（精品）2010届高三第二轮复习教师版---力与曲线运动（三）

第3讲 力与曲线运动
★ 考情直播
1．【考纲解读】
考纲内容 能力要求 考向定位
1．运动的合成与分解2．抛体运动 1．知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。2．知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。会用作图法和三角形法求解有关位移、速度的合成和分解问题3．理解平抛运动的特点和处规律，熟练掌握分析平抛运动的方法 考纲对本讲知识点均为Ⅱ级要求．相对于旧考纲，变化的情况为考点运动的合成与分解要求提高，而斜抛运动的要求则下降，只作定性要求．在复习时，要注意这一变化特点，要认真把握合运动与分运动的特点及关系．而对于斜抛运动，则不宜花过多的力气．平抛运动及类平抛运动是本章命题的重点和热点，同学们务必对该运动的特点及处理方法熟练掌握。本讲内容删除了平抛运动的实验，考生无需再理会此实验．
1．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度2．匀速圆周运动的向心力3．离心现象 1．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。2．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。3．能正确处理竖直平面内的圆周运动。4．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。 考纲对本讲知识点中的匀速圆周运动的向心力为Ⅱ级要求，其它考点均只作Ⅰ级要求，其中离心现象是新考纲增加的考点．考纲实际上突出了对受力分析的要求，因为客观的受力分析能够体现出实事求是的科学态度，这与新课标的情感、态度、价值观的目标是一脉相承的．
1．万有引力定律及其应用2．环绕速度3．第二宇宙速度和第三宇宙速度 1．掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。2．理解第一宇宙速的意义。3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度． 万有引力定律是广东高考的必考内容，也是全国高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。要理解环绕速度实际上是卫星在天体表面做匀速圆周运动时的线速度。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低
【高考预测】近几年来，曲线运动已成为高考的热点内容之一，有时为选择题，有时以计算题形式出现，重点考查的内容有：平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角度、线速度、向心加速度，做圆周运动的物体的受力与运动的关系，同时，还可以与带电粒子的电磁场的运动等知识进行综合考查；重点考查的方法有运动的合成与分解，竖直平面内的圆周运动应掌握最高点和最低点的处理方法．
本专题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，而万有引力定律是力学中一个重要独立的基本定律，运动的合成与分解是研究复杂运动的基本方法，复习本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解；加深对牛顿第二定律的理解，提高解题实际的能力。
本章是高考的热点内容，考查重点：⑴平抛运动在前几年高考题中都有所体现，在近两年考题中出现的几率较小，但仍要引起注意。⑵匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的动力学特点要引起足够的重视。对天体运动的考查都离不开匀速圆周运动。⑶万有引力定律及利用定律解决相关的一些实际问题。
天体运动问题是历年高考的重点和难点，是万有引力定律应用的具体表现。“神舟六号”的成功发射，必使这类问题更加成为高考命题的焦点。
突破难点的关键：几乎所有万有引力问题都与匀速圆周运动的知识相联系。基本关系式有及（地球表面附近），再结合圆周运动的几个基本物理量v、ω、T关系及其关系式来讨论，即可顺利解题。
2.考点整合
考点一 平抛运动及其规律
1．平抛运动：将物体用一定的初速度沿 方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在 作用下的运动．
2．平抛运动的处理方法：可分解成水平方向的 运动和竖直方向的 运动两个方向的分运动．
3．平抛运动的规律：
水平方向：匀速直线运动 ， ，
竖直方向：自由落体运动 ，，
合运动（实际运动）： ，，a=g
4．平抛运动的性质：做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是 曲线运动．
5．平抛运动的常用推论：①做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半．
②平抛运动中以抛点O为坐标原点的坐标系中任一点A（x，y）的速度方向与竖直方向的夹角为，如右图，则
[特别提醒]：平抛运动与斜面相结合的问题，极容易出现错误。要注意抛出的物体是否与斜面相碰撞，还要注意物理量间的夹角与斜面倾角之间的关系。
＆2.1。（09·广东物理·17）（20分）（1）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施了投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力）
（2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速度。
【解析】⑴炸弹作平抛运动，设炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平距 离为x,
联立以上各式解得
设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v
联立以上各式解得
⑵①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得
摩擦力的大小
支持力的大小
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为有
由几何关系得
联立以上各式解得
【名师指引】处理平抛运动的基本思路是“化曲为直”，即将轨迹曲线转化成两个方向的直线运动来处理。若平抛运动受斜面的限制，则要注意分析斜面的夹角与两个分运动的夹角（分速度夹角、分位移夹角）之间的关系。
考点二 竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动的模型主要有两种，即轻绳（单圆轨道）类与轻杆（双圆轨道）类．它们的主要特点是：（1）轻绳（单圆轨道）（如图6）在最高点只能提供竖直向下的作用力．因此，通过最高点的临界条件是，绳的拉力（单圆轨道对物体的作用力）为0，重力充当向心力， ，解得：，即时物体才能通过最高点，所以：．（2）轻杆（双圆轨道）（如图7）则由于杆既可以提供拉力，也可以提供支持力或不提供作用力，因此，杆作用物体到最高点时，其速度可以为0，此时杆提供的支持力与物体的重力平衡，所以v临界=0．
＆2.2。（2009广东四校联考）如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2kg的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2m/s的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D．g=10m/s2,求：
（1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R应为多大？
【解析】（1）设球m1摆至最低点时速度为v0，由小球（包括地球）机械能守恒：
得
