1.2 整式
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母的________叫做单项式.单独________或________也是单项式.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的________叫做这个单项式的次数.
单项式的系数：单项式中的________叫单项式的系数.
2、多项式：几个单项式的________叫做多项式.
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的________.一个多项式含有几项，就叫几项式.
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.不含字母的项叫________.
3、同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项.
二、整式的加减
1、合并同类项：把同类项的系数________，所得结果作为系数，字母及字母的________不变.
2、去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号________；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项的符号都________.
3、整式的加减：先去括号，再________.
三、整式的乘除
1、 幂的运算法则：其中m、n都是正整数
同底数幂相乘：
同底数幂相除：
幂的乘方：
积的乘方：
2、单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的________，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的________；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
3、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积________.
4、多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的________，再把所得的积________.
5、乘法公式：
平方差公式：
完全平方公式：
两个含同一字母的一次两项式相乘：
6、单项除单项式：把系数，同底数幂分别________，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
7、多项式除以单项式：把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商________.
四、因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的________的形式，叫因式分解.
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：
平方差公式：
完全平方公式：
十字相乘：
（3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式法分解因式.
（4）求根公式法：若 的两个根是x1、x2，则
3、因式分解的一般步骤：
先________， 再运用________， 最后考虑用分组分解法，一定要分解到每个因式________为止.
五、整式求值
先________，再将字母或式子的值按运算顺序代入求值.
考点一： 整式的有关概念
下列式子：x2﹣1， ﹣2， ab3，﹣2x，16， 中，整式的个数有（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
变式跟进1已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）
A. B. C. D.
考点二： 代数式求值
已知，则代数式的值是（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 6
变式跟进2若，则=_________.
考点三： 整式的运算
下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
变式跟进3下列计算的结果是的为（ ）
A． B． C． D．
考点四： 因式分解
分解因式：a3﹣4a= ．
变式跟进4如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
考点五： 化简求值
已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 ．
变式跟进5若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
一、选择题
1.（2016·威海）若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
2.（2017·武汉）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·济宁）单项式与单项式是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2017·广西四市）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2017·无锡）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
6．（2018·葫芦岛）下列运算正确的是（ ）
A. ﹣2x2+3x2=5x2 B. x2 x3=x5 C. 2（x2）3=8x6 D. （x+1）2=x2+1
7．（2018·乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（ ）
A. 1 B. ﹣ C. ±1 D. ±
8．（2018·贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
9．（2018·随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A. 33 B. 301 C. 386 D. 571
二、填空题
10.（2016·淄博）若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为 ．
11.（2016·威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
12.（2017·苏州）计算： ．
13．（2017·广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．
14.（2017·安顺）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
15．（2018·哈尔滨）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____
16．（2018·玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
三、解答题
17.（2016·达州）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
18.（2017·宁波）先化简，再求值：，其中.
19．（2017·河北）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证 （1）的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由．
20．（2018·临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
1．（2017哈尔滨期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．a3 a2=a5 D．2a2+3a3=5a5
2．（2017南京期中）下列为同类项的一组是（ ）
A．x3与23 B．﹣xy2与 yx2 C．7与﹣ D．ab与7a
3．（2017简阳期中）a、b、c是三角形的三条边长，则代数式的值（ ）.
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．与零的大小无关
4．（2017青云期中）按某种标准把多项式进行分类时，和属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类( )
A. B. C. D.
5．（2018上海二模）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A. x2+1 B. xy2 C. 2xy D. （-）2
6．（2018济宁模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-6x+9=（x-3）2 B. x 2-y2=（x-y）2 C. x2-5x+6=(x-1)(x-6) D. 6x2+2x=x（6x+2）
7．（2018沂水模拟）观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
二、填空题
8．（2017合肥模拟）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是______________
9．（2017佛山月考）观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_____________________ .
