第一章 数与式第４节 因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个 化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
?a.?提公因式法： ma(mb(mc( ______________.?
b.?公式法: 公式法:?⑴平方差公式：a2-b2= ;?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2= ;⑶a2-2ab+b2=
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
? 易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1） D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选（C）
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（1）（2018年江苏省宿迁市）分解因式：x2y-y=________．
【考点】提取公因式法和公式法综合
【分析】根据因式分解的定义和步奏分解
解：原式=y(x2-1)= y（x+1）（x﹣1）
故答案为：y（x+1）（x﹣1）
（2）（2018年湖南省湘西州）分解因式：a2﹣9= ．
【考点】利用平方差公式分解因式
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
（3）（2018年辽宁省抚顺市）分解因式：xy2﹣4x= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（4）把x2-y2-2y-1分解因式结果正确的是（ ）
A．（x+y+1）（x-y-1） B．（x+y-1）（x-y-1） C．（x+y-1）（x+y+1） D．（x-y+1）（x+y+1）
【考点】因式分解-分组分解法．
【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
解：原式=x2-（y2+2y+1）， =x2-（y+1）2， =（x+y+1）（x-y-1）． 故选A．
(5) （2016?滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3， 则a=-2，b=-3， 故选A
◆变式训练
1.（2018年湖南省怀化市）因式分解：ab+ac= ．
2. （2018年湖南省张家界市）因式分解：a2+2a+1= ．
3.（2018年贵州省铜仁市）因式分解：a3﹣ab2= ．
4. （2006?张家界）分解因式：x2-2xy+y2+x-y的结果是（ ）
A．（x-y）（x-y+1） B．（x-y）（x-y-1） C．（x+y）（x-y+1） D．（x+y）（x-y-1）
5.（2014?怀化）多项式ax2-4ax-12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x-6）（x+2） B．a（x-3）（x+4） C．a（x2-4x-12） D．a（x+6）（x-2）
考点3.因式分解的应用
◇典例：
1．（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
2．（2016?宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【考点】因式分解的应用．
【分析】对（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，即可得到结论．
解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）， ∵x-y，x+y，a+b，a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌， ∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”， 故选C．
◆变式训练
（2016?贺州）n是整数，式子 [1-（-1）n]（n2-1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子
[1-（-1）n]（n2-1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：当n是偶数时，
[1-（-1）n]（n2-1）= [1-1]（n2-1）=0， 当n是奇数时， [1-（-1）n]（n2-1）=×（1+1）（n+1）（n-1）=
， 设n=2k-1（k为整数）， 则=
=k（k-1）， ∵0或k（k-1）（k为整数）都是偶数， 故选C．
1.（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． a（x﹣y）=ax﹣ay B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D． x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
2.（2018年广西贺州市）下列各式分解因式正确的是（ ）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
3.（2018年山东省东营市）分解因式：x3﹣4xy2= ．
4.（2018年吉林省）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
5.（2018年云南省）分解因式：x2﹣4= ．
6.（2018年广西桂林市中考试卷）因式分解：x2-4=__________
7.（2018年江苏省苏州市）若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
8.（2017年张掖市中考数学试卷含答案解析）分解因式：x2﹣2x+1= ．
9.（2018年江苏省无锡市）（1）分解因式：3x3﹣27x
（2）解不等式组：
10.（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
1.如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3
2.（2017校级模拟）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
3.（2017校级模拟）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． a（x﹣2）2 B． a（x+2）2 C． a（x﹣4）2 D． a（x+2）（x﹣2）
4.（2018年湖南省邵阳市）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
5.（2017校级模拟）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
6.（2017校级模拟）先观察下列各式：①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…下列选项成立的是（ ）
A．n2﹣（n﹣1）2=4n B．（n+1）2﹣n2=4（n+1）
C．（n+2）2﹣n2=4（n+1） D．（n+2）2﹣n2=4（n﹣1）
7.把式子x2-y2+5x+3y+4分解因式的结果是______．
8.若x2+mx-15=（x+3）（x-5），则m=????．
9．（2018年广东省）分解因式：x2﹣2x+1= ．
10．（2018年湖北省恩施州）因式分解：8a3﹣2ab2= ．
11.（2018年湖北省黄石市）分解因式：x3y﹣xy3= ．
12.（2018年山东省淄博市）分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
13.（2018年江苏省连云港市）分解因式：16﹣x2= ．
14.（2018年山东省威海市）分解因式：﹣ a2+2a﹣2= ．
15.（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
16.（2017校级模拟）为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；
（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
第一章 数与式第４节 因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个多项式化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
?a.?提公因式法： ma(mb(mc( __m(a+b+c)_.?
