第四章 曲线运动 万有引力定律
圆周运动 练习一
1、一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图4-1所示，由于轮胎过热，容易爆胎.爆胎可能性最大的地段是
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图4-2所示。顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度，则物体甲将（ ）
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面作斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道作圆周运动
D．立即离开半圆球作平抛运动
3、如图4-3所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。a b为水平直径，c d为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到三个力作用
B．从a到b，物块处于超重状态
C．从b到a，物块处于超重状态
D．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
4、一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h．当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周．这个大圆的半径为_______。?
5、如图4—5所示，汽车质量为1.5×104 kg，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15 m，如果桥面承受的最大压力不得超过2.0×105 N，汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少?（g＝10 m/s2）
6、如图4-7所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？
7、一半球形容器内壁光滑，半径为R，小球在容器内以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动，如图4－9所示.则小球的轨道平面距容器底的高度h＝ ，不断增大小球能爬到容器最高点吗？
8、绳系着装有水的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，求：
①最高点水不流出的最小速率。
②水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力。
9、如图4—11所示，长L的细绳的一端系住一质量为m的小球，另一端悬于光滑水平面上方h处，h＜L，当小球紧压在面上以转速n r/s做匀速圆周运动时，水平面受到的压力为多大？为使小球不离开水平光滑面，求最大转速n0为多少？
第四章 曲线运动 万有引力定律
圆周运动 练习一（答案）
1、解析：在A、C两点有：mg-F=,F=mg-mg，且R越小，F越大，故FD最大，即D处最容易爆胎. 答案：D
2、【解析】物体应该立即离开半圆球做平抛运动，故选D。
3、 C
4、【解析】雨滴离开雨伞的速度为?v0＝ωr?
雨滴做平抛运动的时间为?t＝
雨滴的水平位移为?s＝v0t＝ωr
如图4-4雨滴落在地上形成的大圆的半径为?
R＝
5、【解析】 首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大、汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时如图4—6所示，汽车对桥面的压力最大.
当汽车经过凹桥面最低点时，设桥面支持力为FN1，由牛顿第二定律有－mg＝m
要求≤2.0×105 N
解得允许的最大速度vm＝7.07 m/s
由上面的分析可知，汽车经过凸桥顶点时对桥面的压力最小，设为.如图4—6乙所示mg－＝m
解得＝1.0×105 N.由牛顿第三定律知，与′等值反向.
6、如图4-8所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2恰为零，设此时角速度为ω1，AC绳上拉力设为T1，对小球有：
①
②
代入数据得：，
要使BC绳有拉力，应有ω>ω1，当AC绳恰被拉直，但其拉力T1恰为零，设此时角速度为ω2，BC绳拉力为T2，则有 ③
T2sin45°=mLACsin30°④
代入数据得：ω2=3.16rad/s。要使AC绳有拉力，必须ω<ω2，依题意ω=4rad/s>ω2，故AC绳已无拉力，AC绳是松驰状态，BC绳与杆的夹角θ>45°，对小球有：
T2cosθ=m ω2LBCsin θ ⑤
而LACsin30°=LBCsin45° LBC=m ⑥
由⑤、⑥可解得 ；
7、分析：小球受力有重力mg和容器的支持力N，其受力示意图如图4－10所示.mg和N的合力F为小球做圆周运动的向心力，由图中几何关系可以得到：F＝mgtanθ
对小球应用牛顿第二定律，则有：F＝mgtanθ＝mRsinθ·ω2
解得cosθ＝
小球轨道平面距容器底的高度为：h＝R－Rcosθ＝R－R＝R－
当小球爬到容器最高点时，θ＝90°，则cosθ＝0.由cosθ＝可知，ω将为无穷大，这是不可能的，故小球不能“爬”到容器的最高点.
