第二讲 带电粒子在磁
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第二讲 带电粒子在磁场、复合场中的运动
核心内容整合
一、磁场的性质及描述
1．三种描述
（1)磁感应强度：B=(定义式类比E=)，条件：，I⊥B．
(2)磁感线：形象描绘磁场强弱和方向，是闭合曲线(区别于电场线)．
(3)磁通密度：B：，S为垂直于B的有效面积．
2．两个定则
(1)安培定则：判断电流周围的磁场方向．
(2)左手定则：判断电流或运动电荷在磁场中的受力方向．
友情提示 (1)曰由磁场自身性质决定，与磁场中是否存在电流及IL的乘积大小无关，与Φ、S也无关，磁感线的疏密由磁场强弱决定．
(2)两电流相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，异向电流相互排斥；两电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势．
二、安培力和洛伦兹力
名称项目 安培力 洛伦兹力
作用对象 通电导体 运动电荷
力的大小 I和B垂直时最大：F安=BlLI和B平行时最小：F安=O u和B垂直时最大：F洛=quBu和B平行时最小：F洛=0
力的方向 左手定则：F安与I垂直．与B垂直。F安总垂直于I与B决定的平面 左手定则：F洛与u垂直，与B垂直．F洛总垂直于u与B决定的平面
作有效果 改变导体棒的运动状态；对导体棒做功，实现电能和其他形式能的相互转化 只改变速度方向，不改变速度大小；洛伦兹力永远不对运动电荷做功
本质联系 安培力实际上是在导线中定向运动的电荷所受到的洛伦兹力的宏观表现
警示 判断洛伦兹力方向时要先区分正负电荷及其运动方向，再用左手定则，四指所指的方向应为正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向．
三、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若u∥B，带电粒子以速度”做匀速直线运动．
2．若u⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度”做匀速圆周运动．
(1)向心力由洛伦兹力提供：quB=
(2)轨道半径：R=
(3)周期：T
友情提示 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(T=)与粒子的速度u、运动半径R无关，仅与粒子的质量、电荷量和磁感应强度有关．
3．带电粒子在有界磁场中运动的分析方法(1)圆心的确定：轨迹圆心(0)总是位于入射
点(A)和出射点(B)所受洛伦兹力(F洛)作用线的交点上或AB弦中垂线(00′)与任一个，F洛作用线的交点上。如图所示．
(2)半径的确定：利用平面几何关系，求出轨迹圆的半径，如R
(3)运动时间的确定：。
友情提示 (1)粒子从某一直线边界射入磁场后又从该边界射出时，速度与边界的夹角相等；
(2)在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出——对称性；
(3)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
四、带电粒子在复合场中的运动
1．三种场力的比较
项目 名称 重力 电场力 洛伦兹力
力的大小 G=mg，与物体的状态无关 F=qE，与电荷的运动状态无关，在匀强电场中为恒力 u=0或u∥B时，不受洛伦兹力；u⊥B时，洛伦兹力最大，Fm=quB
力的方向 总是竖直向下的 正电荷受力方向与E方向相同；负电荷受力方向与E方向相反 由左手定则判断，总垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向所确定的平面
做功情况 与路径无关，只取决于初、末位置的高度差，W=mgh；会引起重力势能变化 与路径无关，只取决于初、末位置的电势差，W=qU；会引起电势能变化 对带电粒子永远不做功；只改变。的方向而不改变其夭小
2．几个典型实例
速度选择器、质谱仪、磁流体发电机、电磁流量计、回旋中速器等．要掌握其电、磁工作原理，熟练推导重要结论．
(1)速度选择器模型：带电粒子以速度”射入正交的电场和磁场区域时，当电场力和磁场力方向相反且满足”u=时，带电粒子做匀速直线运动(被选择)与带电粒子的带电量大小、正负及质量无关，但仅改变”、E、B中的任一个方向时，粒子将发生偏转．
(2)回旋加速器
①为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须等于粒子做圆周运动的周期．
②粒子做匀速圆周运动的最大半径等于D型盒的半径R．粒子的最大动能加速电压无关．
③将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾相连起来可等效为一个初速为零的匀加速直线运动．
典型例题剖析
磁场的性质及磁场力
[例1] (2009·广东高三六校联考)关于磁感应强度，正确的说法是 ( )
A．根据定义B=F/IL，磁场中某点的磁感应强度B与F成正比，与I与反比
B．B是矢量，方向与，的方向一致
C．日是矢量，方向与F的方向相反
D．在确定的磁场中，同一点的口是确定的，不同点的日可能不同，磁感线密的地方B大些，磁感线疏的地方B小些
[解析] 磁感应强度是磁场本身的性质，与放入磁场中的电流的电流强度I或受力大小F无关，A不正确．由左手定则，F的方向与B的方向总是垂直的，既不与B一致，也不与B相反，B、C不正确．在确定的磁场中，同一点的B是确定的，不同点的B可能不同，磁感线密的地方B大些，磁感线疏的地方B小些，D正确．
[答案] D
[总结评述] 磁场的磁感应强度只取决于磁场本身：与试探电流元无关，正如电场中的电场强度与检验电荷无关一样，是场的本身属性．类似的物理量还有速度、加速度、电阻、电容、电势差等，凡是用比值定义的物理量都和定义式中的物理量无必然关系．
变式训练
(2009·山西大同调研)下列叙述正确的是 ( )
A．放在匀强磁场中的通电导线受到的磁场力恒定
B．沿磁感线方向，磁场逐渐减弱
C．磁场的方向就是通电导体所受磁场力的方向
D．安培力的方向一定垂直磁感应强度和直导线所决定的平面
