课件17张PPT。 三角函数模型的简单应用
例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.解：（1）观察图象可知，这段时间的
最大温差是20oC。
（2）从图中可以看出，从6时到14时的
图象是函数
的半个周期的图象，所以因为点（6，10）是在曲线上，故如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数（１）求这一天6～14时的最大温差。
（２）写出这段曲线的函数解析式。注意—— 一般的，所求出的函数模型只能近似地刻画这天某个时段的温度变化情况，因此要特别注意自变量的变化范围。o10861214102030t/hT/oC 挂在弹簧上的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(cm)由下列函数关系决定：h＝3sin
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)；
(2)求小球开始振动的位置；
(3)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置；
(4)经过多少时间，小球往返振动一次？
(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？练习 拓展：③函数的周期是拓展：例3. 一半径为4m的水轮如右图所示，水
轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈，
如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始
计算时间.
求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之
间的函数关系式;
(2) P点第一次达到最
高点约要多长时间?PP0O?xyPP0O?-2（1）、求P点相对于水面的高度h(m)与
时间t(s)之间的函数关系式;
（2）、P点第一次达到最高点约要多长时间?1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.
小结：2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，
可以利用三角函数模型描述其变化规律，并
获得具体的函数模型，有了这个函数模型就
可以解决相应的实际问题.作业：
P73 练习:1，2，3.
A组1，2，3
预习：68页例3《三角函数模型的简单应用(一)》的教学设计
一．教学设计
1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。
依据学生的认知规律和水平，本节课课本上的例题只讲了例1与例2，并增加了一道新的例题例3.调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。
A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+)+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。
B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解。
C、注意实际问题与数学问题的相匹配。
之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。
2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。
3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。第②问是为讲解下一节做准备。
二．教案：三角函数模型的简单应用
〈一〉课本要求
会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的 高中数学 模型。
〈二〉⒈知能目标 （目标设计）
会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。
⒉情感目标：
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
⒊智育目标：
体会和感受 高中数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。
〈三〉知能要点梳理
学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从三个层次介绍三角函数模型的应用。
①根据解析式引出图象→由数到形
②根据图象求出解析式→由形到数
③将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型（建模）
〈四〉重点与难点
重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型。
（五）学习方法指导
1、对本节应用的理解
应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当三角函数模型，解决问题的一般程序是：
（1）审题：先审清楚题目条件、要求、理解数学关系。
（2）建模：分析题目周期性，选择适当三角函数模型。
（3）求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论。
（4）还原：把数学结论还原为实际问题的解答。
问题解决
图到实际问题
2、学习上应注意的问题：
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点，以及数据的变化趋势两个方面来考虑。
五、教学过程
1、引言 实际生活中见过的类似三角函数图象及物理中简谐振动
由例1：画出函数，并依据图象讨论其性质；
注意点：（1）与的区别与联系；
（2）周期性，A：通过观察可知T=
单调性：在每个上函数为单调增函数；在每个上函数为单调减函数。
注意：在每一个的
周期性；（1）依图可知T=
（2）；
师生共同总结：详见课件。
例2 1.回答第一问.
2.分析;求,即确定A、 四个量的值待定系数法。
第一步：先确定A、B。
1、数的方法
2、形的方法；依图可知：或，；
第二步：再确定与T 有关，由图可知：
第三步：确定。
师生共同小结：
总结；即可以梳理思路，可以对各知识之间的相关关系有一个较为深刻的理解。
情景1 目的：养成从实际情景中抽象和归纳问题，从而体验用数学解决问题的能力，欣赏数学的使用价值。
过程：1、师生共同读题，进入题目情景。
2、分析三大节律的特点，并由题目中所提供的数据选择一个来大概绘制图形，并总结所得。
3、教师指导，形成共识。，
4、出示 例，进行比较，完成题目要求。
师生共同小结：
情景2：利用所学知识和知识的迁移，学会如何处理具有周期变化的实际问题。
小结、作业。
课后反思：设计思路符合新课标的精神，做到心中有课标，心中有教材，心中有学生，从实际到理论，再由理论指导实际的认知过程，关注学生的学习情感和学习中将要遇到的困难，语言精练，宏观调控与微观操作相呼应，并注意细节的处理，尤其通过人体节律，激发兴趣，体现数学价值，切身感受数学就在身边，并能为我们服务。
《三角函数模型的简单应用(一)》的教学评价
三角函数模型来源于现实，如何使学生从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待所学知识与应用间的关系十分重要。王瑜芬老师这节课,巧妙的结合课本例题,又不完全依靠例题,从始至终围绕该节课的重点。让学生在三角函数模型应用的海洋里尽情地畅游,激发了学生的积极思维的同时也体会到了三角函数模型应用的广泛性。具体体现在：?
