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第9章 第二部分核心演练
第33讲 圆与隐圆考题典练
核心能力:
1 熟练运用垂径定理,圆周角定理及切线性质解决相关推理与计算
2 熟练掌握作直径或连结过切点半径等重要辅助线
3 熟练运用定点定长及定角对定弦等模型构建辅助圆转化
核心方法:
熟练运用方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合,建模转化及临界分析等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1. 已知：点A（0,4），B（0，－6）C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则点C的坐标为 ．
典例2..（2018天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0,0），点A（5,0），点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O、B、C的对应点分别为D、E、F.
（1）如图1，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
典例3（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60° ，∠D＝30°，AB＝BC .
（1） 求∠A＋∠C的度数；
（2） 连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3） 若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2＋CE2，求点E运动路径的长度.
核心演练(时限90分钟,共9题,第1题4分,第2题至第9题每题12分,共100分)
1如图,在△ABC中,∠BAC=90°, , ,将△ABC绕着点A旋转得到△ADE,连接DB、EC,直线DB、EC相交于点F,连接AF,则线段AF的最大值为 .
2 已知：⊙O的半径为6，点A、点B在圆上，点C是⊙O上的动点（不与A、B重合），过点C、O的直线交⊙O于点D，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F.
(1) 如图1，若∠AOB=90 ，点C在劣弧AB上.证明：ΔAOE一定与ΔBOF全等；
(1) 如图2，若∠AOB=120 ，且ΔAOE与ΔBOF全等时，求ΔAOE的面积。
(1) 当∠AOB为锐角时，设∠AOB=α，∠EOA=β.探究：当α与β满足何关系时,ΔAOE与ΔBOF全等。
3. (2017扬州)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
(1)若AP=1，则AE= ；
(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
4 在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1．点D是边AB上一点（点D不与A，B重合），将纸片沿CD折叠，得到A的对称点A1，连接A1B．
（1）如图1，当点A1在BC的上方，且满足A1B⊥BC时，求A1B的长；
（2）如图2，当点D为AB的中点时，试判断四边形A1BCD的形状，并说明理由；
（3）当∠BDA1＝30° 时，求BD的长（直接写出结果）.
5（2018滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．
6(2018·株洲) 如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC与直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE．
(1)求证：直线CG为⊙O的切线；
(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH．
①求证：△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值．
7（2018·广州）已知抛物线y＝x2＋mx－2m－4（m＞4）.
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别是A、B（点A在点的右侧），与y轴交于点C，A、B、C三点都在⊙P上.
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x＝的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值.
8（2018·柳州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；
（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ＋EQ的最小值．
9（2018·咸宁）如图，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；
（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD．设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．
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第9章 第二部分核心演练
第33讲 圆与隐圆考题典练
核心能力:
1 熟练运用垂径定理,圆周角定理及切线性质解决相关推理与计算
2 熟练掌握作直径或连结过切点半径等重要辅助线
3 熟练运用定点定长及定角对定弦等模型构建辅助圆转化
核心方法:
熟练运用方程思想,函数思想,分类讨论,数形结合,建模转化及临界分析等基本思想方法进行推理
核心典例
典例1. 已知：点A（0,4），B（0，－6）C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则点C的坐标为 ．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙M,连接MA、MB、MC,再过点M分别向x轴、y轴作垂线,垂足依次为点G、N,由∠ACB＝45°,可得∠AMB＝90°,从而△AMB为等腰直角三角形；
由题易知MA＝MB＝MC＝＝5,MN＝AN＝BN＝＝5； 又四边形OGMN为矩形,故OG＝MN＝5,GM＝ON＝OB－BN＝1；在Rt△CMG中，由勾股定理得CG＝＝7,则OC＝OG＋CG＝12,因此点C的坐标为(12,0).
典例2.（2018天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0,0），点A（5,0），点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O、B、C的对应点分别为D、E、F.