[解析] 磁场力F=BILsin，在一磁场中，对应电流I、B、L确定，安培力的大小还与导线、磁感应强度之间夹角0有关，A不正确．磁感线的疏密程度决定磁场的强弱，
沿磁感线方向，磁场可以增强，也可以减弱，B不正确．由左手定则可知，安培力的方向一定垂直于磁感应强度和直导线所决定的平面，D正确，C不正确．
[答案] D
带电粒子在磁场中的偏转
[例2] (2008·重庆)图为一种质谱仪的工作原理示意图．在以0为圆心，0H为对称轴，夹角为2的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场．对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点．CM垂直磁场左边界于M，且OM=d．现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为u0若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D试求：
(1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑以沿CM方向运动的离子为研究对象)；
(2)离子沿与CM成角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
(3)线段CM的长度．
[解析] (1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由qu0B= 。得B=，磁场方向垂直纸面向外
(2)设沿CN运动的离子速度大小为u，在磁场中的轨
道半径为R′，运动时间为t，由ucos=u0。
得
方法一：设弧长为s，
s=2
得
(3)CM=MNcot,解得
方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则t=T=
联立以上三式求解得CM=dcot．
[答案] (1)，垂直纸面向外 (2) (3)dcot
[总结评述] (1)处理带电粒子在磁场中的圆周运动问题的关键是画出符合题意的轨迹图，确定圆心，然后根据几何关系确定半径、圆心角．
(2)带电粒子在匀强磁场中的偏转与在匀强电场中的偏转性质不同，磁场中的偏转轨迹为圆或圆弧，问题的求解体现了数理知识的巧妙结合，而电场中的偏转轨迹为抛物线，常需借助正交分解的方法来处理．
变式训练
如图所示一电子(电荷量数值为e，质量为m)以速度u垂直射入宽度为d的匀强磁场中，磁场上、下方向范围无限大，穿出磁场时的速度方向与电子原来入射时的速度方向间的夹角是30°，则
(1)匀强磁场的磁感应强度为多大
(2)穿过磁场的时间是多长
[解析] (1)如图所示，从入射点和出射点作速度的垂线，交于一点0，0即为圆心．
由几何关系可知，电子运动的半径R
由于电子在磁场中做匀速圆周运动，有
(2)电子做匀速圆周运动的周期
所以电子在磁场中的运动时间 。
[答案](1)(2)
带电粒子在不同场中的连续运动问题
[例3] (2009·山东)如图甲所示，建立Oχy坐标系，两平行极板P、Q垂直于Y轴且关于χ轴对称，极板长度和板间距均为ι，在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oχy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿戈轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t。时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t。时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、ι、t。、B为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压U0的大小．
(2)求时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短 求此最短时间．
[解析] (1)t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t。时刻刚好从极板边缘射出，在轴负方向偏移的距离为，则有E①：②，
③，联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④．
(2)进刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．带电粒子沿χ轴方向的分速度大小为u0⑤，带电粒子离开电场时沿Y轴负方向的分速度大小为⑥，设带电粒子离开电场时的速度大小为u⑦，设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R则有⑧，联立③⑤⑥⑦⑧式解得⑨．
(3)2t0进刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开磁场时沿Y轴正方向的分速度为如⑩，设带电粒子离开电场时速度方向与Y轴正方向的夹角为，则，联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为，带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得．
[答案](1)；(2)(3)
变式训练
(2009·天津)如图所示，直角坐标系χOy位于竖直平面内，在水平的石轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电荷的小球，从y轴上的A点水平向右抛出．经z轴上的肘点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从石轴上的Ⅳ点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过肘点时的速度方向与戈轴正方向夹角为a不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度u0的大小；
