人教版数学八年级上《15.2分式的混合运算》测试题（含答案及解析）

分式的混合运算测试题
时间：90分钟总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列计算，正确的是(???? )
A. a3?a2=a5 B. (a2)3=a5 C. a6÷a2=a3 D.
观察下列等式：a1=n，a2=1?1a1，a3=1?1a2，…；据其蕴含的规律可得(　　)
A. a2013=n B. a2013=n?1n C. a2013=1n?1 D. a2013=11?n
若a+b+c=0，且abc≠0，则a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)的值为(　　)
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?3
已知x?1x=7，则x2+1x2的值是(　　)
A. 49 B. 48 C. 47 D. 51
如果(a?3b2)2÷(ab3)2=3，那么a8b4等于(　　)
A. 6 B. 9 C. 12 D. 81
下列计算错误的是(　　)
A. 0.2a+b0.7a?b=2a+b7a?b B. x3y2x2y3=xy C. a?bb?a=??1 D. 1c+2c=3c
小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是(　　)
A. ma+mb=2mab B. 1?a?1a=?1a C. (ba)2÷(ab)2=b4a4 D. ?x?yx?y=?1
定义运算ab=a+1b+1，若a≠?1，b≠?1，则下列等式中不正确的是(　　)
A. ab×ba=1 B. ba+ca=b+ca C. (ab)2=(a2+2a)(b2+2b) D. aa=1
如图，图①，图②中阴影部分的面积为S1，S2，a>b>0，设k=S1S2，则有(　　)
A. 02
下列式子成立的是(　　)
A. ba+2b=b+2a+b B. m+3m=3 C. (yx2)2=y2x2 D. n2mn=nm
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
化简：a+1a2?1÷a2?4a2+a?2?1?aa?2=______．
x+1x=3，则x2+1x2=______．
已知a+1a=15，则a?1a的值为______．
化简(1?1x+1)÷x= ______ ．
已知y1=1x?1,且y2=11?y1,y3=11?y2,y4=11?y3…yn=11?yn?1请计算y2015= ______ .(用含x的代数式表示)
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm，若一艘游轮在静水中航行的速度为akm/h，水流速度为bkm/h(b计算：(x?1+4xx?1)÷x2+2x+1x2?1=______．
计算：1xy÷(1y?1x)=______．
关于x的方程ax?2x?5=0(a≠2)的解是______．
化简：a2a+2(a?4a)=______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
化简：3?x2x?4÷(x+2?5x?2).
化简：(x2?4x2?4x+4?1x?2)?x2?2xx+1．

化简(1)ab22c2÷?3a2b24cd?(?32d)?????? (2)aa?1÷a2?aa2?1?1a?1? (3)2x?6x?2÷(5x?2?x?2)
化简或解方程：(1)x2?1x2+2x÷x?1x (2)x2x?1?x?1 (3)2xx?2?22?x=1．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
(1)计算：a?ba÷(a?2ab?b2a)；(2)解方程：xx?1?1=3x+1．
我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1+2x?1=1+2x?1；2x?3x+1=2x+2?5x+1=2x+2x+1+?5x+1=2+(?5x?1).(1)下列分式中，属于真分式的是：______(填序号)；①a?2a+1?????②x2x+1????????③2bb2+3????　　④a2+3a2?1(2)将假分式4a+32a?1化成整式与真分式的和的形式为：4a+32a?1=______+______，若假分式4a+32a?1的值为正整数，则整数a的值为______；(3)将假分式a2+3a?1?化成整式与真分式的和的形式：a2+3a?1=______．
答案和解析
【答案】
1. A 2. D 3. D 4. D 5. B 6. A 7. C8. B 9. C 10. D
11. aa?2??
12. 7??
13. ±11??
14. 1x+1??
15. x?1x?2??
16. 2bsa2?b2??
17. x+1??
18. 1x?y??
19. 5a?2??
20. a(a?2)??
21. 解：原式=?x?32(x?2)÷(x+2)(x?2)?5x?2=?x?32(x?2)?x?2(x+3)(x?3)=?12x+6．??
