教学设计说明
《绝对值三角不等式》
教学内容解析：本节属于选修4-5第一讲第二块绝对值不等式中第一节内容。《绝对值三角不等式》虽属于选修内容，但近几年特别受浙江高考、各高校自主招生、三位一体命题组的青睐。因此，本人觉得很有必要对此块内容进行系统全面的研究。
此外，本节课问题本身具备代数与几何两个思考角度，能很好地体现数形结合的思想，让学生深刻体会高中数学学习中概念、技巧、思想三个不同层次。
二、教学目标设置：
1、知识与技能
1、理解绝对值三角不等式的几何意义；2、会用向量解释绝对值三角不等式；
3、会用代数方法证明绝对值三角不等式；4、会用绝对值三角不等式解决有关问题
2、过程与方法
1.培养学生运用公式进行合理代数变形的能力。
2．通过学习，进一步理解数形结合的思想方法。
3、情感态度与价值观
1.经历绝对值三角不等式的公式推导过程，感受研究公式定理的一般思路与方法。
2.通过运用数形结合的思想方法，让学生体会数学之美。
3.培养学生掌握基本概念、基本公式变形技巧、基本数学思想方法三个层次处理所有数
学问题的能力，以及迁移到生活中其他技能学习的类似方式。
三、学生学情分析
知识结构：学生初中就已经学过绝对值的概念及简单几何意义，能解简单绝对值不等式，以及对向量概念、运算有基本了解。
能力结构：本节课虽然出自选修4-5，对高一学生在知识准备结构上亦是完整的。学生所缺的的对公式变形技巧的梳理以及对绝对值三角不等式与其他一些结合问题的翻译能力。因此，教师要做的是从初次认识的懵懂，到再次熟识的套路化总结。
四、教学策略分析
本节课是按照数学概念生成、变形技巧梳理、思想方法归纳的三个流程展开教学。为了让学生更好地理解高中数学学习方法，本节课从绝对值、不等式两个概念出发，由简到难，绝对值三角不等式的实数关系到向量关系，并从代数与几何两个角度推广维度，有形象的几何证明，也有严谨的代数推理，很好地体现了数形结合的数学思想。特别的，在变形技巧的梳理过程中，采用试误、类比、迁移、套路的方式，逐步提高和巩固学生处理复杂问题的能力，并在此过程中树立学生学习数学的自信心！
五、教学过程：
教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会
进行简单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1），当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。
（2）， （3）， （4）
那么
二、讲解新课：
结论：（当且仅当时，等号成立.）
已知是实数，试证明：（当且仅当时，等号成立.）
方法一：证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab<0时,
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果是实数，则（当且仅当时，等号成立.）
（1）若把换为向量情形又怎样呢？
根据定理1，有，就是，。 所以，。
定理（绝对值三角形不等式）
如果是实数，则
注：当为复数或向量时结论也成立.
推论1：
推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
三、典型例题：
，
设计意图：初步认识代数变形中“拆、整体代换”技巧。
变式2.设a、b∈R，关于x的方程x2+ax+b=0的实根为α、β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1.
设计意图：初步认识绝对值三角不等式与其他知识的综合问题，学会“翻译—合理公式选用”这一处理问题流程，并了解“因式分解”技巧。
设计意图：处理流程应用与巩固，并掌握“消元”技巧。
1.若不等式|x-4|+|3-x|
2.若|x+1|-|x-a|<2对任意实数x恒成立,则a的取 值范围是_________.
3.若不等式|2x-1|+|x+1|≥a,(x∈R)恒成立,则常数a的取值范围是_________.
设计意图：绝对值几何意义的直接应用，由简到难，思维难度层层递进，进一步强化“数形结合”这一数学思想，并让学生体会不同角度思考中“秒题”的快感，并树立学生学习数学的信心与乐趣！
课件13张PPT。2018年9月26日星期三绝对值三角不等式关于绝对值有什么运算性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab<0时, 综合10,20知定理成立.定理2 如果a、b、c是实数, --------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当
(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.定理3 如果a、b是实数, 那么
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时,
等号成立.当且仅当ab ≥0时,
等号成立.拆整体代换变式2.设a、b∈R，关于x的方程x2+ax+b=0的实根为α、β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1.因式分解高考链接消元1.若不等式|x-4|+|3-x|这堂课选自全日制普通高级中学教科书人教A版选修4-5第1讲第2节《绝对值不等式》第一课时。对于绝对值与不等式，学生在初中就已接触过，并且，对向量学生在高一上学期也已有研究。有了一定的了解，因此对于本节课，叶老师主要按照概念复习、公式引出、技巧梳理、思想归纳、套路总结这一流程展开教学，整堂课自然完整，学生收获颇丰！
主要优点有：1.思维难度由浅入深，绝对值三角不等式公式推导数形皆备，形象高效而又严谨科学；2.技巧引出有铺设过程，有利于活跃较高一部分层次学生思维，更有迁移巩固过程，有利于一般学生理解掌握；3.紧紧围绕数与形两个角度展开教学，有利于培养学生从不同角度看问题的良好习惯，更有利于让学生体会数学中不同思维模式，对于解决问题的“神奇高效”方式。