(3)A点到χ轴的高度h．
[解析] (1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，其所受电场力必须与重力平衡，有
qE=mg ①
②
重力的方向是竖直向下，电场力的方向则应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上．
(2)小球做匀速圆周运动，0′为圆心，MN为弦长，∠MO′P =，如图所示．设半径为r，由几何关系知
=sin ③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速率为w，有
quB= ④
由速度的合成与分解知
=cos ⑤
由③④⑤式得
⑥
(3)设小球到M点时的竖直分速度为uy，它与水平分速度的关系为
⑦
由匀变速直线运动规律
⑧
由⑥⑦⑧式得
[答案](1) ，竖子向上(2) （3）
带电粒子在磁场中运动的极值问题
[例4] (2009·安徽安庆六校联考)如图所示，环状磁场(方向垂直于纸面)所围成的中空区域具有束缚带电粒子的作用，中空区域中带电粒子只要速度不大，都不会飞出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径Rl=0．5m，外半径R2=1．0m，磁场的磁感应强度为B=1．0T，若被束缚的带电粒子的比荷为，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，试求：
(1)粒子沿圆环的半径方向射入磁场而不穿越磁场的最大速度．
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．
[解析] (1)粒子沿圆环半径方向射入磁场而恰好不射出时，其轨迹如图所示．
对Rt△OA01，由几何知识可得：
解得：r=0．375m
由
(2)若所有粒子不能穿越磁场当于从内环圆周边缘上一点(如A)沿任何方向射出的子都不能穿越磁场．在所有粒子中沿内环边缘切线飞出带电粒子最有可能飞出磁场，当这样的粒子恰好不能飞磁场时，轨迹如图所示，其轨道半径为：
r=(R2一R1)／2=0．25m
由r=
[答案](1)1．5 X107m／s
(2)1．0×107m／s
[总结评述] 在解答带电粒子有界磁场中运动的极值问题时，注意下列结论的应用：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度”一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率w变化时，圆周角越大，运动时间越长．
(4)如从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．
变式训练
(2009·福建)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T，在χ轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以u=3．5×104m／s的速率从P处射入磁场，若粒子在Y轴上距坐标原点L=0．50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力．
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿Y轴正方向做匀塞直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从立子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在朋处观测到按题设条件运动的上述粒子，E第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩乡磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形．
[解析] (1)设粒子在磁场中的运动半径为r．如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得 ②
联立①②并代入数据得
(或5．0×10 7C／kg) ③
(2)设所加电场的场强大小为E．如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿Y轴正方向，题
意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
qE=qvB ④
代入数据得E=70N／C
所加电场的场强方向沿x轴正方向．由几何关系可知，圆弧
PQ所对应的圆心角为450。，设带电粒子做匀速圆周运动的周
期为T，所求时间为t，则有
t=
t=
联立①⑥⑦并代入数据得t=7.9-6s
(3)如图丙，所求的最小矩形是M M1 P1 P，该区域面积S=2r2 ⑨
联立①⑨并代入数据得S=0．25m2
矩形如图丙中MM1P1P(虚线)
[答案](1)4．9×107C／kg(2)7．9 X 10-6s
(3)0．25m2矩形见解析带电粒子在磁场中的周期性运动
[例5] (2009·全国I)如图，在石轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于Χy平面向外．P是Y轴上距原点为h的一点，N0，为戈轴上距原点为a的一点．A是一块平行于χ轴的挡板，与χ轴的距离为，A的中点在Y轴上，长度略小于．带电粒子与挡板碰撞前后，χ方向的分速度不变，Y方向的分速度反向、大小不变．质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点，不计重力，求粒子入射速度的所有可能值．
[解析] 设粒子的入射速度为u，第一次射出磁场的点为N′0，与板碰撞后再次进入磁场的位置为N1，粒子在磁场中运动的半径为R，有R= ①
粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离χ1，保持不变
χl=N′0N02=Rsin ②
粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离χ1，始终不变，与N′oN1相等．由图可以看出戈
