3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目标：
1.知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念；
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念．
学情解析：
数系的扩充与复数的引入是选修1，2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了解数学产生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求 在 问 题 情 境 中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
教学策略：
本着“以学 生为主体，教师为主导”的理念，采用探 究式教学方法，按 照提 出问题，思考、流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。
教法分析：
本节课的教学是一个教师“导”，学生学及其教学中的“悟”为三个子系统组成多样性的和谐体。教师的“导”也就是教师的启发，诱导，激烈，评价等为学生打下支架，把学习的任务转移给学生。“学”就是学生接受任务，看见问题，完成任务。在教学中把教与学完美的结合，那就是以问题为核心，利用问题驱使。本节课我通过问题引导，小组合作来完成目标。
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【引入背景】 ：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
【引入方式】
(1)在自然数集内解方程x＋2＝0． 答： 无解。添加负整数，在整数集内方程的根为x＝－2．
(2)在整数集内解方程3x－2＝0．
答：无解。添加分数，在有理数集内方程的根为
(3)在有理数集内解方程x2－2＝0．
答：无解。添加无理数，
(二)、探究新知，揭示概念
1，自然数，整数，有理数，实数（每一步引入了新的数）
2，关系：NZQR
3，探索：在实数集范围内解方程：x2+1＝0
x2＝-1没有实数解（能否将实数集进行扩充，使得在新数集中，该问题能得到圆满解决呢？）
引入一个新数:使它的平方等于-1，即 ;
4，i的历史：
1）1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．
能作为“数”吗？ 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”
2）1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
3）1801年 高斯系统使用了i这个符号 使之通行于世．
（三）、分析归纳，抽象概括
1.虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
（四）、知识应用，深化理解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
练习1：说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部
例2实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数.
练习2： 当m为何实数时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
思考1 a ＝ 0 是 z ＝ a ＋ b i(a，b?R)为纯虚数的_________ 条件.
思考2 复数z ＝ 1-m ＋（n+1）i，当m和n为何值时,复数 z 和 6＋2i 相等？
归纳概括
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
如：现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
练习3：若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+5)i＝-i，求x的值.
练习4：
（五）、归纳小结、布置作业
布置作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3；
课件19张PPT。3.1.1数系的扩充和复数的概念 (1)在自然数集内解方程x＋2＝0．
(2)在整数集内解方程3x－2＝0．
(3)在有理数集内解方程x2－2＝0．
无解．添加负整数，在整数集内方程的根为x＝－2． 数集扩充到了实数集问题情境数系的扩充用图形表示包含关系：引入新数学生活动没有实数解1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”i的历史 引入一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i2＝－1；
（2）实数可以与 i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立． 复数 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数.复数集 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .知识建构复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
复数a＋bi例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部．练习1例2 实数m取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
当m为何实数时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？练习2思考1 a ＝ 0 是 z ＝ a ＋ b i(a，b?R)为纯虚数的
条件. 思考2 复数z ＝ 1-m ＋（n+1）i，当m和n为何值时,复数 z 和 6＋2i 相等?必要而不充分 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+5)i＝-i，求x的值.练习31．说明下列复数的实部和虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数。2 已知
其中求x与y?3，Z=i+i2+i3+i4 的值是（ ）
A. -1 B . 0 C . 1 D . i练习41-2i，1+ ，2+ ，i sin ，7+（ -2）i 1.虚数单位i的引入；小结谢谢大家！ “数系的扩充和复数的引入”课例反思
本节课是在学生充分了解实数的相关概念和法则后，为了解决实际问题的需要，添加新的数构建成复数集的。数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
本节课的目标是了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 及与实数进行四则运算的规律 ，理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
在课堂教学中，教师本着“以学 生为主体，教师为主导”的理念，采用探 究式教学方法，按 照提 出问题，思考、流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。
本节课的亮点有二：1，复数概念的引入及i的历史背景，激发了学生的兴趣和探知欲，效果明显。2，复数相关概念的理解和掌握，通过比较练习，充分发挥学生的积极性，做，讲，巩固，都交由学生来完成。值得改进的地方有三：1，i和复数概念的引入必要性分析不够，学生感受不够强烈。2，数学思想和方法的提炼不够。3，立足于学生数学核心素养的培养不足，过于强调数学的运算性，数学抽象和数学建模方面可以试着探索。
