《三角函数模型的简单应用二》教学设计
（人教A版高中课标教材数学必修4第一章1.6节）
教学内容解析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时。
“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用。教学共分两个课时，通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法，这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫。第二课时由拖地什么情况比较省力引入，实现从具体事例中抽象出三角函数模型的过程，再由学生动手解决无论推力多大，拖把都不会动的问题，让学生经历由实际问题到数学模型，再还原到实际问题的过程。紧接着第4个例题，即给出宁波港随着潮汐变化时水深与时刻的变化数据，通过作散点图，选择恰当的函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题。这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。
教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系。以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型。
三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想。首先，是函数建模思想。本节内容需要对给出的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题，这体现了数学建模的思想。其次，是数形结合思想。在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采用数形结合的思想，使问题得以解决。三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体。就本节所涉及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。此外，在运用三角函数模型解决数学问题的过程中，“函数与方程”的数学思想也得到了体现。
三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型之后学习的又一具体函数模型，在知识的形成过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节．
二、教学目标设置
（一）教学目标
1．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法。
2．经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题。
3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识。
（二）目标解析
1．学生在学习了分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型的基本步骤有所了解，但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触，特别是对如何根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一。
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非通过简单如“复制与灌输”手段得以实现．所以通过数学建模的过程，让学生领悟到“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数思想”等，并能运用这些数学思想分析三角函数的图象，通过解决一些具有实际背景的综合性问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力。
3．通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型。
教学难点：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。
三、学生学情分析?
在学习了分段函数、指数函数、对数函数等基本函数模型后，学生已经历过观察散点图，抽象成函数模型，分析图象的特征，运用图形计算器等信息技术手段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面上，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的陌生背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有一定的困难。因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析。
四、教学策略分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以EXCEL绘制散点图等，变抽象为直观；同时辅之以计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
五、教学过程设计
? ?（一）开门见山——呈现问题
同学们，我们已经知道函数的解析式、图像、性质三者紧密相连。本节课我们要来研究解决一些生活生产中的实际问题。首先来看拖地的问题，拖把匀速前进时什么情况下比较省力??
抽象出数学关系，三角函数知识解决
引导学生分析出实际问题中蕴含着受力平衡这个实际模型，转化为数学关系
式，既水平和竖直方向受力平衡，进而运用数学运算求出F的表达式，运用函数思想求出F的最小值。
师：当拖杆与竖直方向的角度越大时，越省力，也就是说角度越小越费力。当推力垂直地面向下时，拖把不会动，在这个变化过程中有个临界角，不管推力多大，拖把都不会动，现在我们要解决这个问题。
生：交流讨论出F水平分解力比最大静摩擦力小，拖把不会动，从手里角度出发，列出数学关系式求解。
教师课堂巡视，指导，学生扮演，讲解过程，最后还原回实际问题，今后拖地过程中如何有效的拖地。
【设计意图】通过学生动手再练习，可以有效巩固这个实际问题中的三角知识，同时解决避免拖地死角出现的实际问题。
(三）阅读材料，分析实际问题
材料一：宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港。宁波港由北仑港区、镇海港区、宁波港区、大榭港区、穿山港区组成，是一个集内河港、河口港和海港于一体的多功能、综合性的现代化深水大港。现有生产性泊位309座，其中万吨级以上深水泊位60座。
材料二：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。
材料三：按安全条例规定，宁波港进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。
问题1：安全规定的依据是什么？
题组形式，激发学生抽取实际模型的能力。有效引导学生进入解决模型的过程。
（四）观察数据——建立模型
材料四：下面是宁波港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 25.0 9:00 20.0 18:00 25.0
3:00 30.0 12:00 25.0 21:00 20.0
6:00 25.0 15:00 30.0 24:00 25.0
问题2：如果从函数角度思考，哪个是自变量，哪个是因变量？
问题3：选用一个适当的函数来近似描述这个水深和时间的函数关系，并给出整点时间的水深近似值？（精确到0.01)
问题4：观察散点图，你发现了一些什么结论？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面去研究．
【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．
问题2：怎么画这些数据的散点图？用EXCEL工具。???
【设计意图】让学生复习用描点法画出散点图的方法．
问题3：如果我们用一条光滑的曲线把这些点连接起来，根据曲线的形状和走势，能用什么样的函数来近似拟合这个图象？
师生活动：教师引导学生利用图形计算器的连线功能将散点连接起来，如下图.观察、分析绘出的曲线的形状和特征，思考、判断、选择函数模型．教师根据学生回答的情况加以补充，突出对“周期性”的引导，最后确定可以用形如的正弦型函数来近似拟合.
? 【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.
问题4：如何求出函数中的，，，和的值，从而确定函数模型的解析式呢？
师生活动：师生通过问答的形式，结合图象，求出,,,。
（1）求振幅。由图象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值与最小值之差的一半是振幅，=5
（2）求。的值跟周期有关，从图象可以看到，完成一次往复运动要用12小时，所以周期是12.所以,。
（3）求。图象向上平移了25个单位。
（4）求。代入一个特殊点，得到。
【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出各参数的值，体会“数形结合”的数学思想，利用图形计算器验证所求结果，并两人合作求出整点时刻的水深。
(三）回归现实——提出问题
我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题.
问题5：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为24.5 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
师生活动：教师通过以下问题，引导学生探究.