χ2=a ③
设粒子最终离开磁场时，与挡板相碰n次(n=0，1，2…)．若粒子能回到P点，由对称性，出射点的χ坐标应为-a，即
(n+1) χl-nχ2=2a ④
由③④式得
χl ⑤
若粒子与挡板发生碰撞，有
χl-χ2> ⑥
联立③④⑥式得
n<3 ⑦
联立①②⑤式得
⑧
式中
代入⑧式得
⑨
⑩
⑾
[答案]
[总结评述] (1)带电粒子在磁场中的周期性运动一般有两种情况：一种是磁场的强弱或方向做周期性变化引起；一种是其他外界约束下的往复运动．无论哪种情况，能否根据题意画出可能的运动情况是进一步求解的前题和基础．
(2)周期性运动的物体在模型上常具有“对称性”，结果常具有“多样性”，这都须引起注意．
变式训练
(2008·山东理综)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板问加有空问分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)．在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)．若电场强度E。、磁感应强度B。、粒子的比荷均已知，且t0=，两板间距h=．
(1)求粒子在0～t0，．、时间内的位移大小与极板间距h的比值．
(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h表示)．
(3)若板问电场强度E随时间的变化仍如图a所示，磁场的变化改为如图C所示，试画出粒子在板问运动的轨迹图(不必写计算过程)．
[解析] (1)粒子在0～t。时间内运动的位移大小为
联立以上各式解得
(2)粒子在t0～2t。时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度大小为u1，轨道半径为R1，周期为T，则u1=at。，qu1B。=m
联立得，又即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t0～3t0 。时间内，粒子做初速度为u1，的匀加速直线运动，设位移大小为S2，则
S2=u1t0，解得s2=
由于s1+s2则，解得
由于s1+s2+R2(3)磁场变化改为题图c所示后，粒子在电场中的运才情况不变，粒子在磁场中的圆周运动轨迹改为两个半圆争尾相接，其运动的轨迹如图乙所示．
[答案] (1)粒子0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值 (2)粒子在极板间做圆周运动的最大半径 (3)粒子在板问运动的轨迹图见图乙
带电粒子在复合场中的运动
[例6] 如图所示，坐标系χOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在χ>0的空间里有沿χ轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中χ轴上的A点，沿着与水平方向成角的斜向下直线做匀速运动，经过Y轴上的B点进入χ<0的区域，要使小球进入χ<0的区域后能在竖直面
内做匀速圆周运动，需在χ<0的区域内另加一匀强电场．若带电小球圆周运动通过χ轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求：
(1)小球运动速率的大小．
(2)在χ<0的区域所加电场大小和方向．
(3)小球从日点运动到C点所用时间及0A的长度．
[解析] (1)小球从A运动到B的过程中，小球受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知sin30°=，所以小球的运动速率为：
(2)小球在χ<0的区域做匀速圆周运动，则小球的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供小球做圆周运动的目心力．所以：mg=qE ′，又tan30°=
所以E′=，方向竖直向上
(3)如图所示，连接BC，过B作AB的垂线交χ轴于0′．因为∠，，所以在
△AB0′中，∠A0′B=60°，又OA=OC，故∠OCB=0=30°，所以∠CB0′=30°，0′C=0′B，则为O′小球做圆周运动的圆心．
设小球做圆周运动的半径为R，周期为T，则0′C=0′B=R且R=，T=,由于
∠CO′B曰=120°，小球从B运动到C的时间为
又∠O′BO=30°，所以O′O=
所以即
又
[答案] (1)(2)，方向竖直向上 （3）
[总结评述] 若电荷在上述复合场中做匀速圆周运动时，由于物体做匀速圆周运动的条件是所受合外力大小恒定、方向时刻和速度方向垂直，这是任何几个恒力或恒力和某一变力无法合成实现的，只有洛伦兹力可满足该条件．也就是说，电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现．处理此类问题，一定要牢牢把握这一隐含条件．
变式训练
(2009·江苏淮安)如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R=0．50m的绝缘光滑槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=0．50T．有一个质量m=0．10g，带电量为q=+1．6×10-3C的小球在水平轨道上向右运动．若小球恰好能通过最高点，重力加速度g=10m/s2试求：
(1)小球在最高点所受的洛伦兹力，；
(2)小球的初速度％．
[解析] (1)设小球在最高点的速度为”，则小球在最高点所受洛伦兹力
F=quB ①
方向竖直向上；由于小球恰好能通过最高点，故小球在最高点由洛伦兹力和重力共同提供向心力，即
②
将①代入②式求解可得u=1m／s，F=8×10-4N
(2)由于无摩擦力，且洛伦兹力不做功，所以小球在运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可得
③
其中h=2R ④
求解可得u0=
[答案](1)8 x10-4(2)／s
同学们：针对你们所学内容的巩固与掌握，
请认真完成课后强化作业(八)
及阶段性测试题(四)
