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第9章 第二部分核心演练
第30讲 中点与旋转
核心能力:
1 熟练运用三角形中点性质处理面积
2 熟练运用三角形中位线定理和直角三角形斜边上中线等于斜边一半及等腰三角形三线合一等定理,并会利用中点借助旋转构造中位线
3 熟练知晓垂径定理或沿角平分线翻折或轴对称或中心旋转会出现中点问题,并能运用平移旋转对称等几何变换构建常见几何模型解决问题
核心方法:
熟练运用几何变换构图补形,借助方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合等基本思想方法进行推理
中点策略： 利用斜边上的中线性质补形中点十直角三角形; 利用“三线合一”定理补形为中点十等腰三角形 ;利用中位线定理补形为中点十中点;利用倍长中线补形为8字全等形;利用垂直径定理补形
核心典例
典例1：(知中点作垂线)如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）在图中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分别为点M．点N；（2）求证：DM= DN；（3）若AD=3，求AM+AN的值．
典例2(知中点作平行线):（2017舟山）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．
典例3(倍长中线):(1)如图①，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
(2)在(1)中，若将正方形CGEF绕点C旋转任意角度(如图②)，其他条件不变．探究线段MD、MF的关系，并加以证明．
典例4: (取中点构造中位线):如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）。（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；（2）如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明。
典例5(中点与面积))(2018·黄石)在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点(不与A、B、C重合)． (1)如图1，若EF∥BC，求证：＝； (2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
典例6 (弧的中点问题)(2018安徽)如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
典例7．(中点相关的新定义题型)(2017江西)我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α＋β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：(1)在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．
猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
核心演练:（90分钟,满分100分） (每题10分,共10题计100分)
1 如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线., M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB = 4，AC = 7，求NC的长.
2 (2018·鄂州)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE＝EF；（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α、β之间的数量关系．
3 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
【操作发现】:在等腰△ABC中，AB = AC,分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和 ME，则下列结论正确的 (填序号即可）.① AF = AG =AB ； ② MD =ME; ③整个图形是轴对称图形; ④DAB = DMB
【数学思考】:在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图 2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME怎样的数量和位置关系？ 请给出证明过程.
【类比探索】:在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如 图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.答: .
4．已知正方形ABCD和正方形CEFG.（1）如图1，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，连接DE、BG，求证：DE＝BG.（2）如图2，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，连接AF，取AF得中点M，连接DM、GM，请探究DM与GM的数量关系.
5（2018·济宁）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N．若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
6（2018威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．
(1)如图②，当BC＝4，DE＝5，tan∠FMN＝1时，求的值；
(2)若tan∠FMN＝，BC＝4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
(3)连接CM，DN，CF，DF，试证明△FMC与△DNF全等；
(4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．
7（2018十堰） 已知正方形ABCD与正方形 CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论;
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
8 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．
9(2018·临沂题改编) 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图．当旋转到点F恰好落在CD延长线上时,E点是否落在BD上 请说明理由；(2)若AB=2,AD=6,则当旋转到恰有GC＝GB时 ,画出图形，并求a及此时△ABG的面积
10（2018·成都）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线C A′，CB′分别交直线m于点P，Q.
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠AC A′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程时，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由.
