21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
直线和圆的位置关系
【经典例题】
知识点一 直线和圆的位置关系
【例1】已知在直角坐标平面内，以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（－2，3）
∴点P到x轴的距离是3
∵2＜3
∴以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，
故选：A．
知识点二 切线判定方法灵活运用
【例2】如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作圆O，交斜边AC于点D，连结BD，取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切。
【分析】连接OD，OE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE＝BE，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODE为直角，即可得证．
【解答】证明：连接OD，OE
在Rt△BDC中，E为BC的中点
∴DE＝BE＝CE＝BC
在△OEB和△OED中
∴△OEB≌△OED（SSS）
∴∠ODE=∠OBE=90°
则DE与圆O相切
知识点三 切线性质、判定的综合运用
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径
【分析】（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切
理由是：连接OD
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA
∵AD平分∠CAB
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD
∴OD∥AC
∵∠C＝90°
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC
∵OD为半径
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R
则OD＝OF＝R
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2
即
解得：R＝2
即⊙O的半径是2
知识点三 切线长定理
【例4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为C，交PA、PB于点E、F．若PA＝12cm，则△PEF的周长为__________；若∠P＝40°，则∠EOF的度数为__________。
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案；连接OE，OF，求出∠OEF＋∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数；
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴C△PEF＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝2PA＝24cm；
连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF＋∠OFE＝(∠P＋∠PFE)＋∠(P＋∠PEF)＝(180°＋40°)＝110°
∴∠EOF＝180°－110°＝70°．
知识点四 三角形的内切圆、内心、外切三角形
【例5】如图，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB边上的高CD＝，求△ABC内切圆的半径。
【分析】根据三角形的面积公式，据此即可求解．
【解答】解：设内切圆的半径是r
∵
即 ∴r＝
总结：三角形内切圆的有关计算中，常用到以下结论：①设△ABC三边为a、b、c，面积为S，则内切圆半径；②若△ABC为直角三角形（∠C＝90°）则或；③AF＝AD＝S－a，BE＝BD＝S－b，CF＝CE＝S－c。()
【知识巩固】
1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2
∵3＞2，即：d＜r
∴直线l与⊙O的位置关系是相交
故选：A．
2. 如图，PB为圆O的切线，B为切点，连接PO交圆O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为（ ）
A. 4 B.
C. D.
【解答】解：连接OB，则OB⊥PB，
在Rt△POB中，
OB＝OA＝PO－AP＝3，PO＝5
∴
故选：A
3. 如图所示，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．已知∠A＝26°，则∠ACB的度数为（ ）
A．32° B．30° C．26° D．13°
【解答】解：如图：连接OB
∵AB切⊙O于点B
∴∠OBA＝90°
∵∠A＝26°
∴∠AOB＝90°－26°＝64°
∵OB＝OC
∴∠C＝∠OBC
∵∠AOB＝∠C＋∠OBC＝2∠C
∴∠C＝32°
故选：A．
4. 直角三角形的斜边长为8，内切圆的半径为1，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【解答】解：如图所示：