8、【审题】当v0=时，水恰好不流出，要求水对桶底的压力和判断是否能通过最高点，也要和这个速度v比较，v>v0时，有压力；v=v0时，恰好无压力；v≤v0时，不能到最高点。
【解析】①水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力
即 则最小速度v0＝＝＝2.42 m/s。
②当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律 F＋mg＝m得：F＝2.6 N。
由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力F′＝－F＝－2.6 N，即方向竖直向上。
9、【解析】 小球在水平面上做匀速圆周运动，所受到的合力全部提供向心力，此合力的求法可由正交分解法的方法求得.转速n较小时，小球除受mg、绳子的拉力FT外，还受到光滑水平面对它的支持力FN的作用，如图4-12所示；n增大时，支持力减小，当FN＝0，则为其临界情况，对应着球不离开此水平面的最大转速n，也是球不接触此水平面的最小转速n，或是球离开此平面的最小转速.
对小球，竖直方向受力平衡，故有
FN+FTcosθ＝mg ①
水平方向有
FTsinθ＝m（2πn）2Lsinθ ②
由几何关系有
cosθ＝h/L ③
联立①②③式得
FN＝mg－m（2πn）2h
球刚要离开此水平面时有FN＝0
由上式得m（2πn）2h＝mg ④
所以n0＝
【答案】 n0＝
第四章 曲线运动 万有引力定律
圆周运动 练习二
1、质量相等的两辆汽车以相同的速度v分别通过半径皆为R的凸形桥的顶部与凹形桥的底部时,两桥面各自受的压力之比N凸∶N凹＝ .
2、如图4—13所示，AB为一圆弧面，在B点轨道的切线是水平的，BC为水平轨道，一小球沿ABC轨道运动.已知其质量为m，轨道半径为R，小球过B点时的速度为v，则小球刚要到达B点时对轨道的压力大小为________，小球刚过B点时对轨道的压力大小为________.
3、重2 t的飞机以100 m/s的速度沿水平圆周盘旋，如图4—14所示，若飞机旋转一周用20π s，则飞机机翼倾角α＝________，飞机所受升力为________N. （g取10 m/s2）
4、如图4－15所示，在竖直转轴MN上距离为0.4 m的O和A处分别用长0.5 m和0.3 m的细线连着一个质量为0.5 kg的小球，使转轴通过细线带着小球转动起来.试求：
（1）ω为多大时，AB线开始被拉直？
（2）若以（1）中所求得的角速度的2倍转动，则AB、OB线中的张力各为多大？（g取10 m/s2）
5、一汽车重4 t，途经一圆弧形拱桥，圆弧半径为20 m.若桥最高处能承受的最大压力为2.94×104 N，则汽车速度多大时才能安全开过桥顶？
6、如图4—16所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B，一质量为m的小球从入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使小球从B处飞出，小球进入入口A的速度v0应满足什么条件？在运动过程中小球对筒的压力有多大？
7、一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图4-17所示，有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求:
(1)微粒的带电性质.
(2)微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置.
8、如图4-18所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到转轴的距离分别为，，A、B与盘间最大静摩擦力均为重力的k = 0.4倍，（g取10m/s2）试求：
(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度；
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度；
(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？
第四章 曲线运动 万有引力定律
圆周运动 练习二(答案)
1、【解析】通过顶部时，mg－N凸′＝，即N凸′＝mg－；通过底部时，N凹′－mg＝，即N凹′＝+mg. 答案：
2、【解析】 小球刚要到B点时，存在向心加速度，则FN－mg＝m，所以FN＝mg+m.小球刚过B点，做匀速运动，受力平衡.则FN′＝mg 【答案】 mg+m mg
3、【解析】 飞机所受升力F垂直于机翼斜向上，它和飞机所受重力mg的合力提供了飞机盘旋的向心力，即F与mg的合力水平指向圆心，如图所示，则
F合＝m ω2r＝mv＝2×103××100 N＝2×104 N
tanα＝＝1
即α＝45°，所以F＝F合＝2.8×104 N 【答案】 45° 2.8×104
4、【解析】（1）刚开始拉直时AB线中拉力为0，mgtanθ＝mrω2,即ω＝＝5 rad/s.
（2）建立水平方向和竖直方向的坐标系，在两个方向上分别列方程
TOBsinθ+TAB＝mrω2,TOBcosθ＝mg
代入数据解得TOB＝11.25 N、TAB＝6.25 N.