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第9章 第二部分核心演练
第30讲 中点与旋转
核心能力:
1 熟练运用三角形中点性质处理面积
2 熟练运用三角形中位线定理和直角三角形斜边上中线等于斜边一半及等腰三角形三线合一等定理,并会利用中点借助旋转构造中位线
3 熟练知晓垂径定理或沿角平分线翻折或轴对称或中心旋转会出现中点问题,并能运用平移旋转对称等几何变换构建常见几何模型解决问题
核心方法:
熟练运用几何变换构图补形,借助方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合等基本思想方法进行推理
中点策略： 利用斜边上的中线性质补形中点十直角三角形; 利用“三线合一”定理补形为中点十等腰三角形 ;利用中位线定理补形为中点十中点;利用倍长中线补形为8字全等形;利用垂直径定理补形
核心典例
典例1：(知中点作垂线)如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）在图中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分别为点M．点N；（2）求证：DM= DN；（3）若AD=3，求AM+AN的值．
【解答】解:（1）如图，
（2）∵D为BC的中点，∴BD=CD，∵CM⊥AD，BN⊥AD，∴∠BND=∠CMD=90°，在△BND和△CMD中，,∴△BND≌△CMD，∴DN=DM．
（3）∵△BND≌△CMD，∴DM=DN，∵AM=AD+DM，AN=AD-ND，∴AM+AN=AD+DM+AD-ND，∵DM=DN，∴AM+AN=2AD=6．
典例2(知中点作平行线):（2017舟山）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．
【解答】解:（（1）证明：如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM．∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．
②设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，∴AM＝4＋2x，∴BH＝4＋2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴，∴，解得x＝1＋或1－（舍弃），∴DH＝1＋．
典例3(倍长中线):(1)如图①，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
(2)在(1)中，若将正方形CGEF绕点C旋转任意角度(如图②)，其他条件不变．探究线段MD、MF的关系，并加以证明．
【解答】解: (1)关系是MD＝MF，MD⊥MF．证明如下：延长DM交CE于点N，连接FD、FN．∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BE，AD＝DC．∴∠DAM＝∠NEM．又AM＝EM，∠DMA＝∠NME，∴△ADM≌△ENM．．∴AD＝EN，MD＝MN．又AD＝DC，∴DC＝NE．又四边形CGEF为正方形，
∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE：，∠CFE＝90°．同理在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠DCF＝∠NEF＝45°．∴△FDC≌△FNE．∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°．又DM＝MN，∴MD＝MF，DM⊥MF．
(2)结论仍然成立．证明同(1)，分别延长DC，EN交于P，
则有∠POG＝∠PEG．又∵∠DCF＋∠PCG＝∠PEG＋∠NEF＝90°，∴∠DCF＝∠NEF．后边同(1)．
典例4: (取中点构造中位线):如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）。（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；（2）如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明。
【解答】解:（1）等腰三角形；（2）△AGD为直角三角形，证明：如图，连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB， ∴∠1=∠3，同理HE∥CD，HE=CD，∴∠2=∠EFC， ∵AB=CD， ∴HF=HE， ∴∠1=∠2， ∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形，∵AF=FD，∴GF=FD， ∴∠FGD=∠FDG=30°， ∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形。
典例5(中点与面积))(2018·黄石)在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点(不与A、B、C重合)． (1)如图1，若EF∥BC，求证：＝； (2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
【解答】解:（(1)证明：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝＝.
(2)证明：若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立.分别过F、C作AB的垂线，垂足为N、H.
∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴＝，∴＝＝＝.
(3)解：连接AG并延长交BC于M，连接BG并延长交AC于N，连接MN..则M、N分别为BC，AC的中点，∴MN∥AB且MN＝AB，∴＝＝，且S△ABM＝S△ACM，∴＝.设＝a.由(2)可知：
＝＝×＝，＝＝a.
则＝＝＝＋＝＋a.;而＝＝a.
∴＋a＝a，解得：a＝.∴＝×＝.
典例6 (弧的中点问题)(2018安徽)如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【解答】解:（（1）如图所示：
（2）连接OE交BC于F，连接OC，CE，由（1）得∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴OE⊥BC．在Rt△OCF中，CF＝；
在Rt△ECF中，CE＝
典例7．(中点相关的新定义题型)(2017江西)我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α＋β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：(1)在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．
猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
【解答】解: (1)①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AB＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为．
②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4．
(2)结论：AD＝BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接E′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．
(3)存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°＝∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，∴PN＝＝＝．
核心演练:（90分钟,满分100分） (每题10分,共10题计100分)
1 如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线., M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB = 4，AC = 7，求NC的长.
【解答】解：延长NM至F，使MF = NM,连接BF,延长 BA与MN延长线交于点E，∵M为BC的中点
∴BM = CM.,在△CMN和△BMF中，∴ △CNM ≌ △BFM ，∴ C =3，4 = F. ∵ MN∥AD，∴1 = E，2 = 4 = 5.又∵AD是△ABC的角平分线，∴1 = 2，∴E =5 =F,∴ AE = AN，BE = BF.设 CN = x ,则 BF = x，AE = AN = AC - CN = 7-x ，BE = AB+AE =4 + 7-x，∴ 4 + 7 – x = x 解得x = 5.5 ，∴ CN = 5.5 .
