课件38张PPT。第一章 三角函数§1 周期现象 §2 角的概念的推广学习目标
1.了解现实生活中的周期现象.
2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.
3.掌握终边相同的角的含义及其表示.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 周期现象思考 “钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？答案 周而复始，重复出现.梳理 (1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会 出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.重复知识点二 角的相关概念思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.
若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 从一个位置_____到另一个位置所形成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：一条射线端点旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三 象限角思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角： 在第几象限就是第几象限角；
轴线角： 落在坐标轴上的角.终边终边知识点四 终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，
故它们与60°分别相隔了2个周角和1个周角.思考2 如何表示与60°终边相同的角？答案 60°＋k·360°(k∈Z).梳理 终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的整数倍的和.周角[思考辨析 判断正误]
1.终边与始边重合的角是零角.( )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
2.小于90°的角是锐角.( )
提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.
3.钝角是第二象限角.( )
4.第二象限角是钝角.( )
提示 第二象限角不一定是钝角.√×××答案提示题型探究类型一 周期现象的应用例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈.
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).解答反思与感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.
(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？解 设x分钟后盛水y升，
由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝ ·160＝32x，为使水车盛800升的水，
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少需要25分钟.解答类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；解 因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.解答(2)650°；解 因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)－950°15′.解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，
所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.解答反思与感悟 判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角.
①549°；解 ∵549°＝189°＋360°，
∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同.②－60°；解 ∵－60°＝300°－360°，
∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同.③－503°36′.解 ∵－503°36′＝216°24′－2×360°，
∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.解答解答解 由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ①
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z).
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z).
由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，
得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.解答(2)最小的正角；解 由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，
得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.(3)[360°，720°)的角.解 由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，
得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，
故所求的角为β＝670°.解答反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解 由终边相同的角的表示知，
与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.解答命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.解答反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.解答达标检测1.下列是周期现象的为
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量.
A.①②④ B.③④
C.①② D.①②③解析 ①②是周期现象；
③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；
④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.√答案解析124532.与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.√答案解析124533.2 018°是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角.√答案解析124534.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是 s.解析 如图，质点从O点向左运动，
O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，
由于M→O与O→M用时相同，1.4从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为M→O→B→O→M所用时间，为0.3×2＋0.8＝1.4(s).答案解析124535.已知，如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.解答124531.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现.
2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义.
3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.课件33张PPT。第一章 三角函数§3 弧度制学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，用符号rad表示.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算
设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝ .度弧度弧度知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理 (1)角度与弧度的互化2π360°π180°0.017 4557.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系45°90°135°270°0知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，
则S＝ lr，l＝αr.梳理[思考辨析 判断正误]
1.1 rad的角和1°的角大小相等.( )2.用弧度来表示的角都是正角.( )提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.√××答案提示题型探究类型一 角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；解答解答跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；解答类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角.
(1)－1 500°；解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.解答(3)－4.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.解答反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；解答解答当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用√答案解析(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为√答案解析跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，解答即扇形的圆心角为2 rad.达标检测1.下列说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.√答案解析124532.时针经过一小时，转过了解析 时针经过一小时，转过－30°，√答案解析124533.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限解析 2π－5与－5的终边相同，√答案解析12453∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4解析 设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，√12453答案解析(1)弧AB的长；所以弧AB的长为4π.解答12453(2)扇形所含弓形的面积.12453所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，解答1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课件40张PPT。第一章 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学习目标
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.
2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.
3.理解周期函数的定义.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦分别等于什么？答案 不会.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？答案 sin α＝y，cos α＝x.梳理 (1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角α的正弦函数，记作 ；点P的 定义为角α的余弦函数，记作 .
(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.纵坐标vv＝sin α横坐标uu＝cos α知识点二 正弦、余弦函数的定义域思考 对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义.梳理 正弦函数、余弦函数的定义域知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin α＝v，cos α＝u.
