第一讲 带电粒子在电场中的运动

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专 题 四
电场和磁场
GKZS 考纲展示
库仑定律、电场强度、点电荷的场强 Ⅱ
电势差 Ⅱ
带电粒子在匀强电场中的运动 Ⅱ
匀强磁场中的安培力、洛伦兹力公式 Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动 Ⅱ
BKCL 备考策略
本专题主要涉及电场和磁场的基本性质及描述，电场对粒子及磁场对电流和粒子的作用力特点及规律．从近几年的高考考点分布看，题型以计算题为主，试题侧重于考查带电粒子在匀强电场中的运动(平行板电容器中)和带电粒子在有界磁场中的运动；粒子在电场、磁场和重力场以及磁、电、重三场所形成的复合场中的运动问题，大多数是综合性试题，以突出力学的知识、规律、方法的灵活运用，突出联系实际的典型模型．
第一讲 带电粒子在电场中的运动
HXNRZH 核心内容整合
一、库仑定律
库仑力F＝k ，用于计算真空中两点电荷之间的相互作用力，遵守牛顿第三定律．
友情提示 若一条直线上有三个点电荷，均因相互作用而平衡，则其电性及电量的定性分布为”两同夹异，两大夹小”。
二、电场强度——电场力的性质
1．三个公式
(1)电场强度的定义式E= ．适用于任何电场，E由场源电荷和场点的位置决定，与F、q无关．
(2)真空中点电荷所形成的电场E=k，其中Q为场源电荷，r为某点到场源电荷的距离．
(3)匀强电场中场强和电势差的关系式E= ，其中d为两点沿电场方向的距离．
警示 若空间的电场是由几个“场源”共同激发的，则空间中某点的电场强度等于每个“场源”单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和——叠加原理．
2．场强的方向：正电荷的受力方向；负电荷受力的反方向；电场线的切线方向；电势降低最快的方向．
友情提示 电场强度的大小和方向都可利用电场线形象地描绘出来，因此看“线”即可识“场”．但电场线不一定是电荷的运动轨迹．
三、电势、电势差、电势能——电场能的性质
1．电势：φA=UAO=φA－φ0 = ，(其中φ0 =0)，可由等势面形象描绘．
电势高低的判别：
(1)电场线法，顺着电场线电势越来越低；
(2)电场力做功法，正电荷仅在电场力作用下移动，电场力做正功，电荷由高电势移向低电势处；
(3)电势能法，正电荷在高电势处电势能大，负电荷在低电势处电势能大．
2．电势差：UAB= =φA－φB，UAB、WAB 、q都有正负号，但含义不同，UAB的正负反映了A、B两点电势的高低；WAB的正负反映了是电场力做正功还是克服电场力做功；q的正负反映电荷的电性．
3．电势能：Ep=qφ．
电势能大小的比较：
(1)做功法：电场力做正功，电势能减小；克服电场力做功，电势能增加．即W电场=EP1－EP2
(2)电场线法：正电荷顺着电场线移动，电势能越来越小；负电荷顺着电场线移动，电势能越来越大．
(3)正电荷：电势能正负跟电势的正负相同；
负电荷：电势能的正负跟电势的正负相反．
警示 (1)电势差的大小与零电势点的选取无关，而电势则与之有关．
(2)电势与电场强度的大小没有必然的联系．某点的电势为零，电场强度可以不为零，反之亦然．
(3)沿电场方向电势逐渐降低，且电场线与等势面处处垂直，即“线”也可识“势”．
(4)匀强电场中，任意两点连线中点的电势等于这两点的电势的平均值．在电场线方向上电势差与距离成正比．
四、电场力做功的计算方法
1．W=Fscosθ，常用于匀强电场，即F=qE恒定．
2．WAB=qUAB，适用于任何电场．q、UAB可带正负号运算，结果的正负可反映功的正负；也可不带符号运算，但功的正负需结合移动电荷的正负，A、B两点电势的高低另行判断
友情提示 电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关．
3．功能关系：电场力做功的过程就是电势能和其他形式的能量转化过程，且W=－△E其他．
五、电容器的电容
1．定义式：C= = ，适用于任何电容器，对确定的电容器C与Q、U无关．
2-平行板电容器电容的决定式C=
友情提示 关于平行板电容器的讨论问题
(1)注意两种情况：是保证U不变还是保证Q不变．
(2)活用三个公式：C= ，c= ，E= ．
(3)记住一个结论，当Q不变，而只改变电容器的板间距离d时，E不变．
六、带电粒子在匀强电场中的运动
1．加速——带电粒子的受力与运动方向共线．
处理方法：
(1)牛顿定律和运动学方程相结合．
(2)功能观点：qU= mυ22－ mυ12．
2．偏转——带电粒子以速度υ0垂直于电场线方向飞入匀强电场．
处理方法：类似平抛运动的分析方法．
沿初速度方向的匀速直线运动：x=υ0t，
沿电场力方向的初速度为零的匀加速直线运动：y= at2= ··t2。．
偏转角：tanθ= = ．
友情提示 当不同粒子由静止经同一电场加速进入同一电场偏转时，可推出它们的偏转位移和偏转角度相同．
3．示波器中电子偏转距离：
示波器中的电子在偏转电场中做类平抛运动，射出电场后还要靠惯性沿直线运动一段距离，最后打到荧光屏上，如图所示．将射出电场时的速度反向延长与初速度方向交于O点，O点在板长的中点上，即电子好像从偏转电场的中点直接射出．存在几何关系， =eq \f(L′+,)，得y′= y,又y= at2= t2，L=υ0t 所以，y′= ．