22. 解：原式=[(x+2)(x?2)(x?2)2?1x?2]?x(x?2)x+1=x(x+2)x+1?xx+1=x(x+1)x+1=x．??
23. 解：(1)原式=ab22c2?4cd?3a2b2??32d=1ac；(2)原式=aa?1?(a+1)(a?1)a(a?1)?1a?1=a+1a?1?1a?1=aa?1；(3)原式=2(x?3)x?2÷5?(x+2)(x?2)x?2=2(x?3)x?2?x?2?(x+3)(x?3)=?2x+3．??
24. 解：(1)原式=(x+1)(x?1)x(x+2)?xx?1=x?1x+2；(2)原式=x2x?1?(x+1)=x2?(x+1)(x?1)x?1=x2?x2+1x?1=1x?1；(3)去分母得：2x+2=x?2，解得：x=?4，检验：x=?4是原方程的解，∴原方程的解是x=?4．??
25. 解：(1)原式=a?ba÷a2?2ab+b2a=a?ba?a(a?b)2=1a?b；(2)方程两边乘以(x+1)(x?1)，得x(x+1)?(x+1)(x?1)=3(x?1)解得?x=2检验：当x=2时，(x+1)(x?1)=3×1=3≠0所以，原分式方程的解为x=2．??
26. ③；2；52a?1；?2、1或3；a+1+4a?1??
【解析】
1. 解析：本题考察整式和分式的乘方运算，关键是正确运用乘方运算的法则．?
A.?同底幂相乘，底数不变，指数相加，2+3=5，?所以a?3?a?2=a??5?，故原等式正确;
B.幂的乘方，底数不变，指数相乘，2?×3=6，(a?2)?3=a?6，故原等式错误;
C. 同底幂相除，底数不变，指数相减，6?2=4，?a?6÷a?2=a?4?，故原等式错误;
D.分式的乘方，等于把分子、分母各自乘方，结果应是，故原等式错误;
故选A．
2. 解：由a1=n，得到a2=1?1a1=1?1n=n?1n，a3=1?1a2=1?nn?1=?1n?1=11?n，a4=1?1a3=1?(1?n)=n，以n，n?1n，11?n为循环节依次循环，∵2013÷3=671，∴a2013=11?n．故选D 归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 解：∵a+b+c=0，∴a+b=?c，b+c=?a，a+c=?b，a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)，=ab+ac+ba+bc+ca+cb，=a+cb+b+ca+a+bc，=?bb+?aa+?cc，=?1?1?1，=?3，故选D．由已知得：a+b=?c，b+c=?a，a+c=?b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
4. 解：已知等式x?1x=7两边平方得：(x?1x)2=x2+1x2?2=49，则x2+1x2=51．故选：D．将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可得到所求式子的值．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 解：∵(a?3b2)2÷(ab3)2=3，∴a6b4×b6a2=3，∴a4b2=3，∴a8b4=(a4b2)2=9．故选B．由于(a?3b2)2÷(ab3)2=3，首先利用积的乘方运算法则化简，然后结合所求代数式即可求解．此题主要考查了分式的混合运算，解题时首先把等式利用积的乘方法则化简，然后结合所求代数式的形式即可求解．
6. 解：A、0.2a+b0.7a?b=2a+10b7a?10b，故本选项错误；B、x3y2x2y3=xy，故本选项正确；C、a?bb?a=a?b?(a?b)=?1，故本选项正确；D、1c+2c=3c，故本选项正确．故选A．利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．此题考查了分式的加减运算与分式的约分.此题比较简单，注意运算要细心，注意掌握分式的基本性质．
7. 解：A、原式=m(a+b)ab，不符合题意；B、原式=a?a+1a=1a，不符合题意；C、原式=b2a2?b2a2=b4a4，符合题意；D、原式=?x+yx?y，不符合题意，故选C各项判断得到结果，即可作出判断．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 解：A、正确.∵ab=a+1b+1，ba=b+1a+1．∴ab×ba=a+1b+1×b+1a+1=1．B、错误．ba+ca=b+1a+1+c+1a+1=b+c+2a+1．C、正确.∵(ab)2=(a+1b+1)2=a2+2a+1b2+2a+1=a2+2ab2+2b．D、正确．aa=a+1a+1=1．故选B．根据定义：ab=a+1b+1，一一计算即可判断．本题考查分式的运算，理解题意是解题的关键是，学会根据定义的运算法则进行计算，属于中考常考题型．
9. 解：根据题意得：S1=a2?b2，S2=a(a?b)，则k=S1S2=(a+b)(a?b)a(a?b)=a+ba=1+ba，∵a>b>0，∴0<ba<1，即1<1+ba<2，则110. 解：A、ba+2b=b2+2aab，选项错误；B、当m=1时，m+3m=4，故选项错误；C、(yx2)2=y2x4，故选项错误；D、正确．故选D．利用分式的基本性质，以及分式的乘方法则即可判断．本题主要考查分式的混合运算，理解分式的性质以及运算法则是解答的关键．
