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第9章 第二部分核心演练
第32讲 面积与最值考题典练
核心能力:
1 熟练运用两点之间线段最短和垂线段,利用对称和平移转化并构建几何模型,解决线段最值问题
2 熟练运用函数思想解决与面积或线段相关最值问题
3 借助旋转相似转化线段比或利用点圆最短模型解决线段最值问题
4 熟练运用等积法进行计算转化
核心方法:
熟练运用几何变换构图补形,借助转化思想,方程思想,函数思想及数形结合等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1:如图,已知点A在反比例函数y=的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC中点,连DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则K=______
典例2: 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是以A为圆心，半径为2的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，分别求BE的最大值与最小值．
典例3: (2017兰州)如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是( )
A． B．5 C．6 D．
典例4（2017郴州）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
典例5（2018·怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
核心典练(时限90分钟,共10每题10分,满分100分)
1（2018宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与A，D重合）点C落在点N出，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由，如不变，请求出定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x的函数表达式，并求出S的最小值．
2 (2018·吉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，∠ADB＝30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB－BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动．过点作P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作□PQMN．设运动的时间为x(s)，□PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)．
（1）当PQ⊥AB时，x＝________；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分时，直接写出x的值．
3 (2018·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，
（1） 直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3） 如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.
4（2018·盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（－1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为－，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
5（2018·烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C、D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形：请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E、F两点．在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使得DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
6 (2018·广安)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋3相交于A，B两点，交x轴于C，D两点，连结AC，BC，已知A(0，3)，C(－3，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使｜MB－MD｜的值最大，并求出最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连结PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7（2018·内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．
8(2018·郴州)如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求s关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
9 如图，已知直线AB：交X轴于A，交y轴于C， C点关于直线y=-1的对称点为F点，过F作x轴的平行线交直线AB于G,抛物线的顶点D在线段BG上移动,
(1)以A为位似中心，在A点左边将OC放大3倍得位似线段BE，请直接写出A、B、F、G点坐标分别为A( )B( )F( )G( )
（2）若抛物线的顶点D在线段BG上移动时，恰与线段FG有一仅有一个公共点，求b的取值范围
（3)动点M从 P(-2,0)出发，沿PD以1个单位每秒向D运动，再沿DB以个单位每秒运动到B后停止，当D的坐标是多少时，点M运动时间最少时，在抛物线上是否存点N，在线段OB上方与OB所在的直线围成的三角形的面积最大？若存在，求出N的坐标.若不存在，请说明理由。
10（2018重庆）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH＋HF＋FO的最小值；（3）在（2）中，PH＋HF＋FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF'H'．过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
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第9章 第二部分核心演练
第32讲 面积与最值考题典练
核心能力:
1 熟练运用两点之间线段最短和垂线段,利用对称和平移转化并构建几何模型,解决线段最值问题
2 熟练运用函数思想解决与面积或线段相关最值问题
3 借助旋转相似转化线段比或利用点圆最短模型解决线段最值问题
4 熟练运用等积法进行计算转化
核心方法:
熟练运用几何变换构图补形,借助转化思想,方程思想,函数思想及数形结合等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1:如图,已知点A在反比例函数y=的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC中点,连DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则K=______
【解答】解：连OA,BE, ∵D是AC中点, ∴,,,即,∵AB∥OE,△ABD和△ABE的底边AB边上的高相同,∴,∴K=2
典例2: 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是以A为圆心，半径为2的圆上一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，分别求BE的最大值与最小值．
