人教版数学八年级上15.1最简分式与约分测试题（含答案及解析）

最简分式与约分
测试题
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列四个分式中，是最简分式的是(　　)
A. a2+b2a+b B. x2+2x+1x+1 C. 2ax3ay D. a2?b2a?b
分式15b2c?5a、5(x?y)2y?x、a2+b23(a+b)、4a2?b22a?b、a?2b2b?a，中最简分式有(　　)个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列各分式中，最简分式是(　　)
A. 12(x?y)15(x+y) B. y2?x2x+y C. x2+y2x2y+xy2 D. x2?y2(x+y)2
下列约分正确的是(　　)
A. x6x2=x3 B. x+yx2+xy=1x C. x+yx+y=0 D. 2xy24x2y=12
下列分式是最简分式的是(　　)
A. x?1x2?x B. x?1x+1 C. x?1x2?1 D. 44x
约分：6a2b3abc=(　　)
A. 2ac B. 2abc C. a2c D. 2c
下列分式xx2，4m2m+4，x+πx，b2?4b+2，a?bb?a中，最简分式的个数是(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列分式约分，正确的是(　　)
A. a6a3=a2 B. 2ab26a2b2=13 C. m+nm2+mn=1m D. x?yx?y=0
将分式a2+abb2+ab化成最简分式，正确的结果为(　　)
A. a2b2 B. ab C. a(a+b)b(a+b) D. a2+1b2+1
下列公式中是最简分式的是(　　)
A. 12b27a2 B. 2(a?b)2b?a C. x2?y2x?y D. x2+y2x+y
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
已知x为整数，且分式2x+2x2?1的值为整数，则x= ______ ．
下列各式①30b27a；②y2?x2x+y；③y2+x2x+y；④m2m；⑤2x+3x?3中分子与分母没有公因式的分式是______ .(填序号)．
化简：2?aa2?4a+4= ______ ．
约分：?25a2bc315ab2c= ______ ．
计算：a2?b22a?2b的结果是______ ．
化简：10a3b4ab2=______．
利用分式的基本性质约分：?5abc20a2b= ______ ．
系数化成整数且结果化为最简分式：0.25a?0.2b0.1a+0.3b= ______ ．
化简：a+3ba2?9b2= ______ ．
约分①5ab20a2b= ______ ；?②a+2a2?4= ______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
已知1a+1b=5(a≠b)，求ab(a?b)?ba(a?b)的值．
先化简：(1+1x2?1)÷x2x?1，再选一个你喜欢的数代入并求值．
观察下列各式：12=11×2=11?12，16=12×3=12?13，112=13×4=13?14，120=14×5=14?15，130=15×6=15?16，…(1)请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：______(2)请利用上述规律计算：11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=______(用含有n的式子表示)(3)请利用上述规律解方程：1(x?2)(x?1)+1(x?1)x+1x(x+1)=1x+1．
先化简(2xx?3?xx+3)÷x9?x2，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
先化简，再求值：xx2?1+(x+1x?1?x?1x2?2x+1)，然后?7≤x≤7的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
问题：当a为何值时，分式a2+6a+9a2?9无意义？小明是这样解答的：解：因为a2+6a+9a2?9=(a+3)2(a?3)(a+3)=a+3a?3，由a?3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．
答案和解析
【答案】
1. A 2. A 3. C 4. B 5. B 6. A 7. A8. C 9. B 10. D
11. 0或2或3??
12. ③⑤??
13. 12?a??
14. ?5ac23b??
15. a+b2??
16. 5a22b??
17. ?c4a??
18. 5a?4b2a+6b??
19. 1a?3b??
20. 14a；1a?2??
21. 解：∵1a+1b=5，∴a+bab=5，∴ab(a?b)?ba(a?b)，=a2ab(a?b)?b2ab(a?b)，=a2?b2ab(a?b)，=(a+b)(a?b)ab(a?b)，=a+bab，=5．??
22. 解：原式=x2?1+1x2?1×x?1x2=x2(x+1)(x+1)×x?1x2=1x+1，∵x≠0，1，?1，∴x=2时，原式=12+1=13．??
23. 142=16×7=16?17；nn+1??
24. 解：(2xx?3?xx+3)÷x9?x2=2x(x+3)?x(x?3)(x+3)(x?3)??(x+3)(x?3)x=x(x+9)(x+3)(x?3)??(x+3)(x?3)x=?x?9，∵x?3≠0，x+3≠0，x≠0，∴x取1，代入得：原式=?1?9=?10．??
