课件19张PPT。2.3.1离散型随机变量的均值宁波北仑明港中学 柳勋一、温故知新 引入新课1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1． 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们能否用一些量来刻画随机
变量的这些数字特征？二、问题引导 讲授新课问题一：如果你期末考试各门成绩为：
90、81、79、69、85、91
那你的平均成绩是多少？算术平均数问题二：你的期末数学考试成绩为80，平时表现成绩为70，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩期末成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？加权平均数加权平均数权：秤棰，权数是起权衡轻重作用的数值；
加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。练习：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题三：如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，从中随
机选取一颗，记X为这颗糖果所属种类的单价（元/kg），你能写出X的分布列吗？=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？ 随机变量的均值样本平均值（概率意义下的均值）问题四：若离散型随机变量X的概率分布为：该随机变量的平均值应该怎样计算？（1） Y的分布列是什么？
问题五:X为随机变量，若Y=aX+b,其中a，b为常数,则Y也是随机变量．（2） E(Y)=？······························三、牛刀小试1、随机变量X的分布列是(1)则E(X)= . 2、随机变量X的分布列是4.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 9.8E(X)=7,则a= b= .0.40.3例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，则四、例题讲解 巩固新知小结：变式.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。解：(1) X～B（3，0.7）(2)一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则小结：基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .31.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。五、学以致用 提升自我 2、 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种 方案好。六、课堂小结，巩固反思 1、离散型随机变量取值的平均值数学期望2、数学期望的性质3、如果随机变量X服从两点分布，则4、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则谢谢！！！课例的点评
本节课教师能合理组织学生自主学习、合作探究，对学生的即时评价具有发展性和激励性，做到重组教材，力求让学生经历探究学习的全过程。主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质以及离散型随机变量服从两点分布的期望和服从二项分布期望。学生能够自学的内容，教师让学生自学；学生能够自己表达的，教师鼓励学生去表达；学生自己能做的，教师放手让学生去做。本节课能够有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，环环相扣，使接受与探究相辅相成，学生的学习境界更高，学习效果更好。离散型随机变量均值的实例为学生的数学思考提供了“直观”的材料，为知识的理性升华、学生的数学发现提供了必要的感性准备。快速有效的方式传递数学教学中的信息，强化了教师、学生两者之间的平衡性，改善了学生的数学思维环境。学了“离散型随机变量的期望”一课以后，感悟最深的一点是应该用数学的思考方式解决问题。使学生感悟到从数学的角度、用科学的方法来决定机遇，需要用期望值来预测或衡量是否可行。在教授学生知识的同时，教授学生探索的方法，这又是本节课教学的一大亮点，授人以渔重于授人以鱼！
2．3．1离散型随机变量的均值
宁波北仑明港高级中学 柳勋
一、教学内容解析
《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质以及离散型随机变量服从两点分布的期望和服从二项分布期望
取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点.
在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念.
二、教学目标设置：
依据《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求，并考虑到学生的实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：
1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题.
2.通过离散型随机变量均值概念的探究形成，经历建构数学概念这一过程，使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识.