当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0，
同理可得α在其他象限时三角函数值的符号.梳理 正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四 周期函数思考 由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.梳理 一般地，对于函数f(x)，如果存在 ，对定义域内的_____
_____x值，都有 ，我们就把f(x)称为周期函数， 称为这个函数的周期.
特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x)T最小最小正周期[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数.( )提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，
对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，
∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数.2.任何周期函数都有最小正周期.( )提示 对于常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.××答案提示题型探究类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值解答∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，当x＝－1时，P(－1，3)，反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，解答命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值解答解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，解答类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限解析 ∵α为第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.√答案解析(2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；解 ∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.解答②sin 3·cos 4.解答∴sin 3＞0，cos 4＜0，
∴sin 3·cos 4<0.反思与感悟 准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键.跟踪训练3 若三角形的两内角A，B满足sin Acos B＜0，则此三角形必为
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能解析 由题意知，A，B∈(0，π)，
∴sin A＞0，cos B＜0，
∴B为钝角.故选B.√答案解析类型三 周期性例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；证明 ∵f(x＋4)＝f?[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.证明证明∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.反思与感悟 (1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(x＋T)＝f(x).跟踪训练4 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值.解 由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)， ①
得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a). ②
①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，
即f(x－a)＝－f(x＋2a)，
∴f(x)＝－f(x＋3a)，
即f(x＋3a)＝－f(x)，
∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).
∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，
∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.解答达标检测1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于解析 由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，√答案解析12453A.1 B.0 C.2 D.－2解析 ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.√答案解析12453A.2 B.0 C.－1 D.－3解析 ∵f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z且k≠0，也是f(x)的周期.√又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，12453答案解析4.点P(sin 2 016°，cos 2 016°)位于第 象限.解析 ∵2 016°＝5×360°＋216°，
∴2 016°是第三象限角，
∴sin 2 016°<0，cos 2 016°＜0，
∴点P位于第三象限.12453答案解析三5.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.12453解答1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.
2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.
3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.课件27张PPT。第一章 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标
1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.
2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？梳理 正弦、余弦函数的性质2π[思考辨析 判断正误]
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( )提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.( )××答案提示3.存在实数x，使得cos x＝ .( )提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.( )提示 由余弦函数的单调性可知正确.×√答案提示题型探究类型一 正弦、余弦函数的定义域例1 求下列函数的定义域.解答则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，解答反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.则必须满足2sin x＋1≥0，答案解析类型二 正弦、余弦函数的值域与最值∴当x＝0时，ymax＝1，解答(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值.解 当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2，
∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
∴它的最小值为－1.解答反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.
(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.答案解析例3 函数y＝cos x的一个递增区间为类型三 正弦、余弦函数的单调性√解析 ∵y＝cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
令k＝1得[π，2π]，即为y＝cos x的一个递增区间，而(π，2π)?[π，2π]，故选D.答案解析反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.跟踪训练3 求下列函数的单调区间.
(1)y＝sin x，x∈[－π，π]；解答(2)y＝cos x，x∈[－π，π].解 y＝cos x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，
递减区间为[0，π].达标检测1.函数y＝cos x－1的最小值是
A.0 B.1 C.－2 D.－1解析 cos x∈[－1，1]，所以y＝cos x－1的最小值为－2.√答案解析1243答案解析12433.函数f(x)＝－2sin x＋1的最大值为 .解析 因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝－1时，f(x)取最大值2＋1＝3.答案解析312431243∴y∈[－2，1]，解答利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.课件29张PPT。第一章 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案 它们的对应关系如表：思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案 它们交点间对称关系如表：设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.梳理 对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α， cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8)
sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α (1.9)
sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α (1.11)
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α (1.12)
公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
这五组诱导公式的记忆口诀是“ ”.其含义是诱导公式两边的函数名称 ，符号则是将α看成 时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.函数名不变，符号看象限一致锐角[思考辨析 判断正误]
1.sin(α－π)＝sin α.( )提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( )提示 在角度制和弧度制下，公式都成立.××√答案提示题型探究类型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；解答(4)cos(－1 920°).解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)解答反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式1.9来转化.