2 (2018·鄂州)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE＝EF；
（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α、β之间的数量关系．
【解答】解：（1）证明：∵∠DAB＝90°，点E、为DB的中点，∴AE＝BD．∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BDC的中位线，∴EF＝CD，∵DB＝DC，∴AE＝EF．
（2）由（1）知AE＝EF，又∵AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°．
∵∠DAB＝90°，点E、为DB的中点，∴AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∴∠AEB＝2∠ADB＝2α．
∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BDC的中位线，∴EF∥DC，∴∠BEF＝∠BDC＝β．
∴2α＋β＝60°．
3 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
【操作发现】:在等腰△ABC中，AB = AC,分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和 ME，则下列结论正确的 (填序号即可）.① AF = AG =AB ； ② MD =ME; ③整个图形是轴对称图形; ④DAB = DMB
【数学思考】:在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图 2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME怎样的数量和位置关系？ 请给出证明过程.
【类比探索】:在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如 图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.答: .
【解答】解：【操作发现】：①②③④;
【数学思考】如图分别取AB，AC的中点F，G可答：MD=ME，MD⊥ME，
【类比探索】（1）MD=ME；如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF、MF、MG、EG，
∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC．又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，∴EG⊥AC且EG=AC，∴MF=EG．同理可证DF=MG．∵MF∥AC，所以∠MFA＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°，∴∠MFA=∠MGA．又∵EG⊥AC，所以∠EGA=90°．同理可得∠DFA=90°，所以∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA，即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS），所以MD=ME．
（2）MD⊥ME如图，设MD与AB交于点H，∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG，又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,即∠DHA=∠FDM+90°, ∵∠DMG=∠DME+∠GME，∠FDM=∠GME，∴∠DME=90°，即MD⊥ME.
4．已知正方形ABCD和正方形CEFG.
（1）如图1，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，连接DE、BG，求证：DE＝BG.
（2）如图2，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，连接AF，取AF得中点M，连接DM、GM，请探究DM与GM的数量关系.
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，CD＝ CB，∠DCB＝ 90°，在正方形CEFG中， CE＝ CG，∠ECG＝90°，∴∠DCE＋∠ECB＝∠ECB＋∠BCG ＝90°，∴∠DCE＝∠BCG，∴△DCE≌△BCG，∴DE＝BG．
（2）如答图，连接AC、CF，分别取中点O、O′，连接OM、OD、O'M、O'G． ∵M是AF的中点，∴OM与O'M是△ACF的中位线，∴OM＝CF，OM∥CF；O'M＝ AC，O'M ∥AC，∴∠AOM＝∠ACF＝∠MO'F．∵△ADC与△CGF是等腰直角三角形，∴∠DOA＝∠GO′F＝90°，DO＝AC，GO'＝CF，∴OM＝ GO'，DO＝O'M，∠DOA－∠AOM＝∠GO'F－∠MO′F，即∠DOM＝ ∠MO'G，∴△DOM≌△MO'G，∴DM＝ GM．
5（2018·济宁）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N．若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【解答】解：（1）CF＝2DG．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90°．∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴DE＝AD，CF＝BC．∴DE＝CF＝CD．∵∠ADC＝90°，EH⊥DF，∴∠CDF＋∠EDF＝90°，∠DEG＋∠EDF＝90°．∴∠CDF＝∠DEG．在Rt△FCD中，tan∠CDF＝＝．在Rt△DEG中，tan∠DEG＝．∴＝．∴CF＝2DG．
（2）如答图所示．在NB上取NQ＝NC，连接DQ交MN于点P．∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BC．又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ．∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ．由“两点之间，线段最短”知，此时PD＋PC最短．
又∵CD＝10，∴此时△PDC的周长＝PD＋PC＋CD＝PD＋PC＋10最短．∵MN∥CD，∴∠MHD＝∠CDF．∴tan∠MHD＝＝tan∠CDF＝．∴MH＝2MD．设MD＝，则MH＝．同理ME＝2MH＝．∴DE＝．∴CD＝2DE＝＝10．∴＝1．∴CQ＝2DM＝2．在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝＝＝．∴△PDC周长的最小值为．
6（2018威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．
(1)如图②，当BC＝4，DE＝5，tan∠FMN＝1时，求的值；