【解答】解：解法1:如图，取AC的中点F，连接EF、BF、AD，易得BF＝AB＝3，EF＝AD＝1，在△BEF中，有BF－EF≤BE≤BF＋EF，即3－1≤BE≤3＋1，当且仅当B、E、F三点共线时取等，故BE的最小值为3－1，最大值为3＋1．
解法2:如图，延长CB至点F，使BF＝CB=6，连接DF，则BE为△CDF的中位线，故BE＝FD；要求BE的最值，转化求FD的最值，这是一个典型的“点圆距离”问题，其最小值为FA－AD＝FA－1，最大值为FA＋AD＝FA＋1；又∠FAC＝90°，FA＝6，故FD的最小值为6－2，最大值为6＋2，故BE的BE的最小值为3－1，最大值为3＋1．
解法3:如图,由E为CD的中点，可知点E的路径是一个圆，且由⊙A以定点C为位似中心，以为位似比缩小而来，其圆心即为图中的⊙F，其中点F为AC的的中点，则BE的最值问题转化为“点圆距离”问题,同样可求得BE的最小值为3－1，最大值为3＋1
典例3: (2017兰州)如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是( )
A． B．5 C．6 D．
【解答】解：若点E在BC上时，如图∵∠EFC＋∠AEB＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，∴∠CFE＝∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，∴△CFE∽△BEA，由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时＝，BE＝CE＝x－，即＝，∴y＝ (x-)2，当y＝时，代入方程式解得：x1＝(舍去)，x2＝，∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB＝，∴矩形ABCD的面积为2×＝5；
故选B．
典例4（2017郴州）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2＋4；
（3）存在，
①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，∴t＝2÷1＝2s；
③当6＜t＜10s时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；
④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14cm，∴t＝14÷1＝14s，综上所述：当t＝2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
典例5（2018·怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】解：（1）由题知，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，∴C（0，3）.设AC：y＝kx＋3，则－k＋3＝0，∴k＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3；
（2）如图1，∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴D（1，4）.取点D关于y轴的对称点D′(－1，4)，连BD′交y轴于点M，此时MB＋MD最小，从而△BDM的周长最小.设BD′：y＝mx＋n，则，解得，∴BD′：y＝－x＋3，当x＝0时，y＝－x＋3＝3，∴点M的坐标为（0，3）.
（3）存在.设P（t，－t2＋2t＋3）.
①当∠ACP＝90°时，如图2，过点P作PE⊥y轴于E，则∠PEC＝∠AOC＝90°，∵∠ACO＋∠PCE＝∠CPE＋∠PCE＝90°，∴∠ACO＝∠CPE，∴tan∠ACO＝tan∠CPE，∴，∴PE＝3CE，∴t＝3[3－(－t2＋2t＋3)，解得t1＝0（舍去），t2＝，当t＝时，－t2＋2t＋3＝，∴P（，）；
②当∠CAP＝90°时，如图2，过点P作PF⊥x轴于F.同①得AF＝3PF，
∴t－（－1）＝3[－(－t2＋2t＋3)]，解得t1＝－1（舍去），t2＝，当t＝时，－t2＋2t＋3＝，∴P（，－）.综①、②可得，存在符合条件的点P，其坐标为（，）或（，－）.
（图1） （图2） （图3）
核心典练(时限90分钟,共10每题10分,满分100分)
1（2018宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与A，D重合）点C落在点N出，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由，如不变，请求出定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x的函数表达式，并求出S的最小值．
【解答】解：（1）由翻折得ME＝BE＝x，则AE＝1－x，在Rt△AEM中，，解得；
（2）△PDM的周长不变为定值2；证明：连接BM，BP，过B作B作BH⊥MN，垂足为H．∵BE＝EM，∠EBM＝∠EMB，∠EBC＝∠EMN＝90°，∴∠MBC＝∠BMN，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC＝∠BMN;在Rt△ABM和Rt△HBM中，∴△ABM≌△HBM(AAS)∴AM＝HM，AB＝BH＝BC;在Rt△BCH和Rt△BQH中， ∴Rt△ABM≌Rt△QBP(HL)∴HP＝PC
∴C△PDM＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋DP＋AM＋PC＝AD＋DC＝2,即△PDM的周长为定值2；
（3）过F作FQ⊥AB，连接BM；由题意得：∠BEF＝MEF，BM⊥EF，∴∠QFE＝∠EMB＝∠EBM
在△ABM和△QFE中，∴△ABM≌△QFE(ASA),∴AM＝QE
设AM＝a，由勾股定理得：AE2＋AM2＝EM2，即(1－x)2＋a2＝x2，解得AM＝QE＝
∴CF＝
∴S＝
＝
∴当时有最小值是；即时，四边形BEFC的面积最小值为；
2 (2018·吉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，∠ADB＝30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB－BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动．过点作P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作□PQMN．设运动的时间为x(s)，□PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)．
（1）当PQ⊥AB时，x＝________；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分时，直接写出x的值．
【解答】解：解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2﹣2x），∴x=s．故答案为s．
（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．
②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x
③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]=x2﹣3x+4；综上所述，y=．
（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan∠DEA=tan∠QPB，∴=，解得x=，综上所述，当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
3 (2018·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，
（1） 直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3） 如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.