10．（2017河源月考）用边长为2a和a的两个正方形拼成如图所示图形，则图中阴影部分的面积为________
11．（2018邵阳四模）一个多项式与﹣x2﹣2x+11的和是3x﹣2，则这个多项式为________．
12．（2018临沂一模）因式分解：______________．
13．（2018北京二模）如果，那么的结果是______．
14．（2018吉林模拟五）若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为_____．
三、解答题
15．（2016江苏期末）计算：
（1）2(x2)3·x2－(3x4)2 ； （2） (2x－1)(2x＋1)－2(x－1)2．
16．（2017广东月考）求证：不论b取何值，式子
的值与b无关.
17．（2017钦州钦南区期末）李叔叔刚分到一套新房，其结构如图，他打算除卧室外，其余部分铺地砖，则
（1）至少需要多少平方米地砖？
（2）如果铺的这种地砖的价格75元/米2，那么李叔叔至少需要花多少元钱？
18．（2018邵阳四模）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2， 其中a=﹣1，b=．
19．（2018合肥联考）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……，据此解答下面的问题
（1）填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1+3
图形3 1+3+9
图形4
（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数wn；（用含n的代数式表示）
（3）若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1，求wn+1﹣Wn
20．（2018重庆一模）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
知识回顾
考点精讲
例1
例2
例3
例4
例5
真题在线
名校模拟
101.2 整式
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母的积叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数.
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项.一个多项式含有几项，就叫几项式.
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.不含字母的项叫常数项.
3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
二、整式的加减
1、合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变.
2、去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项的符号都改变.
3、整式的加减：先去括号，再合并同类项.
三、整式的乘除
1、 幂的运算法则：其中m、n都是正整数
同底数幂相乘：
同底数幂相除：
幂的乘方：
积的乘方：
2、单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
3、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
4、多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
5、乘法公式：
平方差公式：
完全平方公式：
两个含同一字母的一次两项式相乘：
6、单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
7、多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
四、因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：
平方差公式：
完全平方公式：
十字相乘：
（3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式法分解因式.
（4）求根公式法：若 的两个根是x1、x2，则
3、因式分解的一般步骤：
先提公因式， 再运用公式法， 最后考虑用分组分解法，一定要分解到每个因式不能分解为止.
五、整式求值
先化简，再将字母或式子的值按运算顺序代入求值.
考点一： 整式的有关概念
下列式子：x2﹣1， ﹣2， ab3，﹣2x，16， 中，整式的个数有（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】根据整式的定义，x2﹣1， ab3， 2x，16是整式，
故选：C.
【点评】此题考查整式的概念.对于整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，单项式注重一个“积”字.
变式跟进1已知一个多项式是三次二项式，则这个多项式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.是二次三项式，故此选项错误；
B.是三次二项式，故此选项正确；
C.是二次二项式，故此选项错误；
D.是三次三项式，故此选项错误；
【点评】本题主要考查整式的项与系数，根据定义找准项与系数是解题的关键.
考点二： 代数式求值
已知，则代数式的值是（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】直接利用已知将原式变形，将a2+2a=3代入2a2+4a﹣3即可求出答案．
解：当a2+2a=3时
原式=2（a2+2a）﹣3=6﹣3=3
故选C．
【点评】应用整体思想代入求值即可.
变式跟进2若，则=_________.
【答案】
【解析】可将该多项式变为（x-y）2+5xy，然后将x+y与xy的值代入即可．
解：∵xy=1，x-y=-4，
∴x2+3xy+y2=（x-y）2+5xy=（-4）2+5×1=21．
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了代数式求值，利用整体思想代入求出是解题关键．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，把多项式变为（x-y）2+5xy，再将x+y与xy的值代入即可．
考点三： 整式的运算
下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】A.，故该选项错误；
B., 故该选项错误；
C., 故该选项正确；
D., 故该选项错误.
故选C.
【点评】掌握合并同类项及整式的运算法则是解题的关键
变式跟进3下列计算的结果是的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】A．＝，故选项错误；
B．，不是同类项，不能合并，故选项错误；
C．＝，故选项正确；
D． ＝，故选项错误.
故选C
【点评】正确应用同底数幂的除法及积的乘方与幂的乘方法则进行计算
考点四： 因式分解
分解因式：a3﹣4a= ．
【答案】a（a+2）（a﹣2）.
【解析】原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
【点评】提取公因式a后再利用平方差公式分解即可.
