第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__ __叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__ __；
②被开方数中__ __的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 性，一是 0，二是 ．
(2()2＝__ __．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝__ __(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝__ __(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（2018年广西贺州市）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式即可.
解：要使二次根式有意义，
则
解得：
故答案为：
点睛：考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零
3。化简：a（a＞b＞0）
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a?|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．
解：原式=a
=a?|﹣|，
∵a＞b＞0，
∴原式=a?[﹣（﹣）]
=．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．
◆变式训练
1．下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2．（2018年辽宁省抚顺市）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
1．(2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
3．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
【考点】二次根式的应用．
【分析】根据正方形面积求边长，即为圆柱底面圆的周长，根据周长求半径．
解：∵正方形纸片的面积是32cm2，
∴正方形边长为=4，
设圆柱底面圆半径为R，则
2πR=4，
解得R=．
答：圆柱底面的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的实际运用，掌握圆柱侧面与正方形的关系，用二次根式表示边长是关键．
◆变式训练
1．（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
2．（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
1.下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2.（2018年湖南省怀化市）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
3.（2018年江苏省宿迁市）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （?? ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.????C.???D.??
5.（2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
6.（2018年湖北省十堰市卷）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
7.（2018年新疆）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
8.（2018年天津市）计算的结果等于__________．
9.（2018年山东省威海市）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
10.（2018年广西玉林市）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
1.（2018年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2018年四川省绵阳市）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（???? ）
A. B.
C. D.
3.（2018年四川省眉山市）下列计算正确的是（??? ）。
A.(x+y)2=x2+y2 B.(－ xy2）3=－ x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.???C.???D.??
5.（2018年湖南省郴州市）下列运算正确的是（ ）
A．a3?a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4
6.（2018年湖北省十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
7.（2018年重庆市（A卷））估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
8.观察分析，探求规律，然后填空： ，2， ， ， ，…，________（请在横线上写出第100个数）．
9.（2018年江苏省南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.（2018年广东省广州市）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
11.（2018年山东省烟台市）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
12.（2018年黑龙江省哈尔滨市）计算6﹣10的结果是 ．
13.（2018年安徽省）计算：
14.（2018年四川省内江市）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
15.（2018年湖北省宜昌市）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
16.（2018年山东省威海市）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
17.（2018年湖南省张家界市）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为：d=，
例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3
所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离为：d==2
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P1（0，0）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．
（2）若点P2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C的值．
第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（2018年广西贺州市）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式即可.
解：要使二次根式有意义，
则
解得：
故答案为：
点睛：考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零
3。化简：a（a＞b＞0）
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a?|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．
解：原式=a
=a?|﹣|，
∵a＞b＞0，
∴原式=a?[﹣（﹣）]
=．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．
◆变式训练
1．下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】根据各个选项中的式子可以判断哪个不是二次根式，本题得以解决．
解：∵ 是二次根式； 中，3﹣π＜0，故 不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
2．（2018年辽宁省抚顺市）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解不等式即可．
解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
解：原式=3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
【考点】最简二次根式．
【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
解：由题意，知：，解得：；
因此m的值为1，n的值为2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
1．(2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1 C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
3．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
【考点】二次根式的应用．
【分析】根据正方形面积求边长，即为圆柱底面圆的周长，根据周长求半径．
解：∵正方形纸片的面积是32cm2，
∴正方形边长为=4，
设圆柱底面圆半径为R，则
2πR=4，
解得R=．
答：圆柱底面的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的实际运用，掌握圆柱侧面与正方形的关系，用二次根式表示边长是关键．
◆变式训练
1．（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
2．（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【考点】二次根式的应用
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
1.下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】依据二次根式的被开方数大于等于0求解即可．
解：∵x2≥0，
∴x2+1＞0．
∴ 一定有意义．
故选：C．
2.（2018年湖南省怀化市）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
3.（2018年江苏省宿迁市）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （?? ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【考点】绝对值，二次根式的非负性
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
解：由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.???C.????D.?
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类二次根式，同类项
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断对错.
解：A.∵a .a =a ,故错误，A不符合题意；B.∵3a-a=2a，故正确，B符合题意；
C.∵a8÷a4=a4,故错误，C不符合题意；
D. 与 不是同类二次根式，故不能合并，D不符合题意；
故答案为：B.