m1与m2碰撞，动量守恒，设m1、m2碰后的速度分别为v1、v2．选向右的方向为正方向，则 ，代入数值解得 v2=1.5 m/s
（2）m2在CD轨道上运动时，由机械能守恒有： ①
由小球恰好通过最高点D点可知，重力提供向心力，即 ②
由①②解得：R=0.045 m
【答案】（1）v2=1.5 m/s （2）R=0.045 m
【名师指引】竖直平面内的圆周运动，往往要以最高点和最低点做为分析的突破口，注意分析这两点间的向心力，而机械能守恒中的速度关系就是联系这两点的桥梁．
考点三 万有引力定律基本公式的理解
1．万有引力定律：
（1）内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的 成 正比，跟它们 成反比．
（2）公式： ， G为万有引力常量，G=6.67×10-11N.m2/kg2．
（3）适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两个物体间的距离 物体本身的大小时，物体可视为质点．
2．物体在地球表面所受的重力与万有引力的关系：若不考虑地球自转，物体在地球表面运行时有 ，
[特别提醒]：万有引力普遍存在于物体之间，但万有引力定律有其适用条件，。此外，要注意有些情况下万有引力可以略，例如微观粒子间的万有引力。
3．在估算有关天体的一些物理量时应紧扣两个关键：①掌握一串公式： ，以及质量公式 ．
②掌握一个模型：将天体或卫星的运动看成 运动，其向心力由 提供．
[特别提醒]：应用万有引力定律能够估算到的只是中心天体的质量、密度等相关物理量，而对于绕行天体，则只能计算其运动的线速度、角速度、周期、向心加速度等。
＆2.3。（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,,由此估算该行星的平均密度为 （ D ）
A.1.8×103kg/m3 B. 5.6×103kg/m3
C. 1.1×104kg/m3 D.2.9×104kg/m3
【解析】本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供,可求出地球的质量.然后根据,可得该行星的密度约为2.9×104kg/m3。
【答案】D
【名师指引】万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的质量、密度、半径，此时要紧口两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体（或卫星）的向心力由万有引力提供．
★高考重点热点题型探究
热点1 平抛运动与其它知识的综合
[真题1] （2007广东高考）如图所示，在同一竖直面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H＝2L．小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动．离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O/与P的距离为L/2．已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
⑴球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；
⑵球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小；
⑶弹簧的弹性力对球A所做的功．
【解析】（1）设碰撞后的一瞬间，球B的速度为vB/，由于球B恰好与悬点O同一高度，根据动能定理：① ②
（2）球A达到最高点时，只有水平方向速度，与球B发生弹性碰撞.设碰撞前的一瞬间，球A水平方向速度为vx.碰撞后的一瞬间，球A速度为vx/.球A、B系统碰撞过程中动量守恒和机械能守恒： ③ ④ 由②③④解得：⑤，及球A在碰撞前的一瞬间的速度大小 ⑥
（3）碰后球A作平抛运动.设从抛出到落地时间为t，平抛高度为y，则： ⑦
⑧ 由⑤⑦⑧得：y=L，以球A为研究对象，弹簧的弹性力所做的功为W，从静止位置运动到最高点：⑨，由⑤⑥⑦得： ⑩
【答案】（1） （2） （3）
【名师指引】 本题考查了能量、动量守恒定律，以及平抛运动的规律．牵涉到单摆、碰撞、平抛三个运动模型，有机组合的痕迹清晰，这恰好是近年广东高考命题的新趋势．要求考生在熟练掌握经典模型的基础上提高综合分析问题的能力．
热点2 竖直平面内的圆周运动
[真题2] （2008年山东高考）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L＝1. 5m，数字“0”的半径R＝0.2m，小物体质量m=0.01kg，g=10m/s2。求：
（1）小物体从p点抛出后的水平射程。
（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
【解析】（1）设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得 ①
小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则有
② s=vt ③
联立①②③式，代入数据解得s=0.8m ④
（2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向
⑤
联立①⑤式，代入数据解得F＝0.3N ⑥
方向竖直向下
【答案】（1）0.8m （2）0.3N，方向竖直向下
【名师指引】 本题取材新颖，考查了动能定理、平抛运动、竖直平面内的圆周运动等知识。同学们在面对这类问题时，不要被其新颖的外衣所迷惑而产生畏惧，而要将题目还原成平时所熟悉的各种物理模型，问题就能迎刃而解
热点3 与万有引力定律相关的信息题
[真题3]（09·天津·12）（20分）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
【解析】本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。
（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则
①
②
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则
③
综合上述三式得
式中 TE=1年 ④
rE=1天文单位 ⑤
代入数据可得
⑥
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
⑦
依题意可知
，
可得
⑧
代入数据得
⑨
⑩
【答案】（1），（2）
【名师指引】解题的关键是要准确理解题中信息的含义，并找到信息与万有引力定律之间的结合点。
【新题导练】
1-1.(湖南望城五中09届高三第一次月考)如图所示为火车站装载货物的原理示意图，设AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物包的摩擦系数为μ=0.6，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车厢底水平面的高度h=0.45m．设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失．通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度ω可使货物经C点抛出后落在车厢上的不同位置，取g=10m/s2，求：
（1）当皮带轮静止时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（2）当皮带轮以角速度ω=20 rad/s顺时方针方向匀速转动时，包在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（3）试写出货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离S随皮带轮角速度ω变化关系，并画出S—ω图象．（设皮带轮顺时方针方向转动时，角速度ω取正值，水平距离向右取正值）
.