25. 解：原式=x(x+1)(x?1)+[x+1x?1?x?1(x?1)2] =x(x+1)(x?1)+(x+1x?1?1x?1) =x(x+1)(x?1)+xx?1 =x(x+1)(x?1)+x2+x(x+1)(x?1) =x2+2x(x+1)(x?1) =x2+2xx2?1 ∵?7≤x≤7，且x为整数∴要使分式有意义，则x能取0、2或?2 ∴当x=?2时，原式=4?44?1=0，或当x=2时，原式=4+44?1=83，或当x=0时，原式=0?1=0．??
26. 解：不正确，理由如下：∵a2?9=0，即a=±3时，分式无意义，∴小明的解答错误．??
【解析】
1. 解：(B)原式=(x+1)2x+1=x+1，故B不是最简分式，(C)原式=2x3y，故C不是最简分式，(D)原式=(a?b)(a+b)(a?b)=a+b，故D不是最简分式，故选(A)分子分母没有公因式即可最简分式本题考查最简分式的概念，涉及因式分解，分式的基本性质，本题属于基础题型．
2. 解：15b2c?5a=3b2c?a 5(x?y)2y?x=5(y?x) 4a2?b22a?b=(2a+b)(2a?b)2a?b=2a+b a?2b2b?a=?1 所以只有一个最简分式，故选(A) 分子分母没有公因式的分式为最简分式．本题考查约分，解题的关键是将各分式化为最简分式，本题属于基础题型．
3. 解：(A)原式=4(x?y)5(x+y)，故A不是最简分式；(B)原式=(y?x)(y+x)x+y=y?xx+y，故B不是最简分式；(C)原式=x2+y2xy(x+y)，故C是最简分式；(D)原式=(x?y)(x+y)(x+y)2=x?yx+y，故D不是最简分式；故选(C) 最简分式是指分子和分母没有公因式．本题考查考查最简分式，要注意将分子分母先分解后，约去公因式．
4. 解：A、原式=x6?2=x4，故本选项错误；B、原式=x+yx(x+y)=1x，故本选项正确；C、原式=1，故本选项错误；D、原式=2xy?y2xy?2x=y2x，故本选项错误；故选：B．观察分子分母，提取公共部分约分即可．此题主要考查了约分，注意：找出分子分母公共因式时，常数项也不能忽略．
5. 解：A、x?1x2?x=x?1x(x?1)=1x，故此选项错误；B、x?1x+1无法化简，是最简分式，故此选项正确；C、x?1x2?1=x?1(x+1)(x?1)=1x+1，故此选项错误；D、44x=1x，故此选项错误；故选：B．要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
6. 解：6a2b3abc=2ac；故选A．根据约分的定义把分子分母中的公因式约去即可得出答案．此题主要考查了分式的约分，关键是正确找出分子和分母的公因式．
7. 解：xx2的分子与分母存在公因式x，此分式不是最简分式；4m2m+4的分母分解因式可得2(m+2)，分子与分母存在公因式2，此分式不是最简分式；x+πx的分子与分母都没有公因式，这两个分式为最简分式；b2?4b+2的分子分解因式可得(b?2)(b+2)，分子与分母存在公因式(b+2)，此分式不是最简分式；a?bb?a的分子可变形为?(b?a)，分子与分母存在公因式(b?a)，此分式不是最简分式．最简分式只有1个，故选A．根据分子和分母是否存在公因式进行判断，没有公因式的为最简分式．分式的分子和分母都没有公因式的分式为最简分式.如果分式的分子或分母能进行因式分解，先把分子或分母分解因式后再判断是否存在公因式．
8. 解：A、a6a3=a3，故本选项错误；B、2ab26a2b2=13a，故本选项错误；C、m+nm2+mn=1m，故本选项正确；D、x?yx?y=1，故本选项错误；故选C．根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案．本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式．
9. 解：a2+abb2+ab=a(a+b)b(b+a)=ab．故选B．先将分子与分母分别进行因式分解，再根据分式的基本性质化简即可．本题考查了最简分式，分式的化简，分式的基本性质，将分子与分母正确进行因式分解是解题的关键．
10. 解：A、12b27a2=4b9a2，故本选项错误；B、2(a?b)2b?a=2(b?a)，故本选项错误；C、x2?y2x?y=x+y，故本选项错误；D、x2+y2x+y是最简分式，故本选项正确；故选D．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．此题考查了最简分式；分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题.在解题中一定要引起注意．
11. 解：∵2x+2x2?1=2x?1，∴根据题意，得x?1=±1或±2，则x=2或0或3或?1．又x≠±1，则x=0或2或3．首先化简分式，得2x+2x2?1=2x?1.要使它的值为整数，则x?1应是2的约数，即x?1=±1或±2，同时注意原分式有意义的条件：x≠±1．此类题首先要正确化简分式，然后要保证分式的值为整数，则根据分母应是分子的约数，进行分析．注意：字母的值必须保证使原分式有意义．
