第一章 数与式
第3节 整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由______或___________相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__________，单项式中的数字因数叫做____________．
2．多项式：由几个_________ __组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个___________，不含字母的项叫做__________．
3．整式：_____________________．
4．同类项：多项式中，所含___________相同，并且____________也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把_____或表示数的______连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用_________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2 整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②_________________相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算________；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变_________，减号变___________．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝________(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝______(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝________(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__________(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝____________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝______________．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__________，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1幂的运算性质
◇典例1：(2018年江苏省淮安市) （a2）3= ．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．
解：原式=a6．
故答案为a6．
◆变式训练
(1)（2018年广西柳州市）计算：（2a）?（ab）=（ ）
A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
(2)（2018年四川省绵阳市）下列运算正确的是（???? ）
A. B. C. D.
■考点2整式的混合运算
◇典例2： (1)（2018年山东省菏泽市）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
【考点】代数式求值．
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
解：当3x﹣2=127时，x=43，
当3x﹣2=43时，x=15，
当3x﹣2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
（2）（2016西宁）已知，求代数式的值．
【考点】整式的化简求值
【分析】：首先利用平方差公式和完全平方公式及单项式乘以多项式的乘法法则计算，进一步合并，最后整体代入求得答案即可，
解：原式
．
∵ ．
∴．
∴原式=5-3=2．
◆变式训练
1.（2016济宁）已知x-2y=3，那么代数式3- 2x+4y的值是 ( )
A．-3 B. 0 C．6 D．9
2.（2018年浙江省宁波市）先化简，再求值：(x?1)2+x(3?x)，其中x=?12．
整式的混合运算--化简求值
■考点3：巧用乘法公式
◇典例3：(2014云南中考)观察规律并填空：
＝·＝；
＝···＝·＝；
＝·····＝·＝；
＝·······＝·＝；
…
…＝______．(用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2)
【考查角度】乘法公式的应用．
【解析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的和相乘得出结果．
【答案】
◆变式训练
请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是 （ ）
A． 1﹣xn+1 B． 1+xn+1 C． 1﹣xn D． 1+xn
1．（2018年广西柳州市）苹果原价是每斤a元，现在按8折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费（ ）
A．0.8a元 B．0.2a元 C．1.8a元 D．（a+0.8）元
2．（2018年海南省）计算a2?a3，结果正确的是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
3.（2018年吉林省）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2?a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3
4.（2018年广西桂林市）用代数式表示：a的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ）
A. 2a-3 B. 2a+3 C. 2(a-3) D. 2(a+3)
5.（2018年山东省淄博市）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
6.（2018年江苏省泰州市）计算： x?（﹣2x2）3= ．
7.（2018年吉林）买单价3元的圆珠笔m支，应付 元．
8.（2018年山东省淄博市）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
9.（2018年湖南省长沙市）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．
10. (2018年吉林) 某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）
=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
=2ab﹣b2 （第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
1.（2018年贵州省遵义市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3?a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1
2.（2018年黑龙江省齐齐哈尔市）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请
仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
3.（2018年山东省淄博市）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4.（2018年山东省东营市）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4 C．a2?a3=a6 D．（xy2）2=x2y4
5.（2018年浙江省宁波市）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种
方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD?AB=2时，S2?S1的值为( )
A. 2a B. 2b C. 2a?2b D. ?2b
6.(2018年贵州省贵阳市) 当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
7.（2018年四川省达州市）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为 ．
8.（2018年广西玉林市）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
9.（2018年浙江省宁波市）已知x，y满足方程组x+2y=?3x?2y=5，则x2?4y2的值为______．
10.（2018年湖南省娄底市）设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则___________.