变式跟进4如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
【答案】a+6
【解析】拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
【点评】图形的拼接与转化是解题的关键所在.
考点五： 化简求值
已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 ．
【答案】3.
【解析】∵x+y=，xy=，
∴x2y+xy2
=xy（x+y）
=×
=
=3.
【点评】主要考查因式分解的应用．
变式跟进5若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【答案】D．
【解析】由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5，所以6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故答案选D．
【点评】本题主要利用整体思想进行求解.
一、选择题
1.（2016·威海）若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【答案】D．
【解析】由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5，所以6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故答案选D．
【点评】利用整体思想进行求解.
2.（2017·武汉）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】=x2+2x+x+2= x2+3x +2.
故选B.
【点评】考查整式的计算问题.
3．（2017·济宁）单项式与单项式是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D．
【解析】由题意，得m=2，n=3．m+n=2+3=5，故选D．
考点：同类项．
【点评】利用同类项定义进行求解.
4．（2017·广西四市）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】A．，故A选项正确；
B．，故B选项错误；
C．这两项不能合并，故C选项错误；
D．，故D选项错误.
故选A.
【点评】主要考查整式的混合运算．
5.（2017·无锡）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解析】∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，
∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，
故选B
【点评】利用整体思想，将题中已知的两个式子通过相加，从而得到a﹣c的值.
6．（2018·葫芦岛）下列运算正确的是（ ）
A. ﹣2x2+3x2=5x2 B. x2 x3=x5 C. 2（x2）3=8x6 D. （x+1）2=x2+1
【答案】B
【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方及单项式乘法法则、完全平方公式的运算法则逐项进行计算即可得.
解：A．﹣2x2+3x2=x2，故A选项错误；
B．x2 x3=x5，故B选项正确；
C．2（x2）3=2x6，故C选项错误；
D．（x+1）2=x2+2x+1，故D选项错误，
故选B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及单项式乘法、完全平方公式等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
7．（2018·乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（ ）
A. 1 B. ﹣ C. ±1 D. ±
【答案】C
【解析】利用完全平方公式解答即可．
解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
8．（2018·贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【答案】A
【解析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，
故选A．
【点评】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键.
9．（2018·随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A. 33 B. 301 C. 386 D. 571
【答案】C
【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．
二、填空题
10.（2016·淄博）若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为 ．
【答案】2.
【解析】x2﹣6x+9 ，当x=3﹣时，原式＝
【点评】先将式子用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值.
11.（2016山东威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
【答案】3（a+b）（a﹣b）．
【解析】解：（2a+b）2﹣（a+2b）2=（2a+b+a+2b）（a+2b-a-2b）=3（a+b）（a﹣b）
【点评】直接利用平方差公式分解即可.
12. （2017·苏州）计算： ．
【答案】
【解析】
【点评】应用幂的乘方的运算法则进行计算即可.
13．（2017·广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为 ．
【答案】﹣1．
【解析】∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．
【点评】运用整体思想代入求值即可.
14.（2017·安顺）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±10.
【解析】∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k=±10.
【点评】要注意k的值有两个，不要丢解.
15．（2018·哈尔滨）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____
【答案】x（x+5）（x﹣5）．
【解析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
解：x3-25x
=x（x2-25）
=x（x+5）（x-5）．
故答案为：x（x+5）（x-5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
16．（2018·玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
【答案】2
【解析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
解：（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
三、解答题
17.（2016·达州）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【答案】原式=.
【解析】解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2，
，
①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，
把x=﹣1代入①得：y=，
则原式=+=．
【点评】解方程组的求得x与y的值，把代数式化简后代入计算即可求出值．
18.（2017·宁波）先化简，再求值：，其中.
【答案】5.
【解析】解：
=4-x2+x2+4x-5
=4x-1
当x=时，原式=4×-1=5.
【点评】利用平方差公式和多项式乘以多项式进行化简，然后把x=代入化简结果中即可求解.