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第二讲 带电粒子在磁场、复合场中的运动
核心内容整合
一、磁场的性质及描述
1．三种描述
（1)磁感应强度：B=(定义式类比E=)，条件：，I⊥B．
(2)磁感线：形象描绘磁场强弱和方向，是闭合曲线(区别于电场线)．
(3)磁通密度：B：，S为垂直于B的有效面积．
2．两个定则
(1)安培定则：判断电流周围的磁场方向．
(2)左手定则：判断电流或运动电荷在磁场中的受力方向．
友情提示 (1)曰由磁场自身性质决定，与磁场中是否存在电流及IL的乘积大小无关，与Φ、S也无关，磁感线的疏密由磁场强弱决定．
(2)两电流相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，异向电流相互排斥；两电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势．
二、安培力和洛伦兹力
名称项目 安培力 洛伦兹力
作用对象 通电导体 运动电荷
力的大小 I和B垂直时最大：F安=BlLI和B平行时最小：F安=O u和B垂直时最大：F洛=quBu和B平行时最小：F洛=0
力的方向 左手定则：F安与I垂直．与B垂直。F安总垂直于I与B决定的平面 左手定则：F洛与u垂直，与B垂直．F洛总垂直于u与B决定的平面
作有效果 改变导体棒的运动状态；对导体棒做功，实现电能和其他形式能的相互转化 只改变速度方向，不改变速度大小；洛伦兹力永远不对运动电荷做功
本质联系 安培力实际上是在导线中定向运动的电荷所受到的洛伦兹力的宏观表现
警示 判断洛伦兹力方向时要先区分正负电荷及其运动方向，再用左手定则，四指所指的方向应为正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向．
三、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若u∥B，带电粒子以速度”做匀速直线运动．
2．若u⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度”做匀速圆周运动．
(1)向心力由洛伦兹力提供：quB=
(2)轨道半径：R=
(3)周期：T
友情提示 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(T=)与粒子的速度u、运动半径R无关，仅与粒子的质量、电荷量和磁感应强度有关．
3．带电粒子在有界磁场中运动的分析方法(1)圆心的确定：轨迹圆心(0)总是位于入射
点(A)和出射点(B)所受洛伦兹力(F洛)作用线的交点上或AB弦中垂线(00′)与任一个，F洛作用线的交点上。如图所示．
(2)半径的确定：利用平面几何关系，求出轨迹圆的半径，如R
(3)运动时间的确定：。
友情提示 (1)粒子从某一直线边界射入磁场后又从该边界射出时，速度与边界的夹角相等；
(2)在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出——对称性；
(3)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
四、带电粒子在复合场中的运动
1．三种场力的比较
项目 名称 重力 电场力 洛伦兹力
力的大小 G=mg，与物体的状态无关 F=qE，与电荷的运动状态无关，在匀强电场中为恒力 u=0或u∥B时，不受洛伦兹力；u⊥B时，洛伦兹力最大，Fm=quB
力的方向 总是竖直向下的 正电荷受力方向与E方向相同；负电荷受力方向与E方向相反 由左手定则判断，总垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向所确定的平面
做功情况 与路径无关，只取决于初、末位置的高度差，W=mgh；会引起重力势能变化 与路径无关，只取决于初、末位置的电势差，W=qU；会引起电势能变化 对带电粒子永远不做功；只改变。的方向而不改变其夭小
2．几个典型实例
速度选择器、质谱仪、磁流体发电机、电磁流量计、回旋中速器等．要掌握其电、磁工作原理，熟练推导重要结论．
(1)速度选择器模型：带电粒子以速度”射入正交的电场和磁场区域时，当电场力和磁场力方向相反且满足”u=时，带电粒子做匀速直线运动(被选择)与带电粒子的带电量大小、正负及质量无关，但仅改变”、E、B中的任一个方向时，粒子将发生偏转．
(2)回旋加速器
①为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须等于粒子做圆周运动的周期．
②粒子做匀速圆周运动的最大半径等于D型盒的半径R．粒子的最大动能加速电压无关．
③将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾相连起来可等效为一个初速为零的匀加速直线运动．
典型例题剖析
磁场的性质及磁场力
[例1] (2009·广东高三六校联考)关于磁感应强度，正确的说法是 ( )
A．根据定义B=F/IL，磁场中某点的磁感应强度B与F成正比，与I与反比
B．B是矢量，方向与，的方向一致
C．日是矢量，方向与F的方向相反
D．在确定的磁场中，同一点的口是确定的，不同点的日可能不同，磁感线密的地方B大些，磁感线疏的地方B小些
[解析] 磁感应强度是磁场本身的性质，与放入磁场中的电流的电流强度I或受力大小F无关，A不正确．由左手定则，F的方向与B的方向总是垂直的，既不与B一致，也不与B相反，B、C不正确．在确定的磁场中，同一点的B是确定的，不同点的B可能不同，磁感线密的地方B大些，磁感线疏的地方B小些，D正确．
[答案] D
[总结评述] 磁场的磁感应强度只取决于磁场本身：与试探电流元无关，正如电场中的电场强度与检验电荷无关一样，是场的本身属性．类似的物理量还有速度、加速度、电阻、电容、电势差等，凡是用比值定义的物理量都和定义式中的物理量无必然关系．
变式训练
(2009·山西大同调研)下列叙述正确的是 ( )
A．放在匀强磁场中的通电导线受到的磁场力恒定
B．沿磁感线方向，磁场逐渐减弱
C．磁场的方向就是通电导体所受磁场力的方向
D．安培力的方向一定垂直磁感应强度和直导线所决定的平面