5、【解析】汽车以速度v 开过圆弧形拱桥顶，受重力mg和桥的支持力FN，其合力提供向心力，mg-FN=m.当桥最高处承受的最大压力为FN′=2.94×104 N时，桥对汽车的最大支持力FN=FN′=2.94×104 N（依据牛顿第三定律），将FN的值代入上式，可求得汽车安全过桥的最小速度为v1== m/s=7 m/s.当FN=0（桥面不受力）时，有mg=m，求得汽车安全过桥的最大速度为v2== m/s=14 m/s（当v>时，汽车将飞过桥顶，那是不安全的）.故当7 m/s≤v≤14 m/s时，汽车可安全开过桥顶. 答案：7 m/s≤v≤14 m/s
6、【解析】 小球的运动是竖直方向自由落体运动和水平面内匀速圆周运动的合运动.
由于gt2＝h，t＝，小球在水平面内转过了n圈（n≥1）则v0＝
即v0＝·n（n≥1）
筒对球的压力提供了向心力
即：N＝（n≥1）
根据牛顿第三定律得小球对筒的压力为（n≥1）
【答案】 （n≥1） （n≥1）
7、【解析】(1)微粒带负电
(2)微粒做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设圆心离点电荷的距离为H.
对于微粒受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
①
由几何知识得：R=Htanα ②
由①②得：
8、【解析】(1)当细线上开始出现张力时，B与圆盘之间的静摩擦力达到最大值。对B：
即
(2)当A开始滑动时，A、B所受静摩擦力均达最大，设此时细绳张力为T：
对B：
对A：
联立解得：
(3)烧断细线时，绳的拉力消失，B所受静摩擦力不足以提供所需向心力，故将远离圆心；对A，拉力消失后，静摩擦力变小，提供所需向心力，故继续做圆周运动。
第四章 曲线运动 万有引力定律
万有引力定律 练习一
1、土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测定环中各层的线速度v与该层到土星的中心的距离R之间的关系判断
A.若v∝R，则该层是土星的一部分
B.若v∝，则该层是土星的卫星群
C.若v2∝，则该层是土星的卫星群
D.若v2∝，则该层是土星的一部分
2、地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则：
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；
B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。
3、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上.假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比（ ）
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运动的周期将变长
D.月球绕地球运动的周期将变短
4、在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星到地面的距离等于地球半径R.地面上的重力加速度为g，则
A.卫星运动的速度为 B.卫星运动的周期为4π
C.卫星运动的加速度为g D.卫星的角速度为
5、两行星A和B是两均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期为Ta，行星B的卫星b沿圆轨道运行的周期为Tb.设两卫星均为各自中心星体的近地卫星.而且Ta∶Tb=1∶4，行星A和行星B的半径之比RA∶RB=1∶2，则行星A和行星B的密度之比=_______，行星表面的重力加速度之比gA∶gB=_______.
6、设地球为一密度均匀的球体，若将地球半径减为1/2，则地面上的物体受到的重力变为原来的________倍.
7、一艘宇宙飞船绕一个不知名的半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T，求该行星的质量和平均密度.
8、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作在同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R1=2.3×1011 m，地球轨道半径R2=1.5×1011 m，试估算两次相邻的火星冲日的时间间隔（即火星距地球最近时的时间间隔）.
9、太阳光经500 s到达地球，地球的半径是6.4×106 m，试估算太阳质量与地球质量的比值（取1位有效数字）.
第四章 曲线运动 万有引力定律
万有引力定律 练习一 （答案）
1、解答：若环与土星是连在一起的整体，则环上各点随土星自转的角速度ω相等，由关系式v∝ωR知v∝R；若环是土星的卫星群，则可得即v2∝，答案A、C.
2、解析：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各项对比，以明确式中各项的物理意义。AD正确。
3、解析 设地球的质量为M、月球的质量为m，月球轨道半径为r.月球和地球间的万有引力为F＝G. 在把月球上的矿藏搬到地球上的过程中，M＞m且M增大，m减小，而（M+m）不变，所以Mm减小，F减小.B选项正确.。月球绕地球运动的向心力为地球对月球的万有引力，则G＝mr 月球运动的周期为T＝2π 由于地球质量M增大，所以月球周期减小，D选项正确..答案： BD
4、分析：该卫星的轨道半径为r=2R,卫星运动的速度为，A错误；
运动的周期为，B正确；角速度为，D正确；
加速度为，C错误. 本题答案为B、D.