解析：由机械能守恒定律可得：
，所以货物在B点的速度为V0=10m/s
（1）货物从B到C做匀减速运动，加速度
设到达C点速度为VC，则：，所以：VC=2 m/s
落地点到C点的水平距离：
（2）皮带速度 V皮=ω·R=4 m/s，
同（1）的论证可知：货物先减速后匀速，从C点抛出的速度为VC=4 m/s，
落地点到C点的水平距离：
（3）①皮带轮逆时针方向转动：
无论角速度为多大，货物从B到C均做匀减速运动：在C点的速度为VC=2m/s，落地点到C点的水平距离S=0.6m
②皮带轮顺时针方向转动时：
Ⅰ、0≤ω≤10 rad/s时， S=0.6m
Ⅱ、10＜ω＜50 rad/s时， S=ω·R=0.06ω
Ⅲ、50＜ω＜70 rad/s时， S=ω·R=0.06ω
Ⅳ、ω≥70 rad/s时， S=＝4.2m
S—ω图象如图　　
1-2（09·天津·11） (18分)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B,方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L,小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为.不计空气阻力，重力加速度为g,求
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v0的大小;
（3）A点到x轴的高度h.
答案：（1），方向竖直向上 （2） （3）
解析：本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。
（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充当圆周运动的
向心力），有
①
②
重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上。
（2）小球做匀速圆周运动，O′为圆心，MN为弦长，，如图所示。设半径为r，由几何关系知
③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为v，有
④
由速度的合成与分解知
⑤
由③④⑤式得
⑥
（3）设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为
⑦
由匀变速直线运动规律
⑧
由⑥⑦⑧式得
⑨
1-3.（2009届江苏海安县高三月考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；
（3）求星体做匀速圆周运动的周期．
解析：
（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
（2）由万有引力的定律可知
则星体表面的重力加速度
（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
解得周期
★励志高考------------------自主学习训练
1.(广东中山龙山中学2009届高三第二次月考)如图所示，足够长的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0水平速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1 : t2为：( B )
A．1 : 1 B．1 : 2 C．1 : 3 D．1 : 4
2.（09·广东理科基础·16）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ）
A．粒子在M点的速率最大
B．粒子所受电场力沿电场方向
C．粒子在电场中的加速度不变
D．粒子在电场中的电势能始终在增加
3.（09·上海·43）右图为一种早期的自行车，这种下带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了 （ A ）
A.提高速度 B.提高稳定性
C.骑行方便 D.减小阻力
4．（2009四川攀枝花）光滑的水平轨道AB，与半径为R的光滑半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内（如图4-4-5），B为最低点，D为最高点。一质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，恰能通过最高点D，则（ ）
A．R越大，v0越大
B．R越大，小球经过B点后的瞬间对轨道的压力越大
C．R越大，小球经过B点后的瞬间对轨道的压力越小
D．m越大，v0越大
5．（2009韶关一调）如图所示，光滑半球的半径为R，球心为O，固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨道AB，高度为R/2．轨道底端水平并与半球顶端相切．质量为m的小球由A点静止滑下．小球在水平面上的落点为C，则（ BC ）
A．小球将沿半球表面做一段圆周运动后抛至C点
B．小球将从B点开始做平抛运动到达C点
C．OC之间的距离为
D．OC之间的距离为2R
6.（09·江苏物理· 3）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ C ）
A． B．
C． D．
7.（09·安徽·16）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像 （ C ）
8．(2007上海高考)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计）
⑴求该星球表面附近的重力加速度g/；⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。