（1）如图1，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
【解答】解：（1）∵点A(5,0),B(0,3),∴OA=5,OB=3.∵四边形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,BC=OA=5,∠OBC=∠C=90°,∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的,∴AD=AO=5,在Rt△ADC中,由勾股定理可得∴BD=BC-DC=1, ∴D的坐标(1,3)
（2）①由四边形ADEF是矩形,得∠ADE=90°,又D点在线段BE上,得∠ADB=90°,由(1)知,AD=AD,而AB=AB, ∠AOB=∠ADB=90°∴Rt△ADB≌Rt△AOB
②∵Rt△ADB≌Rt△AOB, ∴∠BAD=∠BAO,在矩形AOBC中,OA∥BC, ∴∠CBA=∠OAB,∴∠BAD=∠CBA, ∴BH=AH,设BH=x,则AH= x,HC=BC-BH=5- x,在Rt△AHC中,由勾股定理可得,∴,∴,∴,∴H点坐标为(,3)
(3)解法1:以A为圆心,AO为半径作圆,过点K作直径,当D与点重合时, 取最小值为,当当D与点重合时, 取最大值为,故S的取值范围为;
解法2:整个矩形AOBC在绕定点A顺时针旋转一周中,对角线交点K到A的距离保持不动, ∴交点K相当于在绕定点A逆时针旋转一周,即K在以A为圆心,AB的一半为径的⊙A上,显然当OB边上高取最值时,△KOB也相应的取最值,设⊙A与x轴的两个交点为,显然有取最小值为,取最大值为,故S的取值范围为;
典例3（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60° ，∠D＝30°，AB＝BC .
（1） 求∠A＋∠C的度数；
（2） 连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3） 若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2＋CE2，求点E运动路径的长度.
【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，∠B＝60° ，∠D＝30°．∴∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝270°．
（2）AD2＋CD2＝BD2．理由：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BAD′，连接DD′．∵BD＝BD′，CD＝AD′，∠DBD′＝60°，∠BAD′＝∠C．∴△BDD′是等边三角形．∴DD′＝BD．又∠BAD＋∠C＝270°，∴∠BAD′＋∠C＝270°．∴∠DAD′＝90°．∴AD2＋AD′2＝DD′2．即AD2＋CD2＝BD2．
（3）如图，将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE′A，连接EE′．∵BE＝BE′＝EE′，CE＝AE′，∠EBE′＝60°，∠BEC＝∠BE′A．∴△BEE′是等边三角形．∴∠BE′E＝60°．∵AE2＝BE2＋CE2，BE＝EE′，CE＝AE′．∴AE2＝EE′2＋AE′2．∴∠AE′E＝90°．∴∠BE′A＝150°．∴∠BEC＝150°．∴点E在以BC为弦，优弧所对的圆心角为300°的圆上．以BC为边在下方作等边△BCO，则O为圆心，半径BO＝1．∴点E运动路径为，＝＝．
核心演练(时限90分钟,共9题,第1题4分,第2题至第9题每题12分,共100分)
1如图,在△ABC中,∠BAC=90°, , ,将△ABC绕着点A旋转得到△ADE,连接DB、EC,直线DB、EC相交于点F,连接AF,则线段AF的最大值为 .
【解答】解：如图,由题易证△ABD∽△ACE,则∠ADB=∠AEC,进而得∠DFE=∠DAE=90°,故∠BFC=90°；由 “定边BC对直角∠BFC”模型,可知点F在以BC为直径的⊙O上运动,当且仅当AF为⊙O的直径时,AF取最大值为15
2 已知：⊙O的半径为6，点A、点B在圆上，点C是⊙O上的动点（不与A、B重合），过点C、O的直线交⊙O于点D，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F.
(1) 如图1，若∠AOB=90 ，点C在劣弧AB上.证明：ΔAOE一定与ΔBOF全等；
(1) 如图2，若∠AOB=120 ，且ΔAOE与ΔBOF全等时，求ΔAOE的面积。
(1) 当∠AOB为锐角时，设∠AOB=α，∠EOA=β.探究：当α与β满足何关系时,ΔAOE与ΔBOF全等。
【解答】解：（1）如图3，点C在劣弧AB上，易得∠AOB=∠1+∠2=90°，
且∠AEO=∠BFO=90°；∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3 ,又∵AO=BO ∴△AOE≌△OBF（AAS）
（2）如图4，若∠AOB=120°，则∠AOE+∠BOF=60°又∵ △AOE≌△BOF ∴∠AOE=∠BOF=30°在Rt△AOE中，AE=AO=3 由勾股定理可得：OE= ∴S△AOE=AEOE=
如图5， ∵ △AOE≌△OBF ∴∠AOE=∠OBF , 又∵∠BOC=∠OBF+90°∴∠OBF+90°=∠AOB-∠AOE , 若∠AOB=120°，则∠OBF=∠AOE=15° , 延长AE交于点M,连接FM，并过点A作AN⊥FM于点N ,由垂径定理可得：AM=2AE；∠AOM=2∠AOE=30° , 在Rt△ANO中，AN=AO=3， ∴S△AOM=ANOM=, ∴S△AOE =S△AOM ==
综上所述：△AOE的面积为或 .