5、解析：卫星绕行星运动，由牛顿第二定律有G ①
行星的密度：=② 由①②两式得= ③ 由③式得.
如忽略行星的自转影响，则可认为行星表面物体的重力等于物体所受到的万有引力，故
mg0=G,GM=R2g0 ④ 由②③④式得：.
6、解析： 当半径减小为原来的时质量变为原来的1/8，根据F＝，R变为原来的1/2，故物体受的万有引力为原来的1/2，而在地球表面重力约等于万有引力，即重力变为原来的1/2.
7、解析：我们可以认为宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，飞船绕行星表面飞行说明：飞船运行的轨道半径约等于该行星的半径.设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M，根据万有引力提供的向心力，则有
G=m()2R,M= 该行星的体积为V=πR3
所以p=. 答案：
8、分析：火星距地球最近时，即太阳、火星、地球三者在一条直线上且位于太阳的同侧，如图所示.火星的轨道半径较大，绕太阳做匀速圆周运动的角速度小，到下次火星冲日现象发生时，应比地球少转一周，地球转过的角度与火星转过的角度之差为2π，地球公转周期为1年，火星的公转周期可由万有引力提供向心力列出动力学方程求得.
解答：地球的公转周期T2=1年，角速度.
设两次相邻的火星冲日的时间间隔为Δt，在Δt时间段的初始和终了两时刻，地球与太阳连线之间的夹角是。设M为太阳质量，M2为地球质量，由太阳对地球的万有引力提供地球公转的向心力得 ①
火星绕太阳运行的向心力亦是由万有引力提供，所以有 ②
两式相除得 解得火星公转周期年=1.9年
火星公转角速度，在Δt时间内火星转过的角度·Δt
由几何关系知 ，两星体转过角度的几何关系是求解本题的一大关键
即 ·Δt－·Δt=2π 解得年=2.1年.
9、解析： 地球到太阳的距离为 r＝ct＝3.0×108×500 m＝1.5×1011m
地球绕太阳的运动可看做匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期为T＝365 d＝3.2×107 s，则 Gr 太阳的质量为M＝
地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即m′g＝G 则地球的质量为m＝
太阳质量和地球质量的比值为＝＝3×105
第四章 曲线运动 万有引力定律
万有引力定律 练习二
1、地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )
A.g/a倍 B.倍
C.倍 D.倍
2、用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小:
①等于零 ②等于 ③等于m ④以上结果都不对
以上说法中正确的是
A.①② B.②③ C.①③ D.④
3、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M地（引力常量G为已知）（ ）
A.月球绕地球运动的周期T及月球到地球中心的距离R1
B.地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C.人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D.地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
4、“神舟”五号飞船升空后，进入距地面近地点高度约200 km、远地点高度约343 km的椭圆轨道上运行，飞行5圈后进行变轨，随后在距地面343 km的圆形轨道上做匀速圆周运动，如图4-19所示。飞船由椭圆轨道运行变轨到圆形轨道运行后
A.周期变长，机械能增加 B.周期变短，机械能增加
C.周期变长，机械能减少 D.周期变短，机械能减少
5、如图4-20所示，卫星绕质量为M的地球做椭圆运动，在近地点和远地点处与地心分别相距a和b，则卫星在通过近地点和远地点时其运动速度大小之比为v1∶v2=________.卫星从近地点运动到远地点所经历的最短时间为t=________.
6、在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起.已知恒星的质量分别是M1和M2，两恒星距离为L.求：（1）两恒星转动的中心位置；（2）转动的角速度.
7、设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时,发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍,而该行星一昼夜的时间与地球相同,物体在它赤道上时恰好完全失重.若存在这样的星球,它的半径R应多大?
8、侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
9、已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2,c=2.9979×108 m/s.求下列问题：
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m3,如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c,因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
第四章 曲线运动 万有引力定律
万有引力定律 练习二 （答案）
1、解析：赤道上的物体随地球自转时.其中N=mg.要使物体“飘”起来，，则应N=0，于是G=mR0ω0′2. 由前两式得ω′/ω=,故B选项正确.