警示 是否需考虑带电体的重力
(1)基本粒子：如电子、a粒子、离子等，除有说明或暗示以外，一般不考虑重力．
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或暗示以外，一般都需考虑重力．
DXLTPX典型例题剖析
一、电场的基本性质及描述
【例1】 AC是长为l的均匀带电细杆，P1、P2是位于AC所在直线上的两点，位置如图所示．AC上电荷产生的静电场在一处的场强大小为E1，在P2处的场强大小为E2则以下说法正确的是 ( )
A．两处的电场方向相同，E1>E2
B．两处的电场方向相反，E1>E2
c．两处的电场方向相同，E1D．两处的电场方向相反，E1【解析】 假设杆带正电荷，并将杆分割为AP1，P1B，BC三段，且A Pl= P1B = ，BC= ，如图所示．
由电场的叠加原理可知，A Pl段和P1B段的电荷在P1处产生的合场强为零，因此杆在P1处产生的场强即为BC段电荷在P1处产生的场强，即E1=EBC，方向向左；杆在P2处产生的场强可以认为是由AB段和BC段电荷在P2处产生场强的叠加，即E2=EAB+EBC，方向向右，因BC段在P1、P2两处产生的场强大小相等，所以有E2>E1，选项D正确．
【答案】 D
【总结评述】 利用叠加原理确定空间中某点的合场强时要注意各部分电荷或点电荷的空间分布特点，特别是对称性，这有利于快速抓住要害解决问题，此类问题在近几年的高考题中已多次出现，值得重视．
变式训练 1
(2009·山东)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点固定放置等量异种电荷+Q和－Q，x轴上的P点位于－Q的右侧．下列判断正确的是 ( )
A．在x轴上还有一点与P点电场强度相同
B．在x轴上还有两点与P点电场强度相同
c．若将一试探电荷+q从P点移至O点，电势能增大
D．若将一试探电荷+q从P点移至O点，电势能减小
【解析】 本题主要考查电场的叠加，由点电荷形成的电场的叠加可知，在x轴上还有一点与P点电场强度相同，A对，B错．由P点至O点电势升高，所以试探电荷+q从P点移至O点，电势能增大，C正确，D错，正确答案AC．
【答案】 AC
二、带电粒子在匀强电场中的加速运动
【例2】 如图甲所示，真空中相距d=5cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)，其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示．将一个质量为m=2.0×10-27kg，电量为q=+1.6 ×10-19C的带电粒子从紧临B板处释放，不计重力．求
甲 乙
(1)在t=0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小；
(2)A板电势变化频率多大时，在t = 到t = 时间内从紧临B板处无初速释放该带电粒子，粒子不能到达A板．
【解析】 (1)电场强度E=
带电粒子所受电场力F=qE= =ma
所以a= =4.0×109m/s2．
(2)带电粒子在t =～t= 向A板做匀加速运动，在t= ～t= 向A板做匀减速运动，速度减为零后将返回．粒子向A板运动可能的最大位移
s=2×a()2=aT2
要求粒子不能到达A板，有s由f = ，电势变化频率应满足f >eq \r() =5×104Hz．
【答案】 (1)4．0×l09m/s2 (2) 5×104Hz
【总结评述】 粒子的运动方向由粒子的速度和所受电场力共同决定，当电场的方向发生变化时，粒子的运动方向不一定发生变化．要注意粒子的运动性质及运动轨迹的分析．
变式训练 2
(2009·江苏南京)如图甲所示，三个相同的金属板共轴排列，它们的距离与宽度均相同，轴线上开有小孔，在左边和右边两个金属板上加电压u后，金属板问就形成匀强电场；有一个比荷 =1.0×10-2C/kg的带正电的粒子从左边金属板小孔轴线A处由静止释放，在电场力作用下沿小孔轴线射出(不计粒子重力)，其υ- t图像如图乙所示，则下列说法正确的是 ( )
甲 乙
A．右侧金属板接电源的正极
B．所加电压U=100V
C．乙图中的υ2=2m/s
D．通过极板间隙所用时间比为l：(－1)
【解析】 带正电的粒子在电场力作用下由左极板向右运动，可判断左侧金属板接电源正极，A选项错误．由υ- t图像可知，带电粒子的加速度a=2m/s2，两极板间距d=0.25m，由Eq=ma得E=200V/m，U=2Ed=100V，B选项正确．可将粒子在两个间隙闻的运动看成是初速度为零的连续的匀加速运动，两间隙距离相等，则有t1：t2=1：(－1)．D选项正确；υ1：υ2=1：，将υ1=1.0m/s代入，得υ2=m/s，C选项错误．
【答案】 BD
三、带电粒子在匀强电场的偏转
【例3】 (2009·常州高级中学第二次阶段调研)如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴
区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，茗轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A(－2l0，－l0)到C(－2l0，0)区域内，连续分布着电荷量为＋q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度υ0沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′(0，ι0)沿石轴正方向射出电场，其轨迹如图所示．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
(1)求匀强电场的电场强度E；
(2)求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿茗轴正方向运动
[解析] (1)从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得：
Χ轴方向2ι0=uoT
Y轴方向2ι0=
联立解得E=
(2)设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿χ轴正方向，粒子第一次到达石轴用时△t，水平位移为△χ，则有：
△Χ=uo△t, △y=
粒子从电场射出时的速度方向也将沿戈轴正方向，则有：
2ιo=n×2△Χ
联立解得：
△y=（）
即AC间y坐标为：
y=
[答案](1)
(2)(n=l，2，3，…)
[总结评述] 对于带电粒子在电场中做曲线运动的问题，首先要对带电粒子的运动进行分解，在两个不同的方向分别应用牛顿运动定律和运动学公式．对于在不同区域电场不同的问题，要注意从一个电场区域到另一个电场区域带电粒子的运动的变化，综合分析求解结果．
变式训练嚣
如图所示，一个质量为m，电荷量为q的粒子，自A点垂直电场线方向进入有界的匀强电场，它从日点飞出时速度为uB,uB方向与电场强度方向的夹角为l20 °，已知AB沿电场线方向相距d，不计重力，求：
(1A、B两点间的电势差大小u；
(2)粒子从A到B的时间；
(3)匀强电场的宽度上L
[解析] 带电粒子在匀强电场中只受水平向左的电场力而做匀加速直线运动，垂直电场线方向粒子做匀速直线运动．
(1)由运动的分解得：uA= ①
由动能定理得：qU=
②
联立①②解得：U=
(2)电场线方向：UBsin30°=at ③
粒子的加速度a= ④
联立③④解得：t=
(3)由L=uAt得：L=-
[答案](1)
(2)4a(3)
力电综合问题
[例4] (2009·浙江理综，23)如图所示，相距为d的平行金属板A、B竖直放置，在两板之间水平放置一绝缘平板．有一质量m、电核量q（q>0）的小物块在与金属板A
相距ι处静止．若某一时刻在金属板A、B间加一电压UAB=，小物块与金属板只发生了一次碰撞，碰撞后电荷量变为-，并以与碰前大小相等的速度反方向弹回．已知小物块与绝缘平板间的动摩擦因数为μ，若不计小物块电荷量对电场的影响和碰撞时间．则
(1)小物块与金属板A碰撞前瞬间的速度大小是多少
(2)小物块碰撞后经过多长时问停止运动 停在何位置7
[解析]
(1)加电压后，B板电势高于A板，小物块在电场力与摩擦力共同作用下向A板做匀加速直线运动．电场强度为
小物块所受的电场力与摩擦力方向相反，则合外力为
F合=qE—Ixmg
故小物块运动的加速度为
设小物块与A板相碰时的速度为u1，由
u2 1=2a1ι
解得
u1=
(2)小物块与A板相碰后以与”．大小相等的速度反弹，因电荷量及电性改变，电场力大小与方向发生变化．摩擦力的方向发生改变，小物块做匀减速直线运动．小物块所受的合外力大小为F合=
加速度大小为
设小物块碰后到停止的时间为t，注意到末速度为零，有O-u1= -2a2t
解得
设小物块碰后停止时距离A板的距离为χ，注意到末 速度为零，有O-u21= -2a2χ
则χ=
或距离B板为d-2t
[答案] (1) (2)距A板2ι
[总结评述] 处理带电粒子在电场中的运动问题实际是力学规律和方法的合理选择和迁移，只是受力分析时别漏掉电场力，应用牛顿第二定律或动能定理解题时别忘了电场力和电场力做功及正负．
变式训练
(2009·江苏宿迁)如图所示，竖直放置的劲度系数为k的轻质弹簧，上端与质量为m的小球连接，下端与放在水平桌面上的质量为朋的绝缘物块相连．小球与弹簧绝缘，小球带正电，带电量为q．物块、弹簧和小球组成的系统处于静止状态．现突然加上一个竖直向上、大小为E的匀强电场，某时刻物块对水平面的压力为零，小球的速度为u，则：
(1)从加上匀强电场到物块对水半回的压力为零的过程中，小球电势能改变量的大小为多少
(2)此过程中弹簧的弹性势能的改变量为多少
[解析] (1)未加电场时，小球静止，弹簧处于压缩状态，被压缩量为；
加上电场后，小球受到向上的电场力作用，大小为qE．，小球向上加速运动，到物块对水平面压力为零时，即弹簧拉力大小为Mg，此时弹簧处于拉伸状态，伸长量为．则这段时间内，小球上升高度为
小球电势能改变量的大小为
(2)由能量转化及守恒定律可知：
△E电=△EK+△EP+△E弹
解得：
△E=
[答案](1)牮(2)
同学们：针对你们复习内容的巩固与掌握，
请认真完成课后强化作业(七)
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