[解析] 磁场力F=BILsin，在一磁场中，对应电流I、B、L确定，安培力的大小还与导线、磁感应强度之间夹角0有关，A不正确．磁感线的疏密程度决定磁场的强弱，
沿磁感线方向，磁场可以增强，也可以减弱，B不正确．由左手定则可知，安培力的方向一定垂直于磁感应强度和直导线所决定的平面，D正确，C不正确．
[答案] D
带电粒子在磁场中的偏转
[例2] (2008·重庆)图为一种质谱仪的工作原理示意图．在以0为圆心，0H为对称轴，夹角为2的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场．对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点．CM垂直磁场左边界于M，且OM=d．现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为u0若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D试求：
(1)磁感应强度的大小和方向(提示：可考虑以沿CM方向运动的离子为研究对象)；
(2)离子沿与CM成角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
(3)线段CM的长度．
[解析] (1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由qu0B= 。得B=，磁场方向垂直纸面向外
(2)设沿CN运动的离子速度大小为u，在磁场中的轨
道半径为R′，运动时间为t，由ucos=u0。
得
方法一：设弧长为s，
s=2
得
(3)CM=MNcot,解得
方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则t=T=
联立以上三式求解得CM=dcot．
[答案] (1)，垂直纸面向外 (2) (3)dcot
[总结评述] (1)处理带电粒子在磁场中的圆周运动问题的关键是画出符合题意的轨迹图，确定圆心，然后根据几何关系确定半径、圆心角．
(2)带电粒子在匀强磁场中的偏转与在匀强电场中的偏转性质不同，磁场中的偏转轨迹为圆或圆弧，问题的求解体现了数理知识的巧妙结合，而电场中的偏转轨迹为抛物线，常需借助正交分解的方法来处理．
变式训练
如图所示一电子(电荷量数值为e，质量为m)以速度u垂直射入宽度为d的匀强磁场中，磁场上、下方向范围无限大，穿出磁场时的速度方向与电子原来入射时的速度方向间的夹角是30°，则
(1)匀强磁场的磁感应强度为多大
(2)穿过磁场的时间是多长
[解析] (1)如图所示，从入射点和出射点作速度的垂线，交于一点0，0即为圆心．
由几何关系可知，电子运动的半径R
由于电子在磁场中做匀速圆周运动，有
(2)电子做匀速圆周运动的周期
所以电子在磁场中的运动时间 。
[答案](1)(2)
带电粒子在不同场中的连续运动问题
[例3] (2009·山东)如图甲所示，建立Oχy坐标系，两平行极板P、Q垂直于Y轴且关于χ轴对称，极板长度和板间距均为ι，在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oχy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿戈轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t。时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t。时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、ι、t。、B为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压U0的大小．
(2)求时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短 求此最短时间．
[解析] (1)t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t。时刻刚好从极板边缘射出，在轴负方向偏移的距离为，则有E①：②，
③，联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④．
(2)进刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．带电粒子沿χ轴方向的分速度大小为u0⑤，带电粒子离开电场时沿Y轴负方向的分速度大小为⑥，设带电粒子离开电场时的速度大小为u⑦，设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R则有⑧，联立③⑤⑥⑦⑧式解得⑨．
(3)2t0进刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开磁场时沿Y轴正方向的分速度为如⑩，设带电粒子离开电场时速度方向与Y轴正方向的夹角为，则，联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为，带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得．
[答案](1)；(2)(3)
变式训练
(2009·天津)如图所示，直角坐标系χOy位于竖直平面内，在水平的石轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电荷的小球，从y轴上的A点水平向右抛出．经z轴上的肘点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从石轴上的Ⅳ点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过肘点时的速度方向与戈轴正方向夹角为a不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度u0的大小；
(3)A点到χ轴的高度h．