【解答】解：（1）把点A(0，1)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c求出c，再利用对称轴公式x＝ 求出b.
可得y＝－x2＋2x＋1；
（2）∵直线，则∴直线过定点(1，4).联立，得.∴，.
∴.
∵
∴ ∴.∵， ∴.
（3）设为： ， ∴且(0，)，(2，)，(1，0)，设(0，)，
①△∽△时， ∴， ∴， ∴，此时必有一点满足条件；
②△∽△时， ∴， ∴， ∴.
∵符合条件的点恰有两个，∴第一种情况： 有两个相等的实数根，
，∴， ∵， ∴， ∴.将代入得：， ∴(0，)；将代入得： ，∴(0，)；
第二种情况： 有两个不相等的实数根，且其中一根为的解.∴， 将代入得：，∴.∵， ∴， ∴， .将代入得：， ∴(0，1)； ， ∴(0，2).
综上所述：当时，(0，)或(0，)，当时，(0，1)或(0，2).
4（2018·盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（－1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为－，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（－1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）解法1:（Ⅰ）如图，过点D作DE⊥x轴交PQ于点E，∵点P的横坐标为－，∴点P的纵坐标为－（）2＋2×（－）＋3＝，即P（－，），∵直尺的宽为4个单位长度，且点Q在抛物线上，点P在点Q的左侧，∴Q（，－），设直线PQ的表达式为y＝kx＋b（k≠0）∵P（－，），Q（，－），∴，解得，∴直线PQ的表达式为y＝－x＋，由题意设D（m，－m2＋2m＋3），则点E（m，－m＋），∴DE＝（－m2＋2m＋3）－（－m＋）＝－m2＋3m＋，
∴S△DPQ＝（－m2＋3m＋）×4＝－2（m2－3m）＋＝－2（m－）2＋8，∴当m＝时，S△DPQ取最大值，最大值为8，此时点D（，）．
（Ⅱ）:如图，过点D作DE⊥x轴交PQ于点E，∵直尺的宽为4个单位长度，且点Q在抛物线上，点P在点Q的左侧，∴xQ－xP＝4，设直线PQ的表达式为y＝kx＋b（k≠0）∴，②－①得：k（xQ－xP）＝yQ－yP，即4k＝yQ－yP∵点P、Q都在抛物线上，∴yQ－yP＝（－xQ2＋2xQ＋3）－（－xP2＋2xP＋3）＝8－4（xQ＋xP），∴4k＝8－4（xQ＋xP），即k＝2－（xQ＋xP）③，将③代入①得：［2－（xQ＋xP）］xP＋b＝yP，∴［2－（xQ＋xP）］xP＋b＝－xP2＋2xP＋3，即b＝3＋xPxQ，∴直线PQ的表达式为y＝［2－（xQ＋xP）］x＋（3＋xPxQ），由题意设D（m，－m2＋2m＋3），则点E（m，［2－（xQ＋xP）］m＋（3＋xPxQ）），∴DE＝（－m2＋2m＋3）－｛［2－（xQ＋xP）］m＋（3＋xPxQ）｝＝－m2＋（xQ＋xP）m－xPxQ，∴S△DPQ＝（－m2＋（xQ＋xP）m－xPxQ）×4＝－2［m2－（xQ＋xP）m］－2xPxQ
＝－2（m－）2＋＝－2（m－）2＋8，∴当m＝时，S△DPQ取最大值，最大值为8．
（2）解法2:如图,过D作y轴的平行线,交PQ于点E,再分别过P,Q向此平行线作垂线,垂足依次为G,H,设直线PQ的表达式为y＝kx＋b（k≠0）与抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3联立可得,∴,;
设D(,P(,Q(,E()
∴DE=;∴PG=;∴QH=,∴
∴DE=PG·QH,
（Ⅰ）∵点P的横坐标为－，∴P（－，），∵直尺的宽为4个单位长度，且点Q在抛物线上，点P在点Q的左侧，∴Q（，－），∴直线PQ的表达式为y＝－x＋，由题意设D（m，－m2＋2m＋3），,DE
∴,
∴当时,△DPQ面积取得最大值为8,此时D点坐标标为D（，）
（Ⅱ）设PG=t,则QH=4-t,由前面证得∴DE=PG·QH, ∴DE=PG·QH=t(4-t),
可证得,∴t=2时, 存在△DPQ面积取得最大值为8,此时P,Q,D三点的横坐标标符合＝