2、解析：由F引=G=mg，得，故通讯卫星受到的万有引力大小 F=mg=，通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度，故 F引=mω02(R+h)
由g0=和G=mω02(R+h) 得：（R+h）=
所以它受到的引力也可以表示为： F=m 答案：B
3、解析 要求地球的质量，应利用围绕地球的月球、卫星的运动.根据地球绕太阳的运动只能求太阳的质量，而不能求地球的质量，B、D选项错.设地球质量为M，卫星或月球的轨道半径为R，则有GR 所以，地球的质量为M＝
再由v＝R得R＝， 代入上式得M＝ 所以，A、C选项正确.
4、由，圆轨道的半径大，周期长，飞船在椭圆轨道的远地点处要改变到圆轨道上运行，需开动发动机向后喷出物质，获得向前的动力，加速到所需的速度，机械能增加. 选A
5、解析：由开普勒第二和第三定律分别有：v1a=v2b=k(常量).T2/()3=4π2/GM.由此便可分别解得：卫星在近地点和远地点处运动速度大小之比为v1∶v2=b∶a ①；卫星从近地点到达远地点所经历的最短时间为t=T= ②.
6、解答：如图，设质量为M1的恒星的运动半径为r1，质量为M2的恒星运动半径为r2，中心位置为O点，则有几何关系： r1+r2=L ①
（1）设二者运动的角速度皆为ω，由万有引力提供向心力，知
② ③ 解得M1r1=M2r2 ④
由①④式解得中心位置O距M1为 中心位置O距M2为.
（2）将代入②式可得： 解得.
7、解:设行星的半径为R,在赤道上质量为m的物体随星体自转,物体受力如右图所示,根据牛顿第二运动定律得mg′—FN=mω2R
依题FN=0, 所以g′=ω2R. 在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍,可知g′=0.01g
自转周期与地球相同, 即T′=T=8.64×104 s, 可知该星球半径为
m
8、解析：如果周期是12小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时，每天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是小时，每天能对同一纬度的地方进行n次观测。设上星运行周期为T1，则有
物体处在地面上时有 解得：
在一天内卫星绕地球转过的圈数为，即在日照条件下有次经过赤道上空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为，将T1结果代入得
9、解：（1）依题意，天体的逃逸速度v2=,其中M、R为天体的质量和半径.对黑洞，其逃逸速度v2＞c,所以R＜m=2.94×103 m
即质量为1.98×1030 kg的黑洞的最大半径为2.94×103 m.
（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为 M=ρ·V=ρ·πR3 ①
其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为v2= ②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2＞c ③
则由以上三式可得R＞=4.01×1026 m,合4.24×1010光年.
即宇宙的半径至少为4.24×1010光年.
第四章 圆周运动 万有引力定律
一、选择题（本题共10小题，共40分，每小题4分）
1、在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球运动，可视为绕地球做匀速圆周运动.每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度增加，从而使得某些太空垃圾进入稀薄大气层，运动轨道半径开始逐渐变小，但仍可视为匀速圆周运动.若在这个过程中某块太空垃圾质量能保持不变，则这块太空垃圾的
A．线速度逐渐变小 B．加速度逐渐变小
C．运动周期逐渐变小 D．机械能逐渐不变
2、关于质点的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．某时刻速度为零，则此时刻加速度一定为零 B．加速度恒定的运动可能是曲线运动
C．当质点的加速度逐渐减小时，其速度一定会逐渐减小
D．因为匀速圆周运动受到的合外力是一定的，所以匀速圆周运动是匀变速曲线运动
3、我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为l.24t，在某一确定的轨道上运行．下列说法正确的是 （ ）
A．“亚洲一号”卫星定点在北京正上方太空，所以我国可以利用它进行电视转播
B．“亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合
C．若要发射一颗质量为2.48t的地球同步通信卫星，则其轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小
D．若要发射一颗质量为2.48t的地球同步通信卫星，则其轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道半径一样大
4、我国探月工程已进人实施阶段。已知月球半径与地球半径的比值约为6︰25，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度g的1／6，那么在月球上工作的宇航员要想坐飞船脱离月球，飞船所需的最小发射速度为多少?（星球的第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是。．已知地球的第一宇宙速度为7.9km／s，不计其它星球的影响．）
A．7 .9km／s B．11.2km／s C．2.2kln／s D．1.6km/s
