,1）时，此时与线段CD有一个交点，此时a=， ,随着a的增大，开口逐渐变小，当抛物线过点C时，此时与线段刚好有两个交点，a=2,∴抛物线（a>0）与线段CD有两个交点时，
10（2018·淄博）如图，抛物线经过的三个顶点,其中、.O为坐标原点.（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若点，为该抛物线上的两点，且n（3）若C为线段AB上的动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求的大小及点C的坐标.
【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，－）分别代入y＝ax2＋bx得
解得∴y＝－
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x＝,当x＞时，y随x的增大而小,∴当t＞4或t＜时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F,分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E,∵AC≥AD，BC≥BE,∴AD＋BE≥AC＋BE＝AB,∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．,∵A（1，），点B（3，－）,∴∠AOF＝60°，∠BOF＝30°,∴∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,当OC⊥AB时，∠BOC＝60°,点C坐标为（，）．
11 (2017·宜昌三月调考)如图，已知：点 P 是直线 y=x－3 上的一点，其横坐标为 m，抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1的顶点为 M．
（1）当点 P 在直线 y=x－3 上运动时，抛物线始终经过一定点 N，求点 N 的坐标；判断 N 是否为点M 的最高点．
（2）若点 P 沿直线 y=x－3 向上运动时，点 M 也向上运动，此时直线 y=x－3 与抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1 有两个交点 A，B（A，B 可重合），A，B 两点到 y 轴的距离之和为 d．
①求 m 的取值范围；②求 d 的最小值．
（3）连接 PM，当直线 PM 与抛物线 y=x2＋2mx－2m＋1 的另一个交点在线段 PM 上时，求 m 的取值范围．
【解答】解：（1）由已知，得：P（m，m—3），M（﹣m，﹣m2—2m+1）,∵y= x2+2mx-2m+1= x2+1+2m（x-1）∴当x=1时，y与m无关，此时y=2.∴N（1,2） ,M（-m，-m2-2m+1）
∵yM=-m2-2m+1=-（m+1）2+2,∴当m=-1时yM最大，即M最高，此时M（1，2）∴N是M的最高点
（2） ①∵P(m,m-3)，M（-m，-m2-2m+1）由题意可知：yM随m的增大而最大，
∵yM=-m2-2m+1=-（m+1）2+2∴m≤-1.联立：： 消去y，化简得：x2+（2m-1）x-2m+4=0
∴△=（2m-1）2-4（-2m+4）=4m2+4m-15=（2m+5）（2m-3）≥0 ∵当m≤-1时2m-3＜0，∴2m+5≤0，∴m≤-2.5，
②设A，B两点的横坐标分别为x1，x2. ∴x1+x2=-（2m-1）＞0，x1·x2=-（2m-4）＞0，∴x1＞0，x2＞0.∴d= x1+ x2=-2m+1∵-2＜0，∴d随m的增大而减小。∴当m=-2.5时，d取最大值，d=6.
（3）∵P(m,m-3)，M（-m，-m2-2m+1）可知：P，M的横坐标互为相反数，即P，M位于y轴的两侧或y轴上。
①若P，M位于y轴上，直线PM与抛物线只有一个交点，不合题意舍去。
②若P在y轴的右边，M位于y轴的左边或者P在y轴的左边，M位于y轴的右边时，只有当P点高于M点才满足题意，∴当PM∥x轴时，-m2-2m+1= m-3，m1=1，m2=-4，∴满足条件的m的取值范围：m≥1或m≤-4.
A3
O
P1
P2
P3
A1
A2
x
y
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