5（2018·烟台）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C、D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形：请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E、F两点．在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使得DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=kx+过点B（1，0），∴0=k+，k=﹣．∴直线的表达式是．
抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0），∴ 解得∴抛物线的表达式是．（2）情况一：△PDC中，当∠DCP为直角时．在Rt△PCB中，CB==．cos∠CBP=，解得BP=．点P坐标为（-，0），此时t=(s)．解 可得D点坐标为（﹣5，4）．
情况二：同理可得△PDC中，当∠CDP为直角时，P点坐标为（，0），此时t=．
情况三：△PDC中，当∠DPC为直角时，设P的坐标为（a，0），则，即．解得a=．∴P点坐标为（，0）或（，0）．此时t=或t=．综上所述，当t为或或或时，△PDC为直角三角形
（3）存在．直线EF的表达式为﹣4=．取D关于对称轴的对称点D′，则D′坐标为（2，4）．过D′作D′N⊥EF ． 过点 D′作D′G⊥x轴，交EF于点G．设点N的坐标为（a，），则．解得a=﹣2． =﹣2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
∵点N到D′G的距离为2﹣（﹣2）=4，又对称轴与D′G的距离为2﹣（﹣1．5）=3．5．∴点N在对称轴的左侧，由此可证明线段与对称轴有交点，其交点即为DM+MN取最小值时M的位置． 此时DM+MN的值最小．将x=2代入，得y=．∴G的坐标为（2，）． ∴D′G=．∴DN=D′G·cos∠ND′G = D′G·cos∠ABC==．即DM+MN的最小值为．设点M的坐标为（﹣1．5，b），则．解得b=．∴点M的坐标为（﹣1．5，）．综上DM+MN的最小值为，点M的坐标为（﹣1．5，），点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
6 (2018·广安)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋3相交于A，B两点，交x轴于C，D两点，连结AC，BC，已知A(0，3)，C(－3，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使｜MB－MD｜的值最大，并求出最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连结PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)将点A，C的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得解得b＝，c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x＋3．
(2)解方程组得∴点B的坐标为(－4，1)．点D关于对称轴对称的点是C(－3，0)．直线BC的解析式是y＝－x－3．直线BC与对称轴的交点(－，－)即为所求的点M．
(3)存在．如图，由点A，B，C的坐标可知，直线AC，BC与x轴所夹的锐角均是45°，∴∠ACB＝90°，且＝3．∵∠ACB＝∠APQ，∴当＝＝3时，△APQ∽△ACB．过点P作PH⊥y轴于点H，则△APQ∽△AHP．∴＝＝3，即AH＝3PH．设点P的横坐标为m，PH＝m，AH＝(m2＋m＋3)－3＝m2＋m．∴m2＋m＝3m．解得m＝1．∴点P的坐标为(1，6)．当m＞0时，m2＋＞m，即AH＞PH，∴AH≠PH，即符合条件的点P只有一个．
7（2018·内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴
解得∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3.