19．（2017·河北）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证 （1）的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由．
【答案】（1）3；（2）见解析；延伸 2，理由见解析．
【解析】解：（1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，
∴结果是5的3倍．
（2）．
∵n为整数，∴这个和是5的倍数．
延伸：余数是2．
理由：设中间的整数为n，被3除余2．
【点评】（1）直接计算这个算式的值；（2）先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论．
20．（2018·临安）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
1．（2017哈尔滨期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．a3 a2=a5 D．2a2+3a3=5a5
【答案】C．
【解析】A、a0=1（a≠0），故此选项错误；
B、a﹣1=（a≠0），故此选项错误；
C、a3 a2=a5，正确；
D、2a2+3a3，无法计算，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、零指数幂、负整数指数幂．
2．（2017南京期中）下列为同类项的一组是（ ）
A．x3与23 B．﹣xy2与 yx2 C．7与﹣ D．ab与7a
【答案】C
【解析】同类项是指所含字母完全相同，且相同字母的指数也完全相同的单项式，所有的常数都是同类项.
【点评】利用同类项的定义进行解题
3．（2017简阳期中）a、b、c是三角形的三条边长，则代数式的值（ ）.
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．与零的大小无关
【答案】B．
【解析】==（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴＜0．
故选：B．
【点评】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式分解因式就可以进行判断．
4．（2017青云期中）按某种标准把多项式进行分类时，和属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】题目中给出的两个多项式都是三次多项式，则结论中A为三次多项式，B为二次多项式；C为五次多项式；D为二次多项式.
【点评】主要考查多项式的分类，掌握分类方法是解题的关键.
5．（2018上海二模）在下列各式中，二次单项式是（ ）
A. x2+1 B. xy2 C. 2xy D. （-）2
【答案】C
【解析】根据单项式的概念和次数、系数直接判断即可.
解：由题意可知：2xy是二次单项式，
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式的概念，会判断单项式的系数和次数是解题关键，比较简单.
6．（2018济宁模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-6x+9=（x-3）2 B. x 2-y2=（x-y）2 C. x2-5x+6=(x-1)(x-6) D. 6x2+2x=x（6x+2）
【答案】A
【解析】根据相关分解因式的方法进行分析判断即可.
解：
A选项中，因为，所以A中分解正确；
B选项中，因为，所以B中分解错误；
C选项中，因为，所以C中分解错误；
D选项中，因为，所以D中分解错误.
故选A.
【点评】解答本题有以下两个要点：（1）熟练掌握“常用的分解因式的方法”；（2）分解因式要彻底，即要直到每个因式都不能再分解为止.
7．（2018沂水模拟）观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
【答案】D
【解析】由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
解： ①
②
③
…
所以第 2018 个式子的值是： 4×2018 1=8071.
故选D.
【点评】主要考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键.
二、填空题
8．（2017合肥模拟）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是______________
【答案】﹣x(x﹣2y)2
【解析】4x y 4xy x = x(x 4xy+4y )= x(x 2y) ，
故答案为：﹣x(x﹣2y)2.
【点评】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.
9．（2017佛山月考）观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_____________________ .
【答案】
【解析】由图形可得：
【点评】通过图形得出完全平方公式，了解并掌握完全平方公式是解题的关键.
10．（2017河源月考）用边长为2a和a的两个正方形拼成如图所示图形，则图中阴影部分的面积为________
【答案】2a2
【解析】根据题意得：S阴影=（2a）2+a2- ×2a×（2a+a）=2a2．
【点评】阴影部分的面积两个正方形的面积之和-直角边分别为2a与3a的直角三角形面积，求出即可．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2018邵阳四模）一个多项式与﹣x2﹣2x+11的和是3x﹣2，则这个多项式为________．
【答案】x2+5x﹣13
【解析】设此多项式为A,再根据多项式的加减法则进行计算即可.
解： 设此多项式为A,
∵A+(-x2-2x+11)=3x-2,
∴A=(3x-2)-(-x2-2x+11)=x2+5x-13.故答案为: x2+5x-13.
【点评】 本题考查的是整式的加减,熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键.
12．（2018临沂一模）因式分解：______________．
【答案】－2y(x－4)2
【解析】根据式子特点，先“提公因式”，再用“完全平方公式”分解即可.
解：
原式=
=.
故答案为：.