b.?公式法: 公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;⑶a2-2ab+b2=(a-b)2
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
? 易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1） D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选（C）
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解， （B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解， （D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全， 故选（C）
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），得 2x2+bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6． b=-4，c=-6， 故选：D．
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（1）（2018年江苏省宿迁市）分解因式：x2y-y=________．
【考点】提取公因式法和公式法综合
【分析】根据因式分解的定义和步奏分解
解：原式=y(x2-1)= y（x+1）（x﹣1）
故答案为：y（x+1）（x﹣1）
（2）（2018年湖南省湘西州）分解因式：a2﹣9= ．
【考点】利用平方差公式分解因式
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
（3）（2018年辽宁省抚顺市）分解因式：xy2﹣4x= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（4）把x2-y2-2y-1分解因式结果正确的是（ ）
A．（x+y+1）（x-y-1） B．（x+y-1）（x-y-1） C．（x+y-1）（x+y+1） D．（x-y+1）（x+y+1）
【考点】因式分解-分组分解法．
【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
解：原式=x2-（y2+2y+1）， =x2-（y+1）2， =（x+y+1）（x-y-1）． 故选A．
(5) （2016?滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3， 则a=-2，b=-3， 故选A
◆变式训练
1.（2018年湖南省怀化市）因式分解：ab+ac= ．
【考点】因式分解–提取公因式
【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．
解：ab+ac=a（b+c）．
故答案为：a（b+c）．
2. （2018年湖南省张家界市）因式分解：a2+2a+1= ．
【考点】完全平方公式分解因式
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：a2+2a+1=（a+1）2．
故答案为：（a+1）2．
3.（2018年贵州省铜仁市）因式分解：a3﹣ab2= ．
【考点】因式分解-提取公因式与公式法综合
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
4. （2006?张家界）分解因式：x2-2xy+y2+x-y的结果是（ ）
A．（x-y）（x-y+1） B．（x-y）（x-y-1） C．（x+y）（x-y+1） D．（x+y）（x-y-1）
【考点】因式分解-分组分解法．
【分析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2-2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x-y为一组．
解：x2-2xy+y2+x-y， =（x2-2xy+y2）+（x-y）， =（x-y）2+（x-y）， =（x-y）（x-y+1）． 故选A．
5.（2014?怀化）多项式ax2-4ax-12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x-6）（x+2） B．a（x-3）（x+4） C．a（x2-4x-12） D．a（x+6）（x-2）
【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．
【分析】首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解：ax2-4ax-12a =a（x2-4x-12） =a（x-6）（x+2）． 故答案为：a（x-6）（x+2）．
考点3.因式分解的应用
◇典例：
1．（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
2．（2016?宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【考点】因式分解的应用．
【分析】对（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，即可得到结论．
解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）， ∵x-y，x+y，a+b，a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌， ∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”， 故选C．
◆变式训练
（2016?贺州）n是整数，式子 [1-（-1）n]（n2-1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子
[1-（-1）n]（n2-1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：当n是偶数时，
[1-（-1）n]（n2-1）= [1-1]（n2-1）=0， 当n是奇数时， [1-（-1）n]（n2-1）=×（1+1）（n+1）（n-1）=
， 设n=2k-1（k为整数）， 则=
=k（k-1）， ∵0或k（k-1）（k为整数）都是偶数， 故选C．
1.（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． a（x﹣y）=ax﹣ay B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D． x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
【考点】 因式分解的意义．
【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
2.（2018年广西贺州市）下列各式分解因式正确的是（ ）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【考点】分解因式-公式法，提取公因式法
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键.
3.（2018年山东省东营市）分解因式：x3﹣4xy2= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=x（x2﹣4y2）=x（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.（2018年吉林省）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
【考点】提取公因式法分解因式
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
5.（2018年云南省）分解因式：x2﹣4= ．
【考点】平方差公式因式分解
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
6.（2018年广西桂林市中考试卷）因式分解：x2-4=__________
【考点】公式法分解因式
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可.!
解：x2-4=（x+2）（x-2）.
故答案为：（x+2）（x-2）.