[解析] (1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，其所受电场力必须与重力平衡，有
qE=mg ①
②
重力的方向是竖直向下，电场力的方向则应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上．
(2)小球做匀速圆周运动，0′为圆心，MN为弦长，∠MO′P =，如图所示．设半径为r，由几何关系知
=sin ③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速率为w，有
quB= ④
由速度的合成与分解知
=cos ⑤
由③④⑤式得
⑥
(3)设小球到M点时的竖直分速度为uy，它与水平分速度的关系为
⑦
由匀变速直线运动规律
⑧
由⑥⑦⑧式得
[答案](1) ，竖子向上(2) （3）
带电粒子在磁场中运动的极值问题
[例4] (2009·安徽安庆六校联考)如图所示，环状磁场(方向垂直于纸面)所围成的中空区域具有束缚带电粒子的作用，中空区域中带电粒子只要速度不大，都不会飞出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径Rl=0．5m，外半径R2=1．0m，磁场的磁感应强度为B=1．0T，若被束缚的带电粒子的比荷为，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，试求：
(1)粒子沿圆环的半径方向射入磁场而不穿越磁场的最大速度．
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．
[解析] (1)粒子沿圆环半径方向射入磁场而恰好不射出时，其轨迹如图所示．
对Rt△OA01，由几何知识可得：
解得：r=0．375m
由
(2)若所有粒子不能穿越磁场当于从内环圆周边缘上一点(如A)沿任何方向射出的子都不能穿越磁场．在所有粒子中沿内环边缘切线飞出带电粒子最有可能飞出磁场，当这样的粒子恰好不能飞磁场时，轨迹如图所示，其轨道半径为：
r=(R2一R1)／2=0．25m
由r=
[答案](1)1．5 X107m／s
(2)1．0×107m／s
[总结评述] 在解答带电粒子有界磁场中运动的极值问题时，注意下列结论的应用：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度”一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率w变化时，圆周角越大，运动时间越长．
(4)如从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．
变式训练
(2009·福建)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T，在χ轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以u=3．5×104m／s的速率从P处射入磁场，若粒子在Y轴上距坐标原点L=0．50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力．
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿Y轴正方向做匀塞直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从立子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在朋处观测到按题设条件运动的上述粒子，E第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩乡磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形．
[解析] (1)设粒子在磁场中的运动半径为r．如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得 ②
联立①②并代入数据得
(或5．0×10 7C／kg) ③
(2)设所加电场的场强大小为E．如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿Y轴正方向，题
意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
qE=qvB ④
代入数据得E=70N／C
所加电场的场强方向沿x轴正方向．由几何关系可知，圆弧
PQ所对应的圆心角为450。，设带电粒子做匀速圆周运动的周
期为T，所求时间为t，则有
t=
t=
联立①⑥⑦并代入数据得t=7.9-6s
(3)如图丙，所求的最小矩形是M M1 P1 P，该区域面积S=2r2 ⑨
联立①⑨并代入数据得S=0．25m2
矩形如图丙中MM1P1P(虚线)
[答案](1)4．9×107C／kg(2)7．9 X 10-6s
(3)0．25m2矩形见解析带电粒子在磁场中的周期性运动
[例5] (2009·全国I)如图，在石轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于Χy平面向外．P是Y轴上距原点为h的一点，N0，为戈轴上距原点为a的一点．A是一块平行于χ轴的挡板，与χ轴的距离为，A的中点在Y轴上，长度略小于．带电粒子与挡板碰撞前后，χ方向的分速度不变，Y方向的分速度反向、大小不变．质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点，不计重力，求粒子入射速度的所有可能值．
[解析] 设粒子的入射速度为u，第一次射出磁场的点为N′0，与板碰撞后再次进入磁场的位置为N1，粒子在磁场中运动的半径为R，有R= ①
粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离χ1，保持不变
χl=N′0N02=Rsin ②
粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离χ1，始终不变，与N′oN1相等．由图可以看出戈
χ2=a ③