(2)若tan∠FMN＝，BC＝4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
(3)连接CM，DN，CF，DF，试证明△FMC与△DNF全等；
(4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．
【解答】解：(1)∵M，N，F分别是AB，AE，BE的中点，∴BM＝NF＝MA，MF＝AN＝NE．∴四边形MANF是平行四边形．又∵BA⊥AE，∴平行四边形MANF是矩形．又∵tan∠FMN＝1，∴，即FN＝FM．∴矩形MANF为正方形，∴AB＝AE．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3；∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC≌△EAD(AAS)，∴BC＝AD，CA＝DE．∵BC＝4，DE＝5，∴．
(2)可求线段AD的长．由(1)知，四边形MANF为矩形，FN＝AB，MF＝AE；∵tan∠FMN＝，即，∴．∵∠1＝∠3，∠BCA＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△FAD，∴．∵BC＝4，∴，∴AD＝8．
(3)∵BC⊥CD，DE⊥CD．∴△ABC与△ADE都是直角三角形．∵M，N分别是AB，AE中点，∴BM＝CM，NA＝ND．∴∠4＝2∠1，∠5＝2∠3．∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠5，∴∠FMC＝90°＋∠4，∠FND＝90°＋∠5，∴∠FMC＝∠FND．∵FM＝DN，CM＝NF．∴△FMC≌△DNF(SAS)．
(4)△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
7（2018十堰） 已知正方形ABCD与正方形 CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论;
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．
（3）如图3中，作MR⊥DE于R．在Rt△CDE中，DE＝＝12，∵DM＝ME，DM⊥ME，又∵MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，在Rt△FMR中，FM＝＝＝如图4中，作MR⊥DE于R．在Rt△MRF中，FM＝＝，故满足条件的MF的值为或．
8 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）证明：连接．∵，关于对称．∴．．在和中．∴∴．∵四边形是正方形∴．∴∴∴∵．∴在和．∴≌
∴．
（2）．证明：在上取点使得，连接．∵四这形是正方形．∴．．∵≌∴同理：∴∵∴
∴∴∴．∵∴∵∴∴∵．
∴,在和中∴≌∴,在中，，．∴,∴．
9(2018·临沂题改编) 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图．当旋转到点F恰好落在CD延长线上时,E点是否落在BD上 请说明理由；
(2)若AB=2,AD=6,则当旋转到恰有GC＝GB时 ,画出图形，并求a及此时△ABG的面积
【解答】解：(1)如图1，连接AF.，AC,设AC与BD交于O当点F恰好落在CD延长线上时,延长AE交BD于M,连BE;∵四边形ABCD是矩形，结合旋转可得DF∥AB,BD＝AF，∠BAE＝∠CAF,∴∠BAE-∠CAE＝∠CAF-∠CAE, 即∠CAB=∠EAF;由AD=AD,BD=AF得Rt△ADF≌Rt△DAB(HL), ∴DF=AB,又DF∥AB，∴四边形BDFA是平行四边形，∴DB∥AF, ∴∠EAF＝∠AMB,∵AC与BD是矩形ABCD的对角线，由矩形性质知AO=BO，∴∠ABD=∠CAB,∴∠EAF＝∠ABD，∵AB=AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB=∠CAB=∠AMB，∴M与E重合,则当F恰好落在CD延长线上时,E正好落在BD上
(2) ∵GC＝GB，∴G位于BC的垂直平分线上，有以下两种情形：
情形1：如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时.易知点G是也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG，又∵AG＝AD， ∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°， ∴a＝60°. 则∴∠GAB＝150°, ∴∠GAH=30°过G作GH⊥BA垂足为H,由AG=6可得GH=3,则
情形2：如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时.同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°. 此时a＝300°. ∴∠CGB＝150°,过B作BH⊥AG,垂足为H,则∠HAB＝30°,由AB=2可得BH=1,则
综上所述，当a为60°或300°时，GC＝GB.
10（2018·成都）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线C A′，CB′分别交直线m于点P，Q.
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠AC A′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程时，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由.
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=，AC=2，由勾股定理，得BC=3.由旋转的性质，得AC=A′C=2.
∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A′BC+∠ACB=180°，∴∠A′BC =90°.在Rt△A′BC中，cos∠A′CB==，∴∠A′CB=30°.∴∠AC A′=90°－30°=60°.
（2）∵M为A′B′的中点，∴∠A′CM=∠MA′C.由旋转的性质，得∠MA′C=∠A，∴∠A=∠A′CM.
，.∵∠BQC+∠BCQ=90°，∠PCB+∠BCQ=90°，
∴∠BQC=∠PCB.;在Rt△CBQ中，tan∠BQC=tan∠PCB=，∴=，∴BQ=2.
∴PQ=PB+BQ=+2=.
（3）∵S四边形PA′B′Q==.∴S四边形PA′B′Q 最小，即最小..取PQ中点G，由∠PCQ=90°，∴CG=PQ.,当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小.
∴CG最小值=，PQ最小值=2.∴的最小值=××2=3.∴S四边形PA′B′Q的最小值=.
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