（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？（实际水深≥安全水深）
（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？
（3）如何解不等式？
（4）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满足我们条件的解是图象的哪部分？
（5）在[0，24]内满足条件的解集是什么？
（6）结合图象，货船应该选择什么时间进港，什么时间出港？
（7）货船在港口能呆多久？
（8）如何使用图形计算器帮助我们解决其中的问题？
学生利用图形计算器分别画出和y=26的图象，找出两图象的交点，通过数形结合得到不等式的解集.
【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清楚题目的意思，引导学生建立函数模型，借助图形计算器，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出解释.
问题6：（游客登船问题）一条客船停靠在宁波港口，潮汐作用下，当水深达到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。已知地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。观察此表，客船什么时候开始登船检票比较合适？乘客有多少舒服的登船时间？
师生活动：教师启发学生类比、思考，组织学生讨论如下问题：
（1）“舒服登船”的含义是什么？你能用一个关系式来表述吗？
（2）舒服水深如何表示呢？
（3）如何解不等式 ？
学生在这些问题的引导下思考探究，对于要求解的不等式，学生根据刚才解题的经历，相互讨论寻求解决的途径，利用图形计算器通过刚才类似方法求出不等式的解集。
【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题. 让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.
师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答。下午发船的话，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分钟左右登船时间。
【设计意图】将所得的数学解释转化为实际问题的解释.
（四）课时小结，认识深化
问题9：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？? （师生一起归纳）
1. 通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：
（1）观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；
（2）根据已知数据绘制散点图；
（3）用光滑的曲线连接散点图；
（4）通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；
（5）求函数模型的解析式.??
在数据处理的过程中，运用了函数的三种不同的表示方法，分析问题并解决问题．
2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．
【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．
（五）布置作业——延时探究
过渡语：在今天我们所研究的实际问题的基础上，同学们课后可以进一步深入研究，请大家看拓展作业．
作业1（卸货速度问题）：若货船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2 m，为了保证货船进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？
【设计意图】让学生利用函数模型解决实际问题，理清解决问题的基本思路，培养分析和探究能力.这是本节内容的一个提高与拓展.
作业2：以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据：
日期
1月15日
2月15日
3月15日
4月15日
5月15日
6月15日
时刻
7:35
7:08
6:27
5:38
5:00
4:45
日期
7月15日
8月15日
9月15日
10月15日
11月15日
12月15日
时刻
4:58
5:26
5:55
6:24
6:58
7:29
（1）画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型，求出函数解析式．
（2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？
【设计意图】通过训练，巩固课堂所学内容，让学生进一步熟练三角函数应用问题的解决方法.把数学的学术形态转化为生活服务的教育形态．
课件11张PPT。数学 源于生活用于生活1.6三角函数模型的简单应用（二）瞻前顾后函数解析式、图像、性质三者紧密相联。本节课
我们将研究解决一些生活生产中遇到的问题，如：
(1)在日常生活中的拖地（数学与物理）；
(2)在航海运输中的应用；教室是我家，环境靠大家例3：拖把的构造：拖杆和拖把头（如图），设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把的力F，拖杆与竖直方向的夹角为θ， 设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ（静摩擦因数）拖地的学问：
拖把匀速前进时，什么情况比较省力？2、拖把死角：存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动，求这一临界角的正切tanθ0
1、匀速拖地：受力平衡实际情景抽取数学关系材料一：宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港。宁波港由北仑港区、镇海港区、宁波港区、大榭港区、穿山港区组成，是一个集内河港、河口港和海港于一体的多功能、综合性的现代化深水大港。现有生产性泊位309座，其中万吨级以上深水泊位60座。材料三：按安全条例规定，宁波港进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。问题1：安全规定的依据是什么？材料二：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。材料四：下面是宁波港口在某季节每天的时间与水深关系表:问题2：如果从函数角度思考，哪个是自变量，哪个是因变量？问题3：选用一个适当的函数来近似描述这个水深和时间的函数关系，并给出整点时间的水深近似值？（精确到0.01)
xyO3691215182124102030(4)货船需要的安全水深为24.5+1.5=26.0(米),所以当y≥26.0时就可以进港 。问题4：一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为24.5米,安全例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右。在区间[0,12]内，函数 的图像
与直线y=26有两个交点A,B，因此(5)一条客船停靠在宁波港口，潮汐作用下，当水深达到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。已知地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。观察此表，客船什么时候开始登船检票比较合适？乘客有多少舒服的登船时间？下午发船的话，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分钟左右登船时间。小结:1、建立三角函数模型的一般步聚:2、数据处理方式：列图表、画图像
运用的数学思想：数形结合、化归、转化思想等 1.6三角函数模型的简单应用（二）
我认为本节课成功之处有三点：
1. 课标要求：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。”从拖地这个身边的情境出发，即熟悉又蕴含三角模型的本质，选题新颖，可见教学设计是经过深思熟虑的。
2.灵活处理教材，教法学法得当。课标指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”纵观这节课，教师不是简单的知识传授者，教学时采用讨论，小组合作等活动调动了大部分学生的学习主动性，通过学生合作、交流，使他们真正成为学习的主人，积极地参与教学的每一个环节，通过问题组形式让学生努力地探索解决问题的方法，大胆地发表自己的见解。学生始终保持着高昂的学习情绪，感受到学习数学的快乐，体验到成功的喜悦。
3.教师在教学中非常注意语言的准确性和规范性。讲课普通话标准；语调注意抑扬顿挫；语言做到尽可能地精炼，不说重复话(有些该特别强调的除外)。
教学因学生而精彩，因缺憾而美丽。这节课虽然也有一点点缺憾，但整体上是成功的一堂课。