设粒子最终离开磁场时，与挡板相碰n次(n=0，1，2…)．若粒子能回到P点，由对称性，出射点的χ坐标应为-a，即
(n+1) χl-nχ2=2a ④
由③④式得
χl ⑤
若粒子与挡板发生碰撞，有
χl-χ2> ⑥
联立③④⑥式得
n<3 ⑦
联立①②⑤式得
⑧
式中
代入⑧式得
⑨
⑩
⑾
[答案]
[总结评述] (1)带电粒子在磁场中的周期性运动一般有两种情况：一种是磁场的强弱或方向做周期性变化引起；一种是其他外界约束下的往复运动．无论哪种情况，能否根据题意画出可能的运动情况是进一步求解的前题和基础．
(2)周期性运动的物体在模型上常具有“对称性”，结果常具有“多样性”，这都须引起注意．
变式训练
(2008·山东理综)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板问加有空问分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)．在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)．若电场强度E。、磁感应强度B。、粒子的比荷均已知，且t0=，两板间距h=．
(1)求粒子在0～t0，．、时间内的位移大小与极板间距h的比值．
(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h表示)．
(3)若板问电场强度E随时间的变化仍如图a所示，磁场的变化改为如图C所示，试画出粒子在板问运动的轨迹图(不必写计算过程)．
[解析] (1)粒子在0～t。时间内运动的位移大小为
联立以上各式解得
(2)粒子在t0～2t。时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度大小为u1，轨道半径为R1，周期为T，则u1=at。，qu1B。=m
联立得，又即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t0～3t0 。时间内，粒子做初速度为u1，的匀加速直线运动，设位移大小为S2，则
S2=u1t0，解得s2=
由于s1+s2
由于s1+s2+R2
[答案] (1)粒子0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值 (2)粒子在极板间做圆周运动的最大半径 (3)粒子在板问运动的轨迹图见图乙
带电粒子在复合场中的运动
[例6] 如图所示，坐标系χOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在χ>0的空间里有沿χ轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中χ轴上的A点，沿着与水平方向成角的斜向下直线做匀速运动，经过Y轴上的B点进入χ<0的区域，要使小球进入χ<0的区域后能在竖直面
内做匀速圆周运动，需在χ<0的区域内另加一匀强电场．若带电小球圆周运动通过χ轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求：
(1)小球运动速率的大小．
(2)在χ<0的区域所加电场大小和方向．
(3)小球从日点运动到C点所用时间及0A的长度．
[解析] (1)小球从A运动到B的过程中，小球受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知sin30°=，所以小球的运动速率为：
(2)小球在χ<0的区域做匀速圆周运动，则小球的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供小球做圆周运动的目心力．所以：mg=qE ′，又tan30°=
所以E′=，方向竖直向上
(3)如图所示，连接BC，过B作AB的垂线交χ轴于0′．因为∠，，所以在
△AB0′中，∠A0′B=60°，又OA=OC，故∠OCB=0=30°，所以∠CB0′=30°，0′C=0′B，则为O′小球做圆周运动的圆心．
设小球做圆周运动的半径为R，周期为T，则0′C=0′B=R且R=，T=,由于
∠CO′B曰=120°，小球从B运动到C的时间为
又∠O′BO=30°，所以O′O=
所以即
又
[答案] (1)(2)，方向竖直向上 （3）
[总结评述] 若电荷在上述复合场中做匀速圆周运动时，由于物体做匀速圆周运动的条件是所受合外力大小恒定、方向时刻和速度方向垂直，这是任何几个恒力或恒力和某一变力无法合成实现的，只有洛伦兹力可满足该条件．也就是说，电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现．处理此类问题，一定要牢牢把握这一隐含条件．
变式训练
(2009·江苏淮安)如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R=0．50m的绝缘光滑槽轨．槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=0．50T．有一个质量m=0．10g，带电量为q=+1．6×10-3C的小球在水平轨道上向右运动．若小球恰好能通过最高点，重力加速度g=10m/s2试求：
(1)小球在最高点所受的洛伦兹力，；
(2)小球的初速度％．
[解析] (1)设小球在最高点的速度为”，则小球在最高点所受洛伦兹力
F=quB ①
方向竖直向上；由于小球恰好能通过最高点，故小球在最高点由洛伦兹力和重力共同提供向心力，即
②
将①代入②式求解可得u=1m／s，F=8×10-4N
(2)由于无摩擦力，且洛伦兹力不做功，所以小球在运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可得
③
其中h=2R ④
求解可得u0=
[答案](1)8 x10-4(2)／s
同学们：针对你们所学内容的巩固与掌握，
请认真完成课后强化作业(八)
及阶段性测试题(四)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 14 页） 版权所有@21世纪教育网
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