1、这节课教学设计合理，教学过程充分考虑学生实际，采用多种教学手段，调动学生积极性，整堂课问题设置层层递进，细节处处理到位，善于抓住学生的疑难点，突出重点，突破难点。
2、课堂中的每个环节，无论是例题、练习题的处理，王瑜芬老师充分放手让学生自己动手，动口，老师只引导点拨，善于启发学生，使学生主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养的统一，使学生学习得轻松、愉快。 3、教师个人基本功扎实，教态自然，语言语调好，注意了与学生的沟通，有较强的驾驭课堂的能力。
不足之处：学生配合欠佳
1.6三角函数模型的简单应用（一）
一、教学内容解析
本节课是在学习了三角函数图象和性质之后，来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。
本节课在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。
二、教学目标设置
教学目标：
1、知识与技能：掌握三角函数模型应用的基本步骤。能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型。
2、过程与方法：通过数形结合、转化化归等数学思想方法，把实际问题转化为简单的三角函数模型，并结合多媒体工具辅助解答。
3、情感态度与价值观：通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力和分析问题、解决问题的能力，并在探究中激发学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，勇于探索、勤于思考的科学精神。
教学重难点：
教学重点：分析、整理信息，从实际问题中抽象出基本的数学关系，建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并利用相关学科的知识来解决实际问题。
三、学生学情分析
学生已经学习了三角函数图象和性质，高一学生已经有一定的观察问题、分析问题和解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解和应用有一定难度。因此，本节课需要根据以上特点，合理设置情境，适当引导，提高学生学习的主动性。
四、教学策略分析
本节课采用探究式课堂教学模式，多媒体辅助教学，借助几何画板、动画等多媒体软件制作多媒体课件，直观反映生活中的三角函数例子，并用多媒体反映图形的变化过程。在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，为学生提供充分自由表达、探究和讨论问题的机会，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
五、教学过程
1、导入新课
我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性。在现实生活中，有很多现象具有周期性变化规律，你能举例吗？能否借助三角函数来描述呢？
简谐运动、星体自转和公转、心率变化、气温变化规律、涨潮与退潮，月圆与月缺等等
让学生举例生活中的实际例子，引入本节课的课题，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与教学活动。
这些现象能否借助三角函数来描述？
2、探究新知
例1. 如图是慈溪4月份某一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.
本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？
模型已给出，只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定解析式
（1）这段时间的最大温差是；（最大温差即三角函数中最大值与最小值的差。）
（2）思考1：如何求A和b？
思考2：如何求和
从图可以看出：从6～14是的半个周期的图象，
思考3：如何求？代入点（6，10）？点（14，30）？点（10，20）？
代入点（6，10）得：，，
，取。
这段曲线的函数解析式为
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；
方法小结：，利用求得，利用最高点或最低点坐标，求得。
练习1如图表示电流与时间的函数关系在一个周期内的图象。
根据图象写出的解析式；
为了使中的在任意一段的时间内电流能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值为多少？
解：（1）（2）
例3 开发商在慈溪市（纬度数约为北纬）要开发新楼盘，每幢住宅楼高h0，要使每幢楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？
背景知识如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是。南回归线纬度，北回归线纬度
学生需要借助相关地理和物理知识，充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系。
思考1：太阳高度角，楼高与此时楼房在地面的投影长之间有什么关系？
思考2：什么时候楼房的投影最长？
在北半球地区，太阳直射南回归线时物体的影子最长。因此，应考虑太阳直射南回归线时的情况，即时
，所以
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于前楼高约1.5倍的间距。
本例是研究楼高与楼在地面投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题。分析过程中，应注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，并调动相关学科知识来帮助理解问题。
练习3，慈溪市某小区住宅楼规划不太合理，低楼层正午太阳不能全年照到，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米。如果你去该小区买房，希望全年都不被遮挡太阳光，你应选择那几层的房？
解：太阳高度角，，
所以应选4层以上。
3、课堂练习
1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( A )
A. s B. s C.50 s D.100 s
2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价按月呈f(x)=Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为 ( A )