11.（2018年浙江省衢州市）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
12.（2018年湖南省邵阳市）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
13.（2018年山东省青岛市）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，
纵放的木棒为 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；
如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 条，竖放木棒条数为 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 条．
14.(2018年重庆市中考数学试卷（B卷）) 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
第一章 数与式
第3节 整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，单项式中的数字因数叫做__单项式的系数__．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个__多项式的次数__，不含字母的项叫做__常数项__．
3．整式：__单项式和多项式统称为整式__．
4．同类项：多项式中，所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2 整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__相除__，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1幂的运算性质
◇典例1：(2018年江苏省淮安市) （a2）3= ．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．
解：原式=a6．
故答案为a6．
◆变式训练
(1)（2018年广西柳州市）计算：（2a）?（ab）=（ ）
A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
【考点】单项式乘以单项式
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
解：（2a）?（ab）=2a2b．
故选：B．
(2)（2018年四川省绵阳市）下列运算正确的是（???? ）
A. B. C. D.
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错；
D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
解：A.∵a2·a3=a5,故错误，A不符合题意；
B.a3与a2不是同类项，故不能合并，B不符合题意；
C.∵（a2）4=a8,故正确，C符合题意；
D.a3与a2不是同类项，故不能合并，D不符合题意
故答案为：C.
■考点2整式的混合运算
◇典例2： (1)（2018年山东省菏泽市）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
【考点】代数式求值．
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
解：当3x﹣2=127时，x=43，
当3x﹣2=43时，x=15，
当3x﹣2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
（2）（2016西宁）已知，求代数式的值．
【考点】整式的化简求值
【分析】：首先利用平方差公式和完全平方公式及单项式乘以多项式的乘法法则计算，进一步合并，最后整体代入求得答案即可，
解：原式
．
∵ ．
∴．
∴原式=5-3=2．
◆变式训练
1.（2016济宁）已知x-2y=3，那么代数式3- 2x+4y的值是 ( )
A．-3 B. 0 C．6 D．9
【考点】代数式求值
【分析】把x-2y看作一个整体并求出其值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
解：∵ x-2y=3， ∴3- 2x+4y 1=3-2（x-2y）=3-2×3=-3．
故选A 2.（2018年浙江省宁波市）先化简，再求值：，其中．
整式的混合运算--化简求值
【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
解：原式，
当时，原式．
■考点3：巧用乘法公式
◇典例3：(2014云南中考)观察规律并填空：
＝·＝；
＝···＝·＝；
＝·····＝·＝；
＝·······＝·＝；
…
…＝______．(用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2)
【考查角度】乘法公式的应用．
【解析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的和相乘得出结果．
【答案】
◆变式训练
请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是 （ ）
A． 1﹣xn+1 B． 1+xn+1 C． 1﹣xn D． 1+xn
【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【分析】已知各项利用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
解：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，
（1﹣x）（1+x+x2）=1+x+x2﹣x﹣x2﹣x3=1﹣x3，
…，
依此类推（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1，
故选：A
1．（2018年广西柳州市）苹果原价是每斤a元，现在按8折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费（ ）
A．0.8a元 B．0.2a元 C．1.8a元 D．（a+0.8）元
【考点】列代数式
【分析】根据“实际售价=原售价×”可得答案．
解：根据题意知，买一斤需要付费0.8a元，
故选：A．
2．（2018年海南省）计算a2?a3，结果正确的是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．
解：a2?a3=a5，
故选：A．
3.（2018年吉林省）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2?a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3
【考点】同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方
【分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．
解：A、a2?a3=a5，此选项不符合题意；
B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意；
C、（a2）3=a6，此选项符合题意；
D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意；
故选：C．
4.（2018年广西桂林市）用代数式表示：a的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ）
A. 2a-3 B. 2a+3 C. 2(a-3) D. 2(a+3)
【考点】列代数式
【分析】a的2倍与3的和也就是用a乘2再加上3，列出代数式即可．
解：“a的2倍与3 的和”是2a+3．
故选：B．
5.（2018年山东省淄博市）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【考点】合并同类项；单项式．
【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．
解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，
∴单项式am﹣1b2与是同类项，
∴m﹣1=2，n=2，
∴m=3，n=2，
∴nm=8．
故选：C．
6.（2018年江苏省泰州市）计算： x?（﹣2x2）3= ．
【考点】积的乘方，单项式乘以单项式
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．
解： x?（﹣2x2）3
=x?（﹣8x6）
=﹣4x7．
故答案为：﹣4x7．
7.（2018年吉林）买单价3元的圆珠笔m支，应付 元．
【考点】列代数式
【分析】根据总价=单价×数量列出代数式．
解：依题意得：3m．
故答案是：3m．
8.（2018年山东省淄博市）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；
解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，
故答案为2018．
9.（2018年湖南省长沙市）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．