(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答解答类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ .解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，
∴sin α＝0.3，
∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.－0.3答案解析反思与感悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，√答案解析类型三 利用诱导公式化简解答引申探究解 当n＝2k时，当n＝2k＋1时，综上，原式＝1.解答反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.解答达标检测1.sin 585°的值为√答案解析12453√答案解析124533.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是
A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β
C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β√12453答案4.sin 750°＝ .解析 ∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝ .12453答案解析12453解答1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课件28张PPT。第一章 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标
1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 ±α的诱导公式答案 以－α代换公式中的α得到梳理 对任意角α，有下列关系式成立：余(正)弦锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限知识点二 诱导公式的记忆方法1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.[思考辨析 判断正误]2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( )提示 应看原三角函数值的符号.××答案提示题型探究类型一 利用诱导公式求值解答解答解答类型二 利用诱导公式化简解 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z).
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.解答反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.解答类型三 诱导公式的综合应用(1)化简f(x)；解答解答反思与感悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.(1)化简f(α)；解答达标检测√答案解析12453√答案解析1245312453√答案解析12453答案解析12453解答1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”
的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.课件26张PPT。第一章 §5 正弦函数的图像与性质5.1 正弦函数的图像学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 几何法作正弦函数的图像思考 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，如图.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像的形状完全一致.于是只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像，如图.梳理 正弦函数的图像叫作 .正弦曲线知识点二 “五点法”作正弦函数的图像思考1 描点法作函数图像有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线.思考2 “五点法”作正弦函数在x∈[0，2π]上的图像时是哪五个点？答案 梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图像的步骤：
(1)列表(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是______________
_________________________；
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.[思考辨析 判断正误]
1.正弦函数y＝sin x的图像向左、右和上、下无限伸展.( )2.函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图像完全相同.( )提示 二者图像不同，而是关于x轴对称.××答案提示提示 正弦函数y＝sin x的图像向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间.题型探究类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 取值列表：描点连线，如图所示.解答反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图像在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图.解答类型二 利用正弦函数图像求定义域作出y＝sin x的图像，如图所示.
结合图像可得x∈[－4，－π)∪(0，π).解答反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.由正弦函数的图像或单位圆(如图所示)，解答达标检测1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是√答案解析124532.下列图像中，y＝－sin x在[0，2π]上的图像是12453解析 由y＝sin x在[0，2π]上的图像作关于x轴的对称图形，应为D项.√答案解析3.不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为
A.[0，π] B.(0，π)12453√解析 由y＝sin x在[0，2π]的图像可得(图略).答案解析12453解析 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，答案解析5.用“五点法”画出函数y＝2－sin x的简图.解 (1)取值列表如右：(2)描点、连线，如图所示.12453解答1.对“五点法”画正弦函数图像的理解
(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图.
(2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数y＝asin x＋b的图像的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出.课件35张PPT。第一章 §5 正弦函数的图像与性质5.2 正弦函数的性质学习目标
1.理解、掌握正弦函数的性质.
2.会求简单函数的定义域、值域.
3.能利用单调性比较三角函数值的大小.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 正弦函数的性质思考1 对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案 奇偶性.思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：思考3 正弦函数的单调区间是什么？梳理 R2kπ(k∈Z，k≠0)原点(kπ，0)，k∈Z[思考辨析 判断正误]
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( )2.已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
3.y＝sin |x|是偶函数.( )××答案提示提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.√题型探究类型一 求正弦函数的单调区间解答因为z是x的一次函数，
所以要求y＝－2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.答案解析类型二 正弦函数单调性的应用命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小
例2 比较下列三角函数值的大小.解答(2)sin 196°与cos 156°；解 sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 16°
从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.解答反思与感悟 (1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.(3)当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较.跟踪训练2 比较sin 194°与cos 110°的大小.解 ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.解答命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围解答反思与感悟 已知三角函数单调性求参数范围问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.√答案解析类型三 正弦函数的值域或最值例4 (1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3].解答解答反思与感悟 求正弦函数的值域一般有以下两种方法
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.当a＝0时，不符合题意.解答达标检测√答案124532.下列不等式中成立的是12453√答案解析12453√答案解析12453解答此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.12453解答1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.课件31张PPT。第一章 三角函数§6 余弦函数的图像与性质学习目标
1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.
