人教版八年级上数学第12.2直角三角形全等的判定小测验（含答案及解析）

直角三角形全等的判定
(45分钟小测验)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有(　　)
A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(　　)
A. ∠BAC=∠BADB. AC=AD或BC=BDC. AC=AD且BC=BDD. 以上都不正确
下列说法中，正确的个数是(　　)①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列说法：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．②角的对称轴是角平分线③两边对应相等的两直角三角形全等④成轴对称的两图形一定全等⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有(　　)个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
下列说法不正确的是(　　)
A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B. 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是(　　)
A. 8 B. 5 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______ ．
如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件______，使△AEC≌△CDA．
如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是______．
如图，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A'B'C'，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______cm2．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= ______ cm．
如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是______．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
如图，AD//BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．(1)求证：△ADE≌△BEC；(2)若AD=6，AB=14，请求出CD的长．
如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．(1)求证：AB=DE；(2)若AC交DE于M，且AB=3，ME=2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．
如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C，AC=AD，CD交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交⊙O于C．(1)图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；(2)若sin∠CBF=55，AE=4，求AB的值．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．(1)求C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP?DE的值．

答案和解析
【答案】
1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C
7. AC=DE??
8. CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB(正确即可)??
9. BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D??
10. 94??
11. 7??
12. AC=AD或BC=BD??
13. 解：(1)∵AD//BC，∠A=90°，∠1=∠2，∴∠A=∠B=90°，DE=CE．∵AD=BE，∴△ADE≌△BEC.(3分) (2)由△ADE≌△BEC得∠AED=∠BCE，AD=BE．∴∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°．∴∠DEC=90°.(4分) 又∵AD=6，AB=14，∴BE=AD=6，AE=14?6=8.(5分) ∵∠1=∠2，∴ED=EC=AE2+AD2=10.(6分) ∴DC=DE2+CE2=102.(7分)(利用其它方法，参照上述标准给分)??
14. (1)证明：∵BE=FC，∴BC=EF，又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE． (2)解：∵∠DEF=∠B=45°，∴DE//AB，∴∠CME=∠A=90°，∴AC=AB=3，MC=ME=2，∴在Rt△MEC中，EC=ME2+MC2=(2)2+(2)2=2，∴CG=CE=2，在Rt△CAG中，cos∠ACG=ACCG=32，∴∠ACG=30°，∴∠ECG=∠ACB?∠ACG=45°?30°=15°．??
15. 解：(1)FG=AE，理由如下：连接CG、AC、BD；∵AC=AD，∴BA⊥CD，∴BC=BD，即∠D=∠BCD；∵直线L切⊙O于C，∴∠BCF=∠D=∠BCD，∴∠FBC=∠ABC，∴CG=AC，CE=CF；∴AC=CG；△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG． (2)∵FC切⊙O于C，∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=55；在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=45；∴AC=CG=45；在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：AC2=AE?AB，即AB=AC2÷AE=20．??
16. (1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=90°，∠CEB=90°(垂线的意义) CE=CF(角平分线的性质) ∵BC=CD(已知) ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL) (2)解：由(1)得，Rt△BCE≌Rt△DCF ∴DF=EB，设DF=EB=X ∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，AC=AC ∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL) ∴AF=AE 即：AD+DF=AB?BE ∵AB=21，AD=9，DF=EB=x ∴9+x=21?x解得，x=6 在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10 ∴CF=8 ∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289 ∴AC=17 答：AC的长为17．??
17. 解：(1)如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，则∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中 ∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBAAC=AB ∴△MAC≌△OBA(AAS)，∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=OA+AM=2+4=6，∴点C的坐标为(?6,?2)． (2)如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ ∴OP?DE=OP?OQ=PQ，∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP，在△AOP和△PQD中，∠AOP=∠PQD=90°∠OAP=∠QPDAP=PD，∴△AOP≌△PQD(AAS)．∴PQ=OA=2．即OP?DE=2．??