【考点】整式的化简求值
【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案．
解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，
当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．
10. (2018年吉林) 某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）
=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
=2ab﹣b2 （第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
【考点】平方差公式，实数的运算，去括号规律
【分析】先计算乘法，然后计算减法．
解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没有变号；
故答案是：二；去括号时没有变号；
（2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）
=a2+2ab﹣a2+b2
=2ab+b2．
1.（2018年贵州省遵义市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3?a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1
【考点】积的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
解：A、（﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；
B、a3?a5=a8，故此选项错误；
C、（﹣a2b3）2=a4b6，正确；
D、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
故选：C．
2.（2018年黑龙江省齐齐哈尔市）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
【考点】代数式
【分析】分别判断每个选项即可得．
解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确；
B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误；
故选：D．
3.（2018年山东省淄博市）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【考点】合并同类项；单项式．
【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．
解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，
∴单项式am﹣1b2与是同类项，
∴m﹣1=2，n=2，
∴m=3，n=2，
∴nm=8．
故选：C．
4.（2018年山东省东营市）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4 C．a2?a3=a6 D．（xy2）2=x2y4
【考点】完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
解：A、﹣（x﹣y）2=﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；
B、a2+a2=2a2，此选项错误；
C、a2?a3=a5，此选项错误；
D、（xy2）2=x2y4，此选项正确；
故选：D．
5.（2018年浙江省宁波市）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种
方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为
A. 2a B. 2b C. D.
【考点】整式的混合运算
【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
解：，
，
故选：B．
6.(2018年贵州省贵阳市) 当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】代数式求值
【分析】把x的值代入解答即可．
解：把x=﹣1代入3x+1=﹣3+1=﹣2，
故选：B．
7.（2018年四川省达州市）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为 ．
【考点】同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a2m﹣n的值为多少即可．
解：∵am=3，
∴a2m=32=9，
∴a2m﹣n===4.5．
故答案为：4.5．
8.（2018年广西玉林市）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
【考点】代数式求值
【分析】将ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得．
解：当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为：2．
9.（2018年浙江省宁波市）已知x，y满足方程组，则的值为______．
【考点】平方差公式
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
解：原式
故答案为：
10.（2018年湖南省娄底市）设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则___________.
【考点】完全平方公式的应用、平方根的应用
【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
解：∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为：4035.
11.（2018年浙江省衢州市）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2+==a2+2ab+b2=（a+b）2．
12.（2018年湖南省邵阳市）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
【考点】整式的混合运算﹣化简求值
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab，
当a=﹣2，b=时，原式=﹣4．
13.（2018年山东省青岛市）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，
纵放的木棒为 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；
如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 条，竖放木棒条数为 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 条．
【考点】规律型﹣图形变化类
【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；
解：问题（一）：当m=4，n=2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，共需22条；
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条；
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条．
实际应用：这个长方体框架的横长是 s，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4=170，解得m=4，
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，横放与纵放木棒条数之和为165×6=990条，竖放木棒条数为60×5=330条需要木棒1320条．
故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320；
14.(2018年重庆市中考数学试卷（B卷）) 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【考点】新定义，完全平方数
【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；
（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．
解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100﹣10y﹣x是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m=99（100﹣10y﹣x），
∴D（m）==3（100﹣10y﹣x），
而m是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