2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.
3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 余弦函数的图像思考1 根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？思考2 类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？梳理 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作 .余弦曲线知识点二 余弦函数的性质思考1 余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；
观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示.思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图像可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，
余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，
余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.梳理 [思考辨析 判断正误]
1.余弦函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点.( )
2.余弦函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状和位置都不一样.( )3.存在实数x，使得cos x＝ .( )提示 函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状一样，只是位置不同.提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.( )提示 由余弦函数的单调性可知正确.××√√答案提示题型探究类型一 用“五点法”作余弦函数的图像例1 用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.解 列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.解答跟踪训练1 用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.描点，连线得：解答类型二 余弦函数单调性的应用例2 (1)函数y＝3－2cos x的递增区间为 .[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)解析 y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，
由y＝3＋2cos x的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cos x的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).答案解析解答反思与感悟 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，
而y＝cos x在[0，π)上是减少的，
所以cos 1>cos 2>cos 3.答案解析类型三 余弦函数的定义域和值域解 要使函数有意义，则2cos x－1≥0，解答(2)求下列函数的值域.
①y＝－cos2x＋cos x；∵－1≤cos x≤1，解答当cos x＝－1时，ymin＝－2.∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，解答反思与感悟 求值域或最大值、最小值问题的依据
(1)sin x，cos x的有界性.
(2)sin x，cos x的单调性.
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定.
(4)通过换元转化为二次函数.当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，答案解析达标检测√12453答案解析12453√答案12453答案解析4.比较大小：
(1)cos 15° cos 35°；12453>解析 ∵0°<15°<35°<90°，
且y＝cos x在[0°，90°]上是减少的，
∴cos 15°>cos 35°.答案解析12453答案解析<124535.函数y＝cos(－x)，x∈[0，2π]的递减区间是 .[0，π]解析 y＝cos(－x)＝cos x，其递减区间为[0，π].答案解析1.对于y＝acos x＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点以及图像与x轴相交的点.
2.通过观察y＝cos x，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.
3.利用余弦函数的性质可以比较余弦型三角函数值的大小及求最值.课件33张PPT。第一章 三角函数§7 正切函数学习目标
1.理解任意角的正切函数的定义.4.正切函数诱导公式的推导及应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 正切函数的定义思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？梳理 (1)任意角的正切函数(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系tan α(3)正切值在各象限的符号
根据定义知，当角在第 和第 象限时，其正切函数值为正；当角在第 和第 象限时，其值为负.一三二四知识点二 正切线思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案 过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0).梳理 如图所示，线段 为角α的正切线.AT知识点三 正切函数的图像与性质思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数？思考1 正切函数的定义域是什么？答案 不能.梳理 知识点四 正切函数的诱导公式所以口诀对正切函数依然适用.梳理 题型探究类型一 正切函数的概念答案解析(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1 已知点P(－2a，3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值.解 由于a≠0，解答类型二 正切函数的图像及性质例2 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.其图像如图所示.
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，解答反思与感悟 (1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练2 将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？其图像如右：
由图像可知，函数y＝tan|x|是偶函数，解答类型三 正切函数诱导公式的应用例3 求下列各式的值.