5.（2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6.（2018年湖北省十堰市卷）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
【考点】探索规律，二次根式的运算
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
∴第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是=，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
7.（2018年新疆）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵代数式有意义，
∴实数x的取值范围是：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
8.（2018年天津市）计算的结果等于__________．
【考点】平方差公式，二次根式的性质
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
解：原式=（）2-（）2
=6-3
=3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
9.（2018年山东省威海市）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
【考点】二元一次方程组的应用，二次根式的化简
【分析】图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
解：由图可得，图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4﹣2﹣6）2=44﹣16，
故答案为：44﹣16．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10.（2018年广西玉林市）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
解：当a=1+，b=1﹣时，
原式=?
=?
=
=
=
1.（2018年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.（2018年四川省绵阳市）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（???? ）
A. B.
C. D.
【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.
解：依题可得：
x-3≥0且x+1〉0，
∴x≥3，
故答案为：B.
3.（2018年四川省眉山市）下列计算正确的是（??? ）。
A.(x+y)2=x2+y2 B.(－ xy2）3=－ x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2
【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用，二次根式的性质与化简，积的乘方
【分析】A.根据完全平方和公式即可判断对错；
B.?? 根据积的乘方公式即可判断对错；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.根据二次根式性质化简即可判断对错.
解：A.∵(x+y)2=x2+2xy+y2,故错误，A不符合题意；
B.∵(－ xy2）3=－ x3y6,故错误，B不符合题意；
C.∵x6÷x3=x3,故错误， C不符合题意；
D.∵ =2,故正确，D符合题意；
故答案为:D.
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.????C.???D.?
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类二次根式，同类项
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断对错.
解：A.∵a .a =a ,故错误，A不符合题意；B.∵3a-a=2a，故正确，B符合题意；
C.∵a8÷a4=a4,故错误，C不符合题意；
D. 与 不是同类二次根式，故不能合并，D不符合题意；
故答案为：B.
5.（2018年湖南省郴州市）下列运算正确的是（ ）
A．a3?a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4
【考点】同底数幂的乘除，负指数幂的，二次根式的加减，平方差公式
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．
解：A、a3?a2=a5，故此选项错误；
B、a﹣2=，故此选项错误；
C、3﹣2=，故此选项正确；
D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.（2018年湖北省十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
【考点】探索规律，二次根式的运算
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
∴第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是=，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
7.（2018年重庆市（A卷））估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【考点】二次根式的混合运算，估算无理数的大小
【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
解：
=，
=，
而，
4<<5，
所以2<<3，
所以估计的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
8.观察分析，探求规律，然后填空： ，2， ， ， ，…，________（请在横线上写出第100个数）．
【考点】二次根式的定义
【分析】把2与2 都写成算术平方根的形式，不难发现，被开方数是偶数列，然后写出第100个偶数整理即可得解．
解：因为2= ，2 = = ， 所以此列数为： ， ， ， ，… ，
则第100个数是： =10 ．
故答案是：10 ．
9.（2018年江苏省南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【考点】二次根式的意义和性质
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.（2018年广东省广州市）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简
【分析】从数轴可知0
解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
11.（2018年山东省烟台市）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
【考点】同类二次根式的定义
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
12.（2018年黑龙江省哈尔滨市）计算6﹣10的结果是 ．
【考点】二次根式的加减
【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．
解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
13.（2018年安徽省）计算：
【考点】实数的运算
【分析】先分别进行0次幂的计算、二次根式的乘法运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
解：
=1+2+
=1+2+4
=7.
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则、0次幂的运算法则是解题的关键.
14.（2018年四川省内江市）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式=2﹣+12﹣1×4
=+8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15.（2018年湖北省宜昌市）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
【考点】单项式乘多项式，平方差公式
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：x（x+1）+（2+x）（2﹣x）
=x2+x+4﹣x2
=x+4，
当x=﹣4时，原式=﹣4+4=．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．
16.（2018年山东省威海市）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
【考点】翻折变换
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x、MF=x，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=、KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.（2018年湖南省张家界市）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为：d=，
例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3
所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离为：d==2
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P1（0，0）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．
（2）若点P2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C的值．
【考点】点到直线的距离
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
解：（1）d==1；
（2）=，
∴|C+1|=2，
∴C+1=±2，
∴C1=﹣3，C2=1．
第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__ __叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__ __；
②被开方数中__ __的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 性，一是 0，二是 ．
(2()2＝__ __．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝__ __(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝__ __(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（2018年广西贺州市）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式即可.