5、中国航天局将如图所示的标志确定为中国月球探测工程形象标志.它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想.2007年10月24日18：05时“嫦娥1号”探月卫星成功发射，最后绕月球人选匀速圆周运动.已知“嫦娥1号”距离月球表面高度为h，月球表面重力加速度g，月球半径为R，则下列说法正确的是 （ ）
A．“嫦娥1号”绕月飞行速率
B．“嫦娥1号”绕月飞行的周期
C．“嫦娥1号”绕月飞行的向心加速度
D．在月球表面上发射一颗绕它运行的卫星的的最小发射速度为
6、如图，水平胶木圆盘上有一带正电的物块P，P随盘一起匀速转动的最大角速度为1.若加一竖直向下的匀强电场，P随盘一起匀速转动的最大角速度为2.若不加电场而加一竖直向下的匀强磁场，P随盘一起匀速转动的最大角速度为3.盘的转动方向从上往下看为顺时针.已知P的位置和带电量保持不变，最大静磨擦力与正电压成正比，则
A．1<2 B．1< 3 C．2> 3 D．1>3
7、?长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，C为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点D的速度大小为，则小球在C点
A.?速度等于 B.?速度大于
C.?受到轻杆向上的弹力 D.?受到轻杆向下的弹力
8、如图，火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为在同一平面内的同方向的匀速圆周运动，已知火星轨道半径r1=2.3×1011m，地球轨道半径为r2=1.5×1011m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算火星与地球相邻两次相距最近的最短时间间隔约为
A．1年 B．2年 C．3年 D．4年
9、介子衰变的方程为，其中介子和介子带负的元电荷e，π0介子不带电．如图所示，两匀强磁场方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度分别为B1、B2．今有一个介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1中，其轨迹为圆弧AP，P在MN上，在P点时的速度为v，方向与MN垂直．在P点该介子发生了上述衰变．衰变后产生的介子沿v反方向射出，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线．则以下说法正确的是（ ）
A．介子的运行轨迹为PENCMDP
B．介子运行一周回到P用时为
C．B1＝4B2 D．π0介子作匀速直线运动
10、2009年2月11日俄罗斯的“宇宙-2251”和美国的“Iridium 33”卫星在西伯利亚上空约处发生碰撞，产生大量碎片。据太空专家分析，部分碎片因受阻力运动半径开始逐渐变小，则这些碎片的
A．线速度变小 B．运动周期变小 C．加速度变小 D．机械能变大
二、实验题（本大题共两小题，计18分）
时间 质量
次数
1
1．42
1．41
1．42
2
1．40
1．42
1．39
3
1．41
1．38
1．42
11、（6分）某活动小组欲探究在光滑的斜面上物体下滑的加速度与物体的质量及斜面的倾角是否有关系．实验室提供的器材如下：A．表面光滑的长木板(长度为L) B．小车 C．质量为的钩码若干个 D．方木块(备用于垫木板) E．米尺 F．秒表
实验过程：第一步，在保持斜面的倾角不变时，探究物体下滑的加速度与其质量的关系．实验中通过向小车内放入钩码来改变物体的质量，只要测出小车由斜面的顶端滑至底端所用的时间，就可以由公式= 求出，某同学记录数据如上表所示：根据以上信息，我们发现：在实验误差允许的范围内，质量改变之后平均下滑所用的时间 (填“改变”或“不改变”)．经过分析得出：加速度和质量的关系为 ．
12、（12分）在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星.据报道，美国有多颗最先进的KH－1、KH－2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点为265 km（卫星与地面的最近距离），远地点为650 km（卫星与地面的最远距离），质量为13.6×103kg～18.2×103kg.这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.l m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心.
由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相等，那么卫星沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等.请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率.地球的半径 R=6 400 km，g取10 m/s2.（保留两位有效数字）
三、计算与论述题（本大题共4小题，计62分）
13、（15分）如图，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m.轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×104N/C.现有一电荷量q=+1.0×10-4C，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度vB=5.0m/s.已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.50，重力加速度g=10m/s2.求：
（1）带电体运动到圆形轨道的最低点B时，圆形轨道对带电体支持力的大小；
（2）带电体在水平轨道上的释放点P到B点的距离；
（3）带电体第一次经过C点后，落在水平轨道上的位置到B点的距离.