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；解 原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.解答解答反思与感悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.解答达标检测√12453答案解析12453√答案12453√答案A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数√12453答案解析124535.将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为 .(用“<”连接)tan 2即tan 21.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响思考1 如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度.梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平行移动 个单位长度而得到的.左右|φ|知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin 的周期分别是什么？答案 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？思考3 函数y＝sin ωx的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图像即可.梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的
图像上所有点的横坐标 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标 )而得到.缩短伸长不变知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝ sin x的函数值有何关系？梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标 (当A>1时)或 (当0(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.√答案解析达标检测√12453答案1.函数y＝cos x图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为12453√答案12453√解析 由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图像，只需记住“左加右减”的规则即可.答案解析12453答案解析y＝－cos 2x12453答案解析1.由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像也可由y＝cos x的图像变换得到.课件42张PPT。第一章 三角函数§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质[－A，A]R奇偶知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义Aωx＋φφ[思考辨析 判断正误]提示 振幅是2.××答案提示√答案提示题型探究类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像解答描点，连线，如图所示.(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像.解答列表如下：(2)描点，连线，如图所示.类型二 由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解答解 方法一 (逐一定参法)
由图像知振幅A＝3，方法二 (待定系数法)
由图像知A＝3，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，方法三 (图像变换法)反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图像上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第五点”为ωx＋φ＝2π.跟踪训练2 (2017·贵州贵阳一中期末考试)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝ .答案解析类型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用解答(1)求函数的解析式；(2)求函数在x∈[－6，0]上的值域.解 ∵－6≤x≤0，解答(1)求φ的值；解答(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.解答达标检测√1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是12453答案解析124532.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图像如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是12453√答案解析12453√答案解析12453依据此变换过程可得到A中图像是正确的.√12453答案解析12453解答(1)求f(x)的解析式；12453(2)写出f(x)的递增区间.12453解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.解答2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.课件30张PPT。第一章 三角函数§9 三角函数的简单应用学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.
思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：收集、整理数据，建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：题型探究类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).解答∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.解答反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.(1)画出它的图像；解答列表：描点画图：(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？解 小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要多少时间？解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).解答类型二 三角函数模型在生活中的应用解 由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，
当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；解答解 设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解答解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.解答(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解答则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.达标检测1243答案解析20.51243答案解析3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为 .答案解析1243解析 根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，1243点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：1243(1)求实验室这一天的最大温差；解答又0≤t<24，于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.1243(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.又0≤t<24，故在10时至18时实验室需要降温.1243解答1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课件40张PPT。第一章 三角函数章末复习学习目标
1.理解任意角的三角函数的概念.
2.掌握三角函数诱导公式.
3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像.
4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.
5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫作α的 ，记作 ，即 ；
(2)x叫作α的 ，记作 ，即 ；
(3) 叫作α的 ，记作 ，即 .正弦sin αsin α＝y余弦cos αcos α＝x正切tan α2.诱导公式3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质[－1，1][－1，1]R奇函数偶函数奇函数2π2ππ题型探究类型一 三角函数的化简与求值(1)求sin α的值；解 ∵点P在单位圆上，解答解答反思与感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值.解答类型二 三角函数的图像与性质解答(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解 ∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.解答反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解答解答类型三 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型解答反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.解答当a＝0时，不符合题意，舍去.
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.解答命题角度2 分式型函数利用有界性求值域∵|cos x|≤1，∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.∵－1≤sin x≤1，解答类型四 数形结合思想在三角函数中的应用解 sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0，即(sin x－2)(sin x－a)＝0.
∵sin x－2≠0，∴sin x＝a，解答反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想.π可作出示意图如图所示(一种情况)，答案解析达标检测√12453答案解析12453√答案解析3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，2] D.[0，1]12453√答案∴0≤f(x)≤2.故选C.解析√12453答案解析12453(1)求函数f(x)的最小正周期；解答(2)求函数f(x)的递增区间；12453解答所以当x＝0时，f(x)取得最小值，12453解答三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.