解：要使二次根式有意义，
则
解得：
故答案为：
点睛：考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零
3。化简：a（a＞b＞0）
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a?|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．
解：原式=a
=a?|﹣|，
∵a＞b＞0，
∴原式=a?[﹣（﹣）]
=．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．
◆变式训练
1．下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2．（2018年辽宁省抚顺市）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
1．(2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
3．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
【考点】二次根式的应用．
【分析】根据正方形面积求边长，即为圆柱底面圆的周长，根据周长求半径．
解：∵正方形纸片的面积是32cm2，
∴正方形边长为=4，
设圆柱底面圆半径为R，则
2πR=4，
解得R=．
答：圆柱底面的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的实际运用，掌握圆柱侧面与正方形的关系，用二次根式表示边长是关键．
◆变式训练
1．（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
2．（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
1.下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2.（2018年湖南省怀化市）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
3.（2018年江苏省宿迁市）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （?? ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.????C.???D.??
5.（2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
6.（2018年湖北省十堰市卷）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
7.（2018年新疆）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
8.（2018年天津市）计算的结果等于__________．
9.（2018年山东省威海市）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
10.（2018年广西玉林市）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
1.（2018年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2018年四川省绵阳市）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（???? ）
A. B.
C. D.
3.（2018年四川省眉山市）下列计算正确的是（??? ）。
A.(x+y)2=x2+y2 B.(－ xy2）3=－ x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.???C.???D.??
5.（2018年湖南省郴州市）下列运算正确的是（ ）
A．a3?a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4
6.（2018年湖北省十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
7.（2018年重庆市（A卷））估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
8.观察分析，探求规律，然后填空： ，2， ， ， ，…，________（请在横线上写出第100个数）．
9.（2018年江苏省南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.（2018年广东省广州市）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
11.（2018年山东省烟台市）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
12.（2018年黑龙江省哈尔滨市）计算6﹣10的结果是 ．
13.（2018年安徽省）计算：
14.（2018年四川省内江市）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
15.（2018年湖北省宜昌市）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
16.（2018年山东省威海市）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
17.（2018年湖南省张家界市）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为：d=，
例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3
所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离为：d==2
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P1（0，0）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．
（2）若点P2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C的值．
第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（2018年广西贺州市）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式即可.
解：要使二次根式有意义，
则
解得：
故答案为：
点睛：考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零
3。化简：a（a＞b＞0）
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a，再利用二次根式的性质得到原式=a?|﹣|，然后利用a＞b＞0去绝对值后进行分式的运算．
解：原式=a
=a?|﹣|，
∵a＞b＞0，
∴原式=a?[﹣（﹣）]
=．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简： =|a|．也考查了完全平方公式和绝对值的意义．
◆变式训练
1．下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】根据各个选项中的式子可以判断哪个不是二次根式，本题得以解决．
解：∵ 是二次根式； 中，3﹣π＜0，故 不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
2．（2018年辽宁省抚顺市）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解不等式即可．
解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
解：原式=3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
【考点】最简二次根式．
【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
解：由题意，知：，解得：；
因此m的值为1，n的值为2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
1．(2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1 C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
3．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
【考点】二次根式的应用．
【分析】根据正方形面积求边长，即为圆柱底面圆的周长，根据周长求半径．
解：∵正方形纸片的面积是32cm2，
∴正方形边长为=4，
设圆柱底面圆半径为R，则
2πR=4，
解得R=．
答：圆柱底面的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的实际运用，掌握圆柱侧面与正方形的关系，用二次根式表示边长是关键．
◆变式训练
1．（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
2．（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【考点】二次根式的应用
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
1.下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】依据二次根式的被开方数大于等于0求解即可．
解：∵x2≥0，
∴x2+1＞0．
∴ 一定有意义．
故选：C．
2.（2018年湖南省怀化市）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
3.（2018年江苏省宿迁市）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （?? ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【考点】绝对值，二次根式的非负性
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
解：由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.???C.????D.?
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类二次根式，同类项
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断对错.
解：A.∵a .a =a ,故错误，A不符合题意；B.∵3a-a=2a，故正确，B符合题意；
C.∵a8÷a4=a4,故错误，C不符合题意；
D. 与 不是同类二次根式，故不能合并，D不符合题意；
故答案为：B.