【解析】
1. 解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵AC=AB，∵∠CAE=∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE=BD，∵AC=AB，∴∠CBE=∠BCD，∵∠BEC=∠CDB=90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE=CD，∴AD=AE，∵AO=AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC=∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB=OC，∵AB=AC，∴CF=BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．共6对，故选D．△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL.做题时要由易到难，不重不漏．
2. 解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
3. 解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选C．根据HL可得①正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等．本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．
4. 解：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故①错误；②角的对称轴是角平分线所在直线，故②错误；③两边对应相等的两直角三角形可以用SAS，故③正确；④根据轴对称的性质可得，成轴对称的两图形一定全等，故④正确；⑤根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，故⑤正确；综上所述，正确的说法有3个．故选：B．①不存在SSA这种判定全等三角形的方法；②根据角的轴对称性进行判断；③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，据此判断即可；④根据轴对称的性质进行判断；⑤根据线段垂直平分线的性质进行判断．本题主要考查了轴对称的性质、直角三角形的判定、线段和角的轴对称性的综合应用，解题时注意：对称轴是一条直线；直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
5. 解：A、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；B、有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；故选：C 根据三角形全等的判定定理进行分析即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6. 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，∴△AEC≌△CDB．∴CE=BD=2，CD=AE=5，∴ED=CD?CE=5?2=3(cm)．故选C．根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
7. 解：AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，AC=DEBE=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBE(HL)．故答案为：AC=DE．先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
8. 解：∵AD⊥BC，CE⊥AB ∴∠AEC=∠CDA=90°，∴当CE=AD(HL)或∠DAC=∠ECA(AAS)或∠BAC=∠ACB(ASA)时，△AEC≌△CDA．△AEC和△CDA中，已知了∠AEC=∠ADC=90°，AC=AC，因此只需添加一组对应角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等．本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查全等三角形判定方法的开放性试题，答案不唯一.熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键．
9. 解：∵AC⊥BD于点P，AP=CP，又AB=CD，∴△ABP≌△CDP．∴增加的条件是BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．故填BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加直角边、斜边或另一组角，利用SAS、HL、AAS判定其全等．本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加．
10. 解：在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，∵∠A=60°，∴DP2+BP2=BD2，∴x2+32=(2x)2，∴DP=x=3，∵B'P=BP，∠B=∠B'，∠B'PH=∠BPD=90°，∴△B'PH≌△BPD，∴PH=PD=3，∵在直角△BGH中，BH=3+3，∴GH=3+32，BG=32(3+3)，∴S△BGH=12×3+32×32(3+3)=63+94，S△BDP=12×3×3=332，∴SDGHP=63+94?332=94cm2．根据已知及勾股定理求得DP的长，再根据全等三角形的判定得到△B'PH≌△BPD，从而根据直角三角形的性质求得GH，BG的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积．此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用．
11. 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90° ∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90° ∴∠EAC=∠B ∵AB=AC ∴△ABD≌△ACE(AAS) ∴AD=CE，BD=AE ∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12. 解：添加AC=AD或BC=BD；理由如下：∵∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，AC=ADAB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，故答案为：AC=AD或BC=BD．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD．本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
13. (1)根据已知可得到∠A=∠B=90°，DE=CE，AD=BE从而利用HL判定两三角形全等；(2)由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC=90°，由已知我们可求得BE、AE的长，再利用勾股定理求得ED、DC的长．此题考查学生对全等三角形的判定方法及勾股定理的运用能力．
14. (1)通过证明△ABC≌△DEF即可得出AB=DE．(2)要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用．
15. (1)观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证△AEC≌△GCF；连接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根据垂径定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分线的性质得CF=CE，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．(2)由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它们的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的长，也就得到了AC的长，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的长．此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得AE=FG是解决此题的关键．
16. (1)要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；(2)结合(1)中的结论进行分析，发现：AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．(1)掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；(2)注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．
17. ①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为(?6,?2)．②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ 利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD(AAS) 进一步可得PQ=OA=2，即OP?DE=2．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．