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，∴C（0，﹣3），∴x2+2x﹣3=﹣3，∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），∵A（﹣3，0）和点B（1，0），∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），∴CD=2，∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，∵S1：S2=4：5，∴S1=4，如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
8(2018·郴州)如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求s关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：(1) 把两点A(-1，0)，B(3，0)的坐标，代入y=-x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3，所以抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3．
(2)存在点M，使得四边形CDPM是菱形．若四边形CDPM是菱形，则对角线CP，DM互相垂直平分，连接CP交对称l于点G，则DG=GM=OC，又抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4与y轴的交点C的坐标为(0，3)，所以OC=3，故点M的坐标为(1，6)．
(3)①过点P作x轴的垂线，垂足为H．则OH=t，PH=-t2+2t+3，BH=3-t．而△PBC的面积S=S梯形OHPC+S三角形PHB-S三角形COB=(OC+PH)×OH+PH×HB-OC×BC=(3-t2+2t+3)×t+(-t2+2t+3)(3-t)-×3×3
=-t+t；
②∵S= -t+t，＜0，∴S有最大值，S= -t+t = ，当t= ，点P在第一象限，∴当t= 时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(，)．∵BC=3为定值，∴此时点P到BC的距离最大．设最大距离为n，所以， 解得n=．∴P点到直线BC的距离的最大值为．
9 如图，已知直线AB：交X轴于A，交y轴于C， C点关于直线y=-1的对称点为F点，过F作x轴的平行线交直线AB于G,抛物线的顶点D在线段BG上移动,
(1)以A为位似中心，在A点左边将OC放大3倍得位似线段BE，请直接写出A、B、F、G点坐标分别为A( )B( )F( )G( )
（2）若抛物线的顶点D在线段BG上移动时，恰与线段FG有一仅有一个公共点，求b的取值范围
（3)动点M从 P(-2,0)出发，沿PD以1个单位每秒向D运动，再沿DB以个单位每秒运动到B后停止，当D的坐标是多少时，点M运动时间最少时，在抛物线上是否存点N，在线段OB上方与OB所在的直线围成的三角形的面积最大？若存在，求出N的坐标.若不存在，请说明理由。
【解答】解：（1）A(2,0),B(-4,6),F(,0,-4),G(6,-4)
（2）设抛物线顶点D的横坐标为t，由于D在直线y=-x+2上运动，得b=2t
∴进而得c=;∴，当抛物线经过F点时，则有
解得;∴当时，抛物线与线段FG有且仅有一个交点;∴当抛物线与线段FG有且仅有一个交点;当抛物线经过G点时，则有解得 即当时,抛物线与线段FG有且仅有一个交点;即当时，抛物线与线段FG有且仅有一交点;综上所述，当或抛物线与线段FG有且仅有一交点.
（3）设M运动的总时间为t，则有;如图，过B作x轴的平行线BH，再过D作BH的垂线，垂足为H，则有;在Rt△HBD中，;所以;由两点之间线段最短（或垂线段最短）可知，PDH三点共线时，t取得最小值，此时D(-2,4);此时,该抛物线的解析式为
线段OB所在直线解析式为;求得OB与抛物线交点分别为O（0，0），L（，如图
设在线段OB上方的抛物线上存在点N（n,），此时（）,使得O，L与N点所组成的三角形面积S最大.过N作NM∥y轴交直线OB于M,则M点的坐标为（）则有
∵S的抛物线开口向下，∴S有最大值，∵ ∴,
∴n=，即N为（）时，S有最大值为
10（2018重庆）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH＋HF＋FO的最小值；（3）在（2）中，PH＋HF＋FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF'H'．过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得A(1，3)，B（3，3），D（2，4）则AB＝2
（2）延长PH，交BE于点N，∵B（3，3），E（1，1），∴直线BE的解析式为：y＝x设P(m，)，，则N（m，m）当PN取最大值时，S△PBE取最大值∴PN＝
∴当时，PN取最大值，∴P，H，3）构造与y轴夹角为30°的直线OK，如图：
则OK：y＝，即，KF＝FO∴PH＋HF＋FO＝PH＋HF＋KF
当HK⊥OK时，PH＋HF＋KF的最小值＝PH＋HM,由等积法可知:∴HK＝;∴PH＋HF＋FO＝PH＋HK＝＝
(3)∵OK的解析式为y＝，HK⊥OK∴HK的解析式为：，∴F（0，）
∵C（0，3），∴CF＝在Rt△CQF'中，CF＝，∠QCF'＝30°∴CQ＝CF＝1,∴Q(－1，3)
当DQ为边时，S点坐标分别为()，()，，
当DQ为对角线时，S点坐标为()，
当DR为对角线时, S点坐标为(5，3)
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