11. 解：原式=a+1(a+1)(a?1)?(a+2)(a?1)(a+2)(a?2)+a?1a?2 =1a?2+a?1a?2 =aa?2．故答案为aa?2．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行同分母的加法运算即可．本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
12. 解：∵x+1x=3，∴(x+1x)2=9，∴x2+1x2+2=9，∴x2+1x2=7．故答案为：7．直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．
13. 解：∵(a?1a)2=(a+1a)2?4=15?4=11，∴a?1a=±11．故答案是：±11．根据(a?1a)2=(a+1a)2?4求得(a?1a)2的值，然后开方求值即可．本题考查了代数式的化简求值，正确理解完全平方公式的结构是关键．
14. 解：原式=x+1?1x+1?1x=xx+1?1x=1x+1．故答案为：1x+1．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 解：y2=11?1x?1=1x?2x?1=x?1x?2；y3=11?x?1x?2=1?1x?2=2?x；y4=11?(2?x)=1x?1，则y的值3个一次循环，则y2015=y2=x?1x?2．故答案是：x?1x?2．首先把y1代入y2，利用x表示出y2，进而表示出y3，y4，得到循环关系本题考查了分式的混合运算，正确对分式进行化简，求得y2、y3、y4的值，得到循环关系是关键．
16. 解：该游轮往返两港口所需的时间差为：sa?b?sa+b=2bsa2?b2(h)．故答案为2bsa2?b2．游轮逆水行驶的速度为(a?b)km/h，顺水行驶的速度为(a+b)km/h，再利用速度公式表示出它们行驶skm所用的时间，然后求它们的差即可．本题考查了列代数式(分式)、分式的加减等知识，解题的关键是正确列出代数式，掌握分式的加减运算法则，属于中考常考题型．
17. 解：原式=[(x?1)2x?1+4xx?1]÷(x+1)2(x+1)(x?1) =(x+1)2x?1?(x+1)(x?1)(x+1)2 =x+1，故答案为：x+1．先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后约分即可．本题考查了分式的混合运算，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18. 解：1xy÷(1y?1x) =1xy÷x?yxy =1xy×xyx?y =1x?y，故答案为：1x?y．根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
19. 解：ax?2x?5=0(a?2)x=5x=5a?2，故答案为：5a?2．利用解一元一次方程的一般步骤解出方程．本题考查的是一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20. 解：原式=a2a+2?a2?4a=a(a?2)故答案为：a(a?2)根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. (1)原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；(2)原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；(3)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24. (1)原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；(2)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；(3)方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25. (1)先算括号里面的，再把除法变为乘法，约分即可；(2)先去分母，在去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可，注意检验．本题考查了分式的混合运算以及解分式方程，注意解分式方程一定要验根．
26. 解：(1)根据题意可得，a?2a+1、x2x+1、a2+3a2?1都是假分式，2bb2+3是真分式，故答案为：③；(2)由题意可得，4a+32a?1=4a?2+52a?1=2+52a?1，若假分式4a+32a?1的值为正整数，则52a?1=?1或2a?1=1或2a?1=5，解得，a=?2或a=1或a=3，故答案为：2、52a?1，?2、1或3；(3)a2+3a?1=a2?1+4a?1=a2?1a?1+4a?1=a+1+4a?1，故答案为：a+1+4a?1．(1)根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；(2)根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；(3)根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．