设AD＝x，则BD＝8－x
∵⊙O是△ABC内切圆
∴AD＝AF＝x，BD＝BE＝8－x
∵∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，OE＝OF
∴四边形OECF为正方形
∴CE＝CF＝1
∴这个三角形周长：2x＋2(8－x)＋2＝18
故选：D．
5. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（ ）
A. 50 cm B.
C. D.
【解答】解：∵圆与V形架的两边相切
∴△OMP是直角三角形中∠OPN＝∠MPN＝30°
∴OP＝2ON＝50CM
故选：A．
【培优特训】
6. 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a＝________
【解答】解：∵等边三角形的边长为a
∴外接圆半径
内切圆半径
∴
故答案为
7. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F，若∠ACF＝64°，则∠E＝__________
【解答】解：连接OF
∵EF是⊙O切线
∴OF⊥EF
∵AB是直径，AB经过CD中点H
∴OH⊥EH
又∵∠AOF＝2∠ACF＝128°
在四边形EFOH中，∵∠OFE＋∠OHE＝80°
∴∠E＝180°－∠AOF＝180°－128°＝52°
8. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为__________
【解答】解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点E、F
∴AF＝AE
∵圆O与BC相切于点D
∴CE＝CD，BF＝BD
∴BC＝DC＋BD＝CE＋BF
∵△ABC的周长等于8
∴AB＋AC＋BC＝8
∴AB＋AC＋CE＋BF＝8
∴AF＋AE＝8
∴AF＝4
故答案为4
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆过AB上一点D．
（1）若AD＝AC，求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝4，BD＝8，求CE和AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
在△AOC和△AOD中
∴△AOC≌△AOD，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝r＋4，
在Rt△OBD中，∵OD2＋BD2＝OB2，
∴r2＋82＝(r＋4)2，解得r＝6，
∴CE＝2r＝12，
∵△AOC≌△AOD，
∴AC＝AD，
设AD＝t，
在Rt△ACB中，∵AC2＋BC2＝AB2，
∴t2＋162＝(t＋8)2，解得t＝20，
即AD＝20．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接OD、CD
∵OC＝OD
∴∠OCD＝∠ODC
∵AC为⊙O的直径
∴∠CDB＝90°
∵E为BC的中点
∴DE＝CE
∴∠ECD＝∠EDC
∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°
∴∠ODE＝∠ACB＝90°
即OD⊥DE
又∵D在圆O上
∴DE与圆O相切；
（2）解：若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°
∴∠A＝45°
∵OA＝OD ∴∠ODA＝∠A＝45°
∴∠COD＝∠A＋∠ODA＝90°
∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD
∴四边形ODEC为正方形．
【中考链接】
11. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm＝5cm
∴直线和圆相切． 故选：B．
12. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【解答】解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3
∴
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选：A
13. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【解答】解：当直线y＝－x＋b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图
在y＝－x＋b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b）
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0）
则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形
连接圆心O和切点C．则OC＝2
则OB＝OC＝．即b＝；
同理，当直线y＝－x＋b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时
b＝－
则若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是－＜b＜．
故选：D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
直线和圆的位置关系
【经典例题】
知识点一 直线和圆的位置关系
【例1】已知在直角坐标平面内，以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（－2，3）
∴点P到x轴的距离是3
∵2＜3
∴以点P（－2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，
故选：A．
知识点二 切线判定方法灵活运用
【例2】如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作圆O，交斜边AC于点D，连结BD，取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切。
【分析】连接OD，OE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE＝BE，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODE为直角，即可得证．
【解答】证明：连接OD，OE
在Rt△BDC中，E为BC的中点
∴DE＝BE＝CE＝BC
在△OEB和△OED中
∴△OEB≌△OED（SSS）
∴∠ODE=∠OBE=90°
则DE与圆O相切
知识点三 切线性质、判定的综合运用
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径
【分析】（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切
理由是：连接OD
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA
∵AD平分∠CAB
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD
∴OD∥AC
∵∠C＝90°
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC
∵OD为半径
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R
则OD＝OF＝R
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2
即
解得：R＝2
即⊙O的半径是2
知识点三 切线长定理
【例4】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为C，交PA、PB于点E、F．若PA＝12cm，则△PEF的周长为__________；若∠P＝40°，则∠EOF的度数为__________。
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案；连接OE，OF，求出∠OEF＋∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数；
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA＝PB
又∵直线EF是⊙O的切线
∴EB＝EQ，FQ＝FA
∴C△PEF＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝2PA＝24cm；
连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE
则∠OEF＋∠OFE＝(∠P＋∠PFE)＋∠(P＋∠PEF)＝(180°＋40°)＝110°
∴∠EOF＝180°－110°＝70°
知识点四 三角形的内切圆、内心、外切三角形
【例5】如图，已知△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，AB边上的高CD＝，求△ABC内切圆的半径。
【分析】根据三角形的面积公式，据此即可求解．
【解答】解：设内切圆的半径是r
∵
即 ∴r＝
总结：三角形内切圆的有关计算中，常用到以下结论：①设△ABC三边为a、b、c，面积为S，则内切圆半径；②若△ABC为直角三角形（∠C＝90°）则或；③AF＝AD＝S－a，BE＝BD＝S－b，CF＝CE＝S－c。()
【知识巩固】
1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2. 如图，PB为圆O的切线，B为切点，连接PO交圆O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为（ ）
A. 4 B.
C. D.
3. 如图所示，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．已知∠A＝26°，则∠ACB的度数为（ ）
A．32° B．30° C．26° D．13°
4. 直角三角形的斜边长为8，内切圆的半径为1，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
5. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（ ）
A. 50 cm B.
C. D.
【培优特训】
6. 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a＝________
7. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F，若∠ACF＝64°，则∠E＝__________
8. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为__________
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆过AB上一点D．
（1）若AD＝AC，求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝4，BD＝8，求CE和AD的长．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
【中考链接】
11. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
12. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
13. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