（3）当α为锐角时
结论1：如图6，α=2β
结论2：如图7，α+2β=180°
结论3：如图8，α+2β=90°
结论4：如图9，2β-α=90°
3. (2017扬州)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
(1)若AP=1，则AE= ；
(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=；故答案为：；
(2)①证明：∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，∴点O一定在△APE的外接圆上；
②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，即点O经过的路径长为2；
(3)解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，设AP= x，则BP=4﹣x，由(1)得：△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE= x﹣x 2=﹣ (x﹣2)2+1，∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．
4 在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1．点D是边AB上一点（点D不与A，B重合），将纸片沿CD折叠，得到A的对称点A1，连接A1B．
（1）如图1，当点A1在BC的上方，且满足A1B⊥BC时，求A1B的长；
（2）如图2，当点D为AB的中点时，试判断四边形A1BCD的形状，并说明理由；
（3）当∠BDA1＝30° 时，求BD的长（直接写出结果）.
【解答】解：：（1）由折叠知，A1C＝AC. ∵A1B⊥BC，∴∠A1BC＝90°. 在Rt△A1BC中，A1C＝AC＝，BC＝1，根据勾股定理，A1B＝.
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝，BC＝1，∴∠A＝30°.∵D是AB的中点，∴CD＝DA＝1. ∴∠1＝∠A＝30°.由折叠知，∠1＝∠2＝∠A＝∠4＝30°，DA1＝DA＝1.∴∠3＝90°－30°－30°＝30°＝∠4.∴DA1∥BC. ∵BC＝AB＝DA＝DA1，∴四边形A1BCD是平行四边形.∵CD＝DA，DA＝DA1，∴CD＝DA1.∴四边形A1BCD是菱形.
（3）容易知道点A1在以点C为圆心，以CA长为半径的⊙C上，因为无法确定点D在边AB的位置或点A1在⊙C上的位置，所以∠BDA1＝30°，点A和点A1是关于直线CD的对称点，由轴对称的性质得，DA1＝DA，∠BAA1＝∠BDA1＝15°，画∠BAA1＝15°与⊙C交于点A1，问题迎刃而解，
当∠BDA1＝30°时，分两种情况：
①点A1在直线BC上时，BD＝－1.
②点A1在直线BC下方时，BD＝2－.
5（2018滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．
【解答】解：如图①，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA＝PB＝MH＝y． ∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P横坐标为2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y2．∴y＝.答：当x＝2时，求⊙P的半径等于.
（2）如图②，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H．连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA=PB＝MH＝y．∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y．∴PH＝x－1，AH＝2－y．∵在Rt△AHP中，AH ＋HP ＝AP ，∴（2－y） ＋（x－1） ＝y ．∴4－4y＋y ＋x －2x－1＝y ．∴4y＝x －2x＋5.∴y＝x －x＋.
（3）根据集合的定义可知：点A（1，2），x轴
（4）如图③，半径为1，即y＝1，代入y＝x －x＋求得x＝1，即圆心P（1，1），又可知P（1，1）即为函数y＝x －x＋的顶点，故作出如下图．则D（m，），过D作DH⊥AP于H，则DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1） ，PD＝1，则有（m－1） ＋[（m－1） ] ＝1 ，令（m－1） ＝t，则上式可替换为t＋（t） ＝1 ，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.