重点：离散性随机变量的均值概念以及求法
难点：对离散型随机变量的均值的理解，并能解决简单的实际问题。
三、学生学情分析
本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难.基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。
四、课堂策略分析：
本节课从总体上讲是一节概念教学课.在教学活动中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要创设一种学生能够主动探究的情境，帮助学生形成科学的数学概念。基于这种考虑，结合本节课知识的逻辑关系，我设计了以下的学习顺序：
温故知新 引入新课——问题引导 讲授新课——小试牛刀——例题讲解 巩固新知——学以致用 提升自我——课堂小结，巩固反思
五、教学过程：
（一）、温故知新 引入新课：
1、分布列:设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
X取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2、离散型随机变量的性质：（1）；（2）
（二）、问题引导 讲授新课：
教师：对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们能否用一些量来刻画随机变量的这些数字特征？
问题1：如果你期中考试各门成绩为：90、81、79、69、85、91；那你的平均成绩是多少？
学生答：（90+81+79+69+85+91）÷6=82.5
教师：得数是各门学科的平均数，也就是我们平常所说的算术平均数，若有个数据求平均数，则有；
问题2：你的期中数学考试成绩为80，平时表现成绩为70，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？
学生答：80×70%+70×30%=77
教师：77这个得数也是一种平均数，只是在计算平均数时，我们根据每个数据所占的比重不同在它的前面所乘的系数也不同，这样得到的平均数我们叫做加权平均数。一般地，若有个数据求他们的加权平均数，则有：，
教师：权：称棰，权衡轻重的数值；权数是起权衡轻重作用的数值；
加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。
练习：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
学生答：
问题３我们换个角度来看待这个问题，如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，从中随机选取一颗，记X为这颗糖果所属种类的单价（元/kg），你能写出X的分布列吗？
学生：也就是说这个糖果是18元/kg的概率为，为24元/kg的概率为，为36元/kg的概率为，那：设混合糖果中各糖果的单价为随机变量X，那么Ｘ的取值可能是：18、24、36；取到各个值的概率分别为：、、；相当于知道了该离散型随机变量X的分布列：
X
18
24
36
P
教师：在这里我们发现糖果的合理价格合理价格=18×+24×+36×，在分布列中也有所体现，其实就是18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)，可以说我们所得到的合理价格应该就是X取值的一个加权平均数，也称之为离散性随机变量的均值。
教师：如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？
学生：23元；
教师：而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？
学生： 不一定，看运气；
教师：买的糖果的实际价值其实相当于做了一次抽样
问题４：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
该随机变量的平均取值应该怎样计算？
学生答：x1p1+x2p2+…+xn pn
教师：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望，简称期望，记为：EX= x1p1+x2p2+…+xn pn 它反映了Ｘ取值的平均水平。
注意：该平均数与以往的平均数有哪里不同？它是加权平均。根据什么来确定权数？所取值的概率。
思考:若(a、b是常数)，X是随机变量，则Y也是随机变量，它们的分布列为
X
x1
x2
…
xn
…
Y
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
（三）、小试牛刀（基础训练）
1、随机变量X的分布列是
X
3
5
7
P
0.5
0.3
0.2
（1）则E(X)=
（2）若Y=2X+1，则E(Y)=
2、随机变量X的分布列是
X
4
6
8
10
P
a
0.1
b
0.2
E(X)=7，则a= b=
（四）、例题讲解 巩固新知：
例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
小结：两点分布
变式、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
小结：二项分布
基础训练：一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回的取5次，则取到红球次数的数学期望是 （用数字作答）
（五）、学以致用 提升自我
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
2 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即
X1 = 3 800 .
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即
同样，采用第 3 种方案，有
于是，
EX1＝3 800 ,
EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )
= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,
EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)
= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．
（六）、课堂小结，巩固反思：
1、一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则均值（或数学期望）：…… ，反映了随机变量取值的平均水平；
2、若，则
3、若X服从两点分布，则
4、若B（n,p）（二项分布），则
六、课例的点评
本节课教师能合理组织学生自主学习、合作探究，对学生的即时评价具有发展性和激励性，做到重组教材，力求让学生经历探究学习的全过程。主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质以及离散型随机变量服从两点分布的期望和服从二项分布期望。学生能够自学的内容，教师让学生自学；学生能够自己表达的，教师鼓励学生去表达；学生自己能做的，教师放手让学生去做。本节课能够有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，环环相扣，使接受与探究相辅相成，学生的学习境界更高，学习效果更好。离散型随机变量均值的实例为学生的数学思考提供了“直观”的材料，为知识的理性升华、学生的数学发现提供了必要的感性准备。快速有效的方式传递数学教学中的信息，强化了教师、学生两者之间的平衡性，改善了学生的数学思维环境。学了“离散型随机变量的期望”一课以后，感悟最深的一点是应该用数学的思考方式解决问题。使学生感悟到从数学的角度、用科学的方法来决定机遇，需要用期望值来预测或衡量是否可行。在教授学生知识的同时，教授学生探索的方法，这又是本节课教学的一大亮点，授人以渔重于授人以鱼！