5.（2018年云南省昆明市）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣）2=9 B．20180﹣=﹣1
C．3a3?2a﹣2=6a（a≠0） D．﹣=
【考点】二次根式，单项式乘以单项式，实数的计算
【分析】直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
解：A、，错误；
B、，错误；
C、3a3?2a﹣2=6a（a≠0），正确；
D、，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6.（2018年湖北省十堰市卷）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
【考点】探索规律，二次根式的运算
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
∴第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是=，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
7.（2018年新疆）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵代数式有意义，
∴实数x的取值范围是：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
8.（2018年天津市）计算的结果等于__________．
【考点】平方差公式，二次根式的性质
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
解：原式=（）2-（）2
=6-3
=3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
9.（2018年山东省威海市）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
【考点】二元一次方程组的应用，二次根式的化简
【分析】图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
解：由图可得，图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4﹣2﹣6）2=44﹣16，
故答案为：44﹣16．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10.（2018年广西玉林市）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
解：当a=1+，b=1﹣时，
原式=?
=?
=
=
=
1.（2018年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.（2018年四川省绵阳市）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（???? ）
A. B.
C. D.
【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.
解：依题可得：
x-3≥0且x+1〉0，
∴x≥3，
故答案为：B.
3.（2018年四川省眉山市）下列计算正确的是（??? ）。
A.(x+y)2=x2+y2 B.(－ xy2）3=－ x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2
【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用，二次根式的性质与化简，积的乘方
【分析】A.根据完全平方和公式即可判断对错；
B.?? 根据积的乘方公式即可判断对错；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.根据二次根式性质化简即可判断对错.
解：A.∵(x+y)2=x2+2xy+y2,故错误，A不符合题意；
B.∵(－ xy2）3=－ x3y6,故错误，B不符合题意；
C.∵x6÷x3=x3,故错误， C不符合题意；
D.∵ =2,故正确，D符合题意；
故答案为:D.
4.（2018年广东省深圳市）下列运算正确的是(??? )
A.???B.????C.???D.?
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类二次根式，同类项
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断对错.
解：A.∵a .a =a ,故错误，A不符合题意；B.∵3a-a=2a，故正确，B符合题意；
C.∵a8÷a4=a4,故错误，C不符合题意；
D. 与 不是同类二次根式，故不能合并，D不符合题意；
故答案为：B.
5.（2018年湖南省郴州市）下列运算正确的是（ ）
A．a3?a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4
【考点】同底数幂的乘除，负指数幂的，二次根式的加减，平方差公式
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．
解：A、a3?a2=a5，故此选项错误；
B、a﹣2=，故此选项错误；
C、3﹣2=，故此选项正确；
D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.（2018年湖北省十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．
【考点】探索规律，二次根式的运算
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
∴第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是=，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
7.（2018年重庆市（A卷））估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【考点】二次根式的混合运算，估算无理数的大小
【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
解：
=，
=，
而，
4<<5，
所以2<<3，
所以估计的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
8.观察分析，探求规律，然后填空： ，2， ， ， ，…，________（请在横线上写出第100个数）．
【考点】二次根式的定义
【分析】把2与2 都写成算术平方根的形式，不难发现，被开方数是偶数列，然后写出第100个偶数整理即可得解．
解：因为2= ，2 = = ， 所以此列数为： ， ， ， ，… ，
则第100个数是： =10 ．
故答案是：10 ．
9.（2018年江苏省南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【考点】二次根式的意义和性质
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.（2018年广东省广州市）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简
【分析】从数轴可知0解：由数轴可知：
0∴a-2<0，
∴原式=a+
=a+2-a，
=2.
故答案为：2.
11.（2018年山东省烟台市）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．
【考点】同类二次根式的定义
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
12.（2018年黑龙江省哈尔滨市）计算6﹣10的结果是 ．
【考点】二次根式的加减
【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．
解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
13.（2018年安徽省）计算：
【考点】实数的运算
【分析】先分别进行0次幂的计算、二次根式的乘法运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
解：
=1+2+
=1+2+4
=7.
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则、0次幂的运算法则是解题的关键.
14.（2018年四川省内江市）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式=2﹣+12﹣1×4
=+8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15.（2018年湖北省宜昌市）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
【考点】单项式乘多项式，平方差公式
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：x（x+1）+（2+x）（2﹣x）
=x2+x+4﹣x2
=x+4，
当x=﹣4时，原式=﹣4+4=．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．
16.（2018年山东省威海市）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
【考点】翻折变换
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x、MF=x，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=、KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.（2018年湖南省张家界市）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为：d=，
例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3
所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离为：d==2
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P1（0，0）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．
（2）若点P2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C的值．
【考点】点到直线的距离
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
解：（1）d==1；
（2）=，
∴|C+1|=2，
∴C+1=±2，
∴C1=﹣3，C2=1．