点睛：本题考查用公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键
7.（2018年江苏省苏州市）若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
【考点】公式法分解因式
【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
解：∵a+b=4，a﹣b=1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2
=（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
=（a+b）（a﹣b+2）
=4×（1+2）
=12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．
8.（2017年张掖市中考数学试卷含答案解析）分解因式：x2﹣2x+1= ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
9.（2018年江苏省无锡市）（1）分解因式：3x3﹣27x
（2）解不等式组：
【考点】因式分解，解一元一次不等式组
【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式分解可得；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
解：（1）原式=3x（x2﹣9）
=3x（x+3）（x﹣3）；
（2）解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是因式分解和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10； ②2y2﹣14y+24．
【考点】 因式分解-十字相乘法等．
【分析】 仿照上述的方法，将原式分解即可．
解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）；
②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）．
点评： 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
1.如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3
【考点】 因式分解的意义．
【分析】分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件即可求出m的值． 解：∵2x2+mx-2=（2x+1）（x-2）=2x2-3x-2， ∴m=-3． 故选C．
2.（2017校级模拟）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
【考点】 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
【分析】 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解：A．x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
3.（2017校级模拟）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． a（x﹣2）2 B． a（x+2）2 C． a（x﹣4）2 D． a（x+2）（x﹣2）
【考点】 提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】 先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解：ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
故选：A．
4.（2018年湖南省邵阳市）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）
【考点】提取公因式法以及公式法分解因式
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x﹣x3=x（1﹣x2）
=x（1﹣x）（1+x）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
5.（2017校级模拟）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
6.（2017校级模拟）先观察下列各式：①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…下列选项成立的是（ ）
A．n2﹣（n﹣1）2=4n B．（n+1）2﹣n2=4（n+1）
C．（n+2）2﹣n2=4（n+1） D．（n+2）2﹣n2=4（n﹣1）
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据题意得出数字变化规律，运用公式表示即可．
解：∵①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…
∴（n+2）2﹣n2=4（n﹣1）．
故选；D．
7.把式子x2-y2+5x+3y+4分解因式的结果是______．
【考点】因式分解﹣分组分解法、提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】把原式变形成，（x2+4x+4）-（y2-4y+4）+x-y+4，前两部分可以写成完全平方的形式，利用平方差公式分解，然后利用提公因式法即可分解． 解：x2-y2+5x+3y+4 =（x2+4x+4）-（y2-4y+4）+x-y+4 =（x+2）2-（y-2）2+x-y+4 =（x+y）（x-y+4）+（x-y+4） =（x-y+4）（x+y+1）． 故答案是：（x-y+4）（x+y+1）．
8.若x2+mx-15=（x+3）（x-5），则m=????．
【考点】 因式分解的意义．
【分析】将右边的式子乘开，利用对应相等可得出答案． 解：x2+mx-15=（x+3）（x-5）=x2-2x-15， 故可得m=-2． 故答案为：-2．
9．（2018年广东省）分解因式：x2﹣2x+1= ．
【考点】公式法分解因式
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
10．（2018年湖北省恩施州）因式分解：8a3﹣2ab2= ．
【考点】取公因式法分解因式以及公式法分解因式
【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2）
=2a（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11.（2018年湖北省黄石市）分解因式：x3y﹣xy3= ．
【考点】公因式法和公式法进行因式分解
【分析】首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
解：x3y﹣xy3，
=xy（x2﹣y2），
=xy（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.（2018年山东省淄博市）分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
解：2x3﹣6x2+4x
=2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
13.（2018年江苏省连云港市）分解因式：16﹣x2= ．
【考点】平方差公式分解因式
【分析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．
解：16﹣x2=（4+x）（4﹣x）．
【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
14.（2018年山东省威海市）分解因式：﹣ a2+2a﹣2= ．
【考点】因式分解﹣运用公式
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式=﹣（a2﹣4a+4）=﹣（a﹣2）2，
故答案为：﹣（a﹣2）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【考点】因式分解的应用-代数式求值．
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
16.（2017校级模拟）为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；
（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
【考点】列代数式、因式分解、代数式的大小比较
【分析】（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金）÷n；
第3所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金﹣第2所民办学校得到的奖金）÷n；
（2）由（1）得k所民办学校所得到的奖金为ak=总资金÷n×（1﹣）n；
（3）用ak表示出ak+1进行比较即可．
解：（1）因为第1所学校得奖金a1=，所以第2所学校得奖金a2=（b﹣）=（1﹣）
所以第3所学校得奖金a3===
（2）由上可归纳得到ak=
（3）因为ak=，ak+1=，所以ak+1=（1﹣）ak＜ak
结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多．