[解析]⑴小球在地球上做竖直上抛运动，有。小球在星球上做竖直上抛运动，有，故。
⑵地（星）球表面物体所受重力大小近似于万有引力，即，得，可解得：M星:M地＝112:542＝1:80
9． (2009广州调研)1如图所示，水平面上固定着一个半径R=0.4m的 光滑环形轨道，在轨道内放入质量分别是M=0.2kg和m=0.1kg的小球A和 B（均可看成质点），两球间夹一短弹簧。（1）开始时两球将弹簧压缩（弹簧的长度相对环形轨道半径和周长而言可忽略不计），弹簧弹开后不动，两球沿轨道反向运动一段时间后又相遇，在此过程中，A球转过的角度θ是多少？（2）如果压缩弹簧在松手前的弹性势能E=1.2J，弹开后小球B在运动过程中受到光滑环轨道的水平侧压力是多大？
解析：（1）在弹簧弹开的过程中系统动量守恒，假设A运动的方向为正方向，则Mv1-mv2=0
设从弹开到相遇所需时间为t，则有： v1t+v2t=2πR
联立以上两式得：
所以A球转过的角度为θ=120°
（2）以A、B及弹簧组成的系统为研究对象，在弹簧张开的过程中，系统机械能守恒，则有 又 Mv1-mv2=0
解得： v1=2m/s，v2=4m/s
所以，小球B在运动过程中受到光滑轨道的侧压力是其所需向心力，即：
10．（2008广州二模）如图所示，离地面高5．45m的O处用不可伸长的细线挂一质量为0．4kg的爆竹(火药质量忽略不计)，线长0．45m．把爆竹拉起使细线水平，点燃导火线后将爆竹无初速度释放，爆竹刚好到达最低点B时炸成质量相等的两块，一块朝相反方向水平抛出，落到地面A处，抛出的水平距离为x=5m．另一块仍系在细线上继续做圆周运动通过最高点C．
空气阻力忽略不计，取g=10m／s2．求：
(1)爆炸瞬间反向抛出那一块的水平速度v1．
(2)继续做圆周运动的那一块通过最高点时细线的拉力T
解析：设爆竹总质量为2m，刚好到达B时的速度为v，爆炸后抛出那一块的水平速度为v1，做圆周运动的那一块初速度为v2：
(1)平抛运动的那一块：
…①…(2分)
…② …(2分)
由①②及H=5m，x=5m 得：v1=5m／s …③…(1分)
(2)D到B机械能守恒：
…④…(2分)
爆竹爆炸，动量守恒：
…⑤…(2分)
由③④⑤及L=0．45m得：v2=11m／s…⑥…(1分)
设向上做圆周运动的那一块通过最高点时速度为vC，由机械能守恒可得：
…⑦…(2分)
设最高点时线的拉力为T，由牛顿运动定律得：…⑧…(2分)
由⑥⑦⑧得：T=43．78N…⑨…(2分)
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11．（2009江苏南通）（14分）如图4-4-11所示，一位质量m =60kg参加“挑战极限”的业余选手，要越过一宽度为s=2.5m的水沟，跃上高为h=2.0m的平台，采用的方法是：人手握一根长L=3.25m的轻质弹性杆一端，从A点由静止开始匀加速助跑，至B点时，杆另一端抵在O点的阻挡物上，接着杆发生形变、同时脚蹬地，人被弹起，到达最高点时杆处于竖直，人的重心在杆的顶端，此刻人放开杆水平飞出，最终趴落到平台上，运动过程中空气阻力可忽略不计．
（1）设人到达B点时速度vB=8m/s，人匀加速运动的加速度a=2m/s2，求助跑距离sAB．
（2）人要到达平台，在最高点飞出时刻速度v至少多大？（取g=10m/s2）
（3）设人跑动过程中重心离地高度H=0.8m，在（1）、（2）问的条件下，在B点蹬地弹起瞬间，人至少再做多少功？
解析：（14分）（1）由运动学公式，，（2分） 解得 （2分）
（2）人飞出作平抛运动，最高点速度最小时人刚好落在平台上，则（2分）
（2分） 解得（2分）
（3）由功能关系可知，蹬地瞬间人做功W，（2分）
解得（2分）
12.（09·安徽·24）（20分）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位
数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。
答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时， ；当时，
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
②
由①②得 ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
解得 R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
13.（09·全国卷Ⅱ·26） (21分)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
答案：（1）；（2）,
解析：本题考查万有引力部分的知识.
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力………①来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离………③
在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影………④
联立以上式子得
,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分别为……⑥
……………⑦
由提设有、……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
,
A
B
C
H
h
L
ω/rad·s－1
S/m
80
70
6
50
40
30
20
10
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
S/m
ω/rad·s－1
A
v0
R
A
B
A
B
θ
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