6(2018·株洲) 如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC与直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE．
(1)求证：直线CG为⊙O的切线；
(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH．
①求证：△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值．
【解答】解：(1)∵AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，∴∠ACB=90°，∠GAF=∠CAF，∴∠CAF+∠ABC=90°，∴∠GAF+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠GAF+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=90°，即∠OCF=90°，∴OC⊥CG，∴直线CG为⊙O的切线；
(2)①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∴∠CBH=∠OBC，∠CHB=∠OCB，∴△CBH∽△OBC；②∵△CBH∽△OBC，∴，∵AB=8，∴CO=4，BH=OB-OH=4-OH，∴，∴OH=4-HC2，∴OH+HC=4-HC2+HC=-(HC-2)2+5，当HC=2时，OH+HC的最大值为5．
7（2018·广州）已知抛物线y＝x2＋mx－2m－4（m＞4）.
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别是A、B（点A在点的右侧），与y轴交于点C，A、B、C三点都在⊙P上.
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x＝的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值.
【解答】解：（1）令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0．∵△＝m2－m(－2m－4)＝m2＋8m＋16＝(m＋4) 2，又m＞4，∴(m＋4) 2＞0．∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）①设⊙P经过轴上的另一个交点F．令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0．(x－2)(x＋m＋2)＝0．x1＝2，x2＝－m－2．又m＞4，点A在点的右侧．∴A（2，0），B（－m－2，0）．∵当x＝0时，y＝－2m－4，∴C（0，－2m－4）．则AO＝0，BO＝m＋2，CO＝2m＋4．∵∠BCO＝∠BAF，∠CBO＝∠AFO，∴△BCO∽△FAO．∴，．∴FO＝1，点F（1，0）．
②∵点C（0，－2m－4）关于直线x＝的对称点为点E，∴E（－m，－2m－4），又B（－m－2，0），D（0，1）．∴BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25, BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴BD2 ＋BE2＝ DE2．∴∠DBE＝90°．∴DE是⊙P直径．∵BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴．∴．设BD＝a，BE＝2a，则DE＝．∴＝＝．
8（2018·柳州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；
（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ＋EQ的最小值．
【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝OC，A(，0)，∴点B、C的坐标分别为(－3，0)，(－3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－)，代入点C的坐标，得：
－3＝a·3·(－)，解得：a＝．故该抛物线的解析式为y＝(x＋3)(x－)＝x2＋x－3．
（2）在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°．又∵AH是∠FAC的平分线，∴∠FAH＝30°，则AF＝FH．由点P的横坐标为m，则它的纵坐标为m2＋m－3．∴AF＝－m，PF＝3－m2－m．∴FH＝AF＝(－m)．∵FH＝HP，则PF＝2FH，∴(－m)＝m2＋m－3．解得：m＝(舍去)或m＝－．故m的值为－．
（3）连接CH．∵AF＝AC＝2，∠FAH＝∠CAH，AH＝AH，∴△AHF≌△AHC(SAS)，∴FH＝CH＝2．故⊙H的半径为1．在HA上截取HM＝，则AM＝4－＝．∵＝，＝，∴＝，且∠QHM＝∠AHQ，∴△QHM∽△AHQ，∴＝，则AQ＝MQ,∴AQ＋QE＝QM＋QE． ∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长．在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME＝＝＝．
9（2018·咸宁）如图，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；
（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD．设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝3．∴A（4,0），B（0,3）．把A（4,0），B（0,3）代入y＝－x2＋bx＋c得
EQ \B\lc\{(\a\al(－×42＋4b＋c＝0，,c＝3．)) 解得 EQ \B\lc\{(\a\al(b＝，,c＝3．)) ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3．
（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴＝．∵P（m，－m2＋m＋3），E（m，－m＋3）．则PE＝(－m2＋m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋m．∴y＝(－m2＋m)＝－m2＋m(0＜m＜3)．∵y＝－m2＋m＝－(m－2)2＋(0＜m＜3)．∴当m＝2时，y最大值＝．∴PQ与OQ的比值的最大值为．
（3）由抛物线y＝－x2＋x＋3，易求C（－2,0），对称轴为x＝1．∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上.,设CO的垂直平分线与CO相交于点N.连接OM、CM、DM，则∠ODC＝∠CMO＝∠OMN，MC＝MO＝MD，sin∠ODC＝sin∠OMN＝＝.∴sin∠ODC的值随着MO的减小而增大.又∵MO＝MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时，⊙M与直线x＝1相切，MD＝2.;MN＝＝，∴M（－1，－）.根据对称性性，另一点（－1，）也符合题意.;
综上所述，点的坐标为（－1，－）或（－1，）.
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