A.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B.f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C.f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是___80_____
4、课堂小结
本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用：根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。
你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
（1）审题：先审清楚题目条件、要求、理解数学关系。
（2）建模：分析题目周期性，选择适当三角函数模型。
（3）求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论。
（4）还原：把数学结论还原为实际问题的解答。
5、课后作业
1、课本第65页习题1.6
2、搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型。
六、设计思路
1.教学设计指导思想：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣。
2.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当三角函数模型。
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，并进行多媒体动态演示，让学生有更多的时间用于对问题本质的理解。
课件17张PPT。1.6三角函数模型的简单应用（一）想一想？生活中，哪些现象具有周期性变化规律？简谐运动、星体自转和公转、心率变化、气温变化规律、涨潮与退潮，月圆与月缺 ……例1. 如图是慈溪4月份某一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.探究新知6到14时最大温差为思考1：A,b值分别为多少？思考2：如何确定函数中的 ?思考3：如何求 ？（6，10）？（10，20）？（14，30）？注意：（10，20）在增区间上点区别于减取间上的平衡点 。思考4：这段曲线对应的函数解析式是什么？?一般地，函数模型只能近似刻画某个时段的温度变化情况，特别注意自变量的变化范围。 方法小结：利用最高点或最低点坐标，求得 通常已知函数图象，求 解析式练习1，如图表示电流 与时间 的函数关系
在一个周期内的图象。（1）根据图象写出
的解析式；
（2）为了使 中的 在任意一段 的时间内电流 能同时取得最大值和最小值，那么正整数 的最小值为多少？ 背景知识设地球表面某地正午太阳高度角为?，? 为此时太阳直射纬度，? 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是? ＝90o－|? －? |.南回归线纬度 北回归线纬度 例2.开发商在慈溪市(纬度数约为北纬30o)要开发新楼盘，每幢住宅楼高h0，要使每幢楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？BC太阳光? －????北回归线南回归线思考1：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为 ，那么θ、h0、三者满足什么关系？太阳直射南回归线时投影最长.思考2：什么时候楼房的投影最长？根据太阳高度角定义即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于前楼高约1.3倍的间距。解：方法小结：用三角函数模型解决实际问题步骤：审题建模求解还原练习2慈溪市某小区住宅楼规划不太合理，低楼层正午太阳不能全年照到，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米。如果你去该小区买房，希望全年都可以照到太阳光，你会选择哪几层的房？ 解：所以应选择4层或4层以上2.设某人的血压满足函数式 其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________80如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为 那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )
A. s B. s C.50 s D.100 s A课堂练习3.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价按月呈
的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为 ( ) A1、根据图象建立解析式模型。课堂小结审题建模求解还原两个层次三角函数模型的应用：2、将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。1、课本第65页习题1.6
2、搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型。课后作业谢谢！《三角函数模型的简单应用（一）》课例点评
三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与日常生活及生产实践密切相关，在测量、计算与角有关的问题中有广泛的应用。本节内容是在对三角函数定义、性质、图象等基本知识作完整的学习以后专门设置的，目的在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，因此在整个课程安排上起到总结、提升的作用。学生利用已学知识来解决实际问题并在此过程中培养其应用意识和创新意识。
三角函数模型可以解决许多实际生活中的问题，如果某现象的变化有周期性，结合这一现象的特征和条件，根据三角函数的性质，建立数学模型，从而将这一具体现象转化为一个特定的数学模型——三角函数模型。本节课通过两个例题，两个配套练习，从两个层次来介绍三角函数模型的应用。
本节课由生活中具有周期性变化规律的现象引入，让学生带着问题，有目的地参加教学活动。例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题，题目给出了慈溪市某个时间段的温度变化曲线，求最大温差，并写出曲线的函数解析式。其实是利用函数的模型解决问题，并根据图象建立解析式模型。此例题与生活密切相关，提高学生学习的兴趣。例2是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题。通过设问，画图，一步步引导学生理解题目中的有用条件信息。在例题的基础上，通过一道变式练习，激发学生进一步探究。