【点评】将多项式分解因式时，多项式各项有公因式的要先提出公因式，再看能否用其它方法继续分解.
13．（2018北京二模）如果，那么的结果是______．
【答案】6
【解析】先由可得，然后将式子化简整理，再代值计算即可.
解：
∵，
∴，
∴
=
=
=
=.
故答案为：6.
【点评】熟悉“完全平方公式和平方差公式”，并能由此把化简整理为是正确解答本题的关键.
14．（2018吉林模拟五）若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为_____．
【答案】﹣10
【解析】先根据3x3+kx2+4被3x-1除后余3，判断出3x-1为3x3+kx2+1的一个因式，再根据特殊值法求得k的值．
解：∵3x3+kx2+4被3x-1除后余3，
∴3x3+kx2+4-3=3x3+kx2+1可被3x-1整除，
∴3x-1为3x3+kx2+1的一个因式，
∴当3x-1=0，即x=时，3x3+kx2+1=0，
即3×+k×+1=0，
解得k=-10．
故答案为：-10
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键．
三、解答题
15．（2016江苏期末）计算：
（1）2(x2)3·x2－(3x4)2 ； （2） (2x－1)(2x＋1)－2(x－1)2．
【答案】（1）原式=；（2）原式=2x2+4x-3.
【解析】解：(1)原式==；
(2) 原式=(4x2-1)-2(x2-2x+1) =2x2+4x-3
【点评】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果.
16．（2017广东月考）求证：不论b取何值，式子
的值与b无关.
【答案】证明见解析.
【解析】
原式
∵化简结果为4a，不含有b，
∴不论b取何值，与式子无关.
【点评】根据整式的运算法则把所给的整式化简后可得原式=4a，即可判定式子的值与b无关.
17．（2017钦州钦南区期末）李叔叔刚分到一套新房，其结构如图，他打算除卧室外，其余部分铺地砖，则
（1）至少需要多少平方米地砖？
（2）如果铺的这种地砖的价格75元/米2，那么李叔叔至少需要花多少元钱？
【答案】（1）11ab； （2）825ab元
【解析】（1）分别计算出厨房，卫生间，客厅的面积，然后相加就是所需要的地砖的面积为11ab；；
（2）所需要的钱=75×地砖的面积＝825ab元
【点评】本题属于求解不规则多边形的面积的题目，求面积有以下几种方法:
(1)补形法:计算某个图形的面积,如果它的面积难以直接求出,那么就设法把它补成面积较容易计算的图形;(2)分割法:把应求部分的图形分割成若干份规则的图形,求它们的面积和;
18．（2018邵阳四模）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2， 其中a=﹣1，b=．
【答案】2a2+b2
【解析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2
当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（2018合肥联考）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……，据此解答下面的问题
（1）填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1+3
图形3 1+3+9
图形4
（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数wn；（用含n的代数式表示）
（3）若图n+1中挖去三角形的个数为wn+1，求wn+1﹣Wn
【答案】91) 1+3+32+33；(2) wn=3n﹣1+3n﹣2+…+32+3+1；(3) 3n．
【解析】整体
（1）由表中图形1到图形3的规律可得图形4的结果应该是1+3+32+33；（2）由（1）中得到的规律即可计算；（3）由wn+1-Wn，合并同类项即可.
解：(1)图4挖去三角形的个数为33+32+3+1;(或40)
(2)wn=3n-1+3n-2+…+32+3+1;
(3)
.
【解析】本题考查了找规律。寻找前后两个图中三角形的个数是解题的关键.
20．（2018重庆一模）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【答案】（1）112=112﹣32，40=72﹣32；（2）见解析；（3）12020．
【解析】试题（1）根据雪松数的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
试题解析：解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），则（a+b）（a﹣b）=10．又∵10=2×5=10×1．∵a，b均为正整数，∴a+b＞a﹣b，∴，或，解得：或，与a，b均为正整数矛盾，故10不是雪松数；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+．∵a，b，m，n均为正整数，∴a+b=9，经探究，符合题意，∴t的值分别为：2772，5445，t′的值分别为：8668，8338，由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．
【点评】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
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