12. 解：①公因式是：3；②公因式是：(x+y)；③没有公因式；④公因式是：m．⑤没有公因式；则没有公因式的是③、⑤．故答案为：③⑤．根据公因式的定义，及各分式的形式即可得出答案．本题考查了约分的知识，属于基础题，关键是掌握公因式的定义．
13. 解：化简：2?aa2?4a+4=2?a(a?2)2=2?a(2?a)2=12?a．把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，然后提取出分子分母的公因式．分式进行约分时，应先把分子、分母中的多项式进行分解因式，正确分解因式是掌握约分的关键．
14. 解：?25a2bc315ab2c=5abc?(?5ac2)5abc?3b=?5ac23b．故答案为?5ac23b．将分子与分母的公因式约去即可．本题考查了约分的定义及约分的方法.约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
15. 解：a2?b22a?2b=(a+b)(a?b)2(a?b)=a+b2．故答案为：a+b2．直接将分式的分子与分母分解因式，进而约分化简即可．此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
16. 解：原式=2ab?5a22ab?b =5a22b．故答案为：5a22b．找出分式分子分母的公因式，约分即可得到结果．此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．
17. 解：?5abc20a2b=?c4a；故答案为：?c4a；根据分式的基本性质先找出分子与分母的公因式，再进行约分即可．此题考查了约分，用到的知识点是分式的基本性质，关键是找出分子与分母的公因式．
18. 解：系数化成整数：0.25a?0.2b0.1a+0.3b=5a?4b2a+6b．故答案是：5a?4b2a+6b．根据分式的基本性质解答．本题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解题的关键．
19. 解：a+3ba2?9b2=a+3b(a+3b)(a?3b)=1a?3b．故答案为：1a?3b．直接利用平方差公式将分母分解因式，进而化简即可．此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
20. 解：①原式=14a；②原式=a+2(a+2)(a?2) =1a?2．故答案为14a，1a?2．①分子分母都约去公因式5ab即可；②先把分母因式分解，然后约分即可．本题考查了约分的：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
21. 求出a+bab=5，通分得出a2ab(a?b)?b2ab(a?b)，推出a2?b2ab(a?b)，化简得出a+bab，代入求出即可．本题考查了通分，约分，分式的加减的应用，能熟练地运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入的方法(即把a+bab当作一个整体进行代入)．
22. 首先先算括号里面的加法得到x2x2?1，再算乘法，分解因式后约分化成最简分式即可．本题主要考查对分式的加减法，分式的乘除法，最简分式等知识点的理解和掌握，能熟练地进行分式的混合运算是解此题的关键．
23. 解：(1)142=16×7=16?17(答案不唯一)；故答案为：142=16×7=16?17；(2)原式=nn+1；故答案为：nn+1 (3)分式方程整理得：1x?2?1x?1+1x?1?1x+1x?1x+1=1x+1，即1x?2=2x+1，方程两边同时乘(x?2)(x?1)，得x+1=2(x?2)，解得：x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．(1)观察已知等式得出规律，写出即可；(2)利用得出的拆项规律得出结果即可；(3)分式方程利用拆项法变形后，求出解即可．此题考查了解分式方程，约分，以及列代数式，弄清拆项的方法是解本题的关键．
24. 先进行括号里面的减法计算，再把除法转化成乘法，分解因式后进行约分即可．本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，分式的加减、乘除，最简分式，最简公分母，分式的化简求值等知识点的理解和掌握，能熟练地进行化简是解此题的关键．
25. 先进行括号里面的减法运算，再进行加法运算求得结果，最后选择合适的x的值，代入所得结果计算求值．本题主要考查了分式的化简求值，解决问题的关键是掌握分式的通分与约分.通分时要注意：若各分式的分母能分解因式，一定要先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母.在求值时要注意：所取的x的值不能使原分式无意义．
26. 根据分式无意义的条件为：分母不等于0即可判断．本题考查了分式无意义的条件：分母不等于0；同时考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不等于0的数，分式的值不变．