14、（15分）)如图所示，半径分别为和的圆环竖直叠放(相切)于水平地面上，设可视为质点的小球穿过切点时不受阻挡．
(1)若将小球从上圆环顶端由静止释放，则小球经过多长时间才会到达地面?
(2)若将小球从光滑倾斜轨道点由静止释放，则小球经过多长时间才会到达点?(已知是过两圆环切点的一条弦，且、是弦与两圆的交点)
15、（16分）“旋转飞椅”（FLYlNG CHAIR）是公园中常见的大型游乐设施，通常其高度达10m以上，占地面积超过．300m2．一般装有24只飞椅可同时乘座24人，在380V、7.5KW的电机驱动下，可在0～8.5r／min的转速下旋转当飞椅稳定转动后.飞椅在距地面一定高度的水平面内做匀速圆周运动.“旋转飞椅”可简化成这样的模型：如图（乙）所示，AB为与竖直转轴OO′固定的水平横粱，长度为2L.AC是悬挂飞椅的绳索．飞椅拴在绳索的末端C处，设施静止时，绳索AC竖直．游戏开始时.人乘座在飞椅中，闭合电源开关，电机带动OO′轴开始转动．飞椅在绳的牵引下开始加速．随着转速的增加，飞椅（连同人）的高度逐渐上升，与OO′的距离逐渐增大，当设施转动稳定后，飞椅（连同人）在水平面内做匀速圆周运动．已知L=8m，AC长l=10m，飞椅（连同人，可视为质点）的总质量为m=100kg，设施稳定转动时绳索AC的拉力为1250N，不考虑绳索质量和空气阻力，取g=10m／s2，求：
（1）设施转动稳定后，飞椅（连同人）在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小.
（2）从闭合电源到设旋转动稳定的过程中，绳索对飞椅（连同人）做的功.
16、（16分）（2004年全国理综第23题，）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体.
参 考 答 案
一、1、C 2、B 3、BD 4、C 5、ACD 6、ACD 7、BD 8、B 9、BD 10、B
二、实验题（本大题共两小题，计18分）
11、（6分）(2分) 不改变 (2分) 无关 (2分)
12、（12分）设远地点距地面hl，近地点距地面h2，根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的半径km ① （2分）
设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
② （1分）又 ③ （1分）
物体在地球表面的重力等于万有引力，则④ （2分）
由②③④式可得 （2分）代入数据可得s （2分）
远在点到地面h1，设卫星在远在点的速率为v 则＝m ⑤ （2分）
④、⑤联立得 （2分） 代入数据得 v＝ 7.6 km/s （2分
三、计算与论述（本大题共4小题，计62分）
13、（15分）（1）设带电体在B点受到的支持力为FN，依据牛顿第二定律
2分
解得 2分
（2）设PB间的距离为s，依据动能定理
3分
解得：s=2.5m 2分
（3）设带电体运动到C点的速度为vC，依据机械能守恒定律
1分
带电体离开C点后在竖直方向上做自由落体运动，设在空间运动的时间为t
1分
在水平方向上做匀减速运动，设在水平方向的加速度大小为a，依据牛顿第二定律
1分
设落在水平轨道上的位置到B点的距离为x，依据运动学公式
1分
解得：x=0.40m 2分
14、（15分）（1）小球从上圆环顶部释放，根据自由落体运动规律有： (3分)
解得小球到达地面所用的时间． (2分)
(2)设轨道与水平面间的夹角为，如图所示，由几何关系可知：
轨道的长度 (3分)
由牛顿第二定律可知，小球下滑的加
速度 (2分)
由运动学公式可得： (2分)
联立解得：． (2分)
点评：本题看似是圆周运动，它实际是利用圆的几何知识求解。
15、（16分）（1）当飞椅稳定后
……①
……②
……③
（2）从飞椅开始转动到稳定的过程中
……④
……⑤
评分标准：①④式各4分，②式4分，③⑤式各2分
16、（16分）以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
① （3分）； ②（4分）
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有 ③ （2分） ④（3分）
由以上各式解得 （4分）
