2．1离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列（第1课时）
（人教A版高中数学教材选修2-3）
2017年3月
教学设计
一、教学内容解析
本节课是普通高中人民教育出版社A版《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第一课时．
引入随机变量的目的是为了更好地研究随机现象发生的规律以及所有随机事件发生的概率，而离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．对随机变量的概率分布的研究，实现了随机现象数学化．学生在必修模块中已经学习了“随机事件”，“基本事件”，“古典概型”等相关知识，对随机现象有了一定的知识储备.本节课通过两个核心问题叙述了从随机试验结果到随机变量的映射关系与建立了从随机变量到概率值的函数关系,目的是将实际问题数字化，以便于用数学工具更好地研究问题，进一步体会数学建模的思想. 教师的重要作用体现于培养学生“数字化”观察事物，把研究对象进行“数字化”处理，进而用数学的基本思想方法加以分析．本节课的主要任务是介绍两个概念:一是随机变量;二是随机变量的概率分布列.而离散型随机变量和其对应的概率之间是一种函数关系，因此可以类比函数来研究. 教师引导学生用数学的思维分析问题，用数学的思想方法解决问题. 通过类比函数的表示方法，获得对“离散型随机变量的分布列”模型的初步认识，再从这些具体实例中抽象概括出离散型随机变量的分布列的一般定义并进一步探索性质(概率值的特点),在概念得出的过程中，可以培养学生的抽象概括能力.
因此，本节课的教学重点在于：理解随机变量与离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性(直观准确).
二、教学目标设置
1．通过具体实例引导学生理解随机变量与离散型随机变量的概念以及离散型随机变量分布列的概念;理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量的表示方法；探索离散型随机变量分布列的性质．在教学中,教师注重揭示相关知识的数学本质,给学生以潜移默化的作用.
2．通过学生的动手操作,自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力．
3．通过数字化、类比、建模等一系列数学思维构建活动，体会处理随机现象的基本方法. 在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系.
4．通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感,态度与价值观，从而建立学习数学的自信．
三、学生学情分析
（一）学生程度
我所授课的对象是奉化高级中学高二10班的学生．学生的水平一般，基础知识掌握尚可，理解能力方面有所欠缺,虽然已经经历了必修模块概率知识的学习，但对数与随机现象的联系仍处于初期阶段，一些数学方法和数学思想落实还不够到位．
（二）知识层面
学生学习过概率相关知识(随机事件,基本事件,古典概型)
（三）能力层面
1．具有一定的数学抽象能力；
2．具有一定的数学建模基础．
【教学重点】1.理解随机变量,离散型随机变量的概念;
2.理解离散型随机变量分布列的概念和性质。
【教学难点】1.如何将随机试验的结果进行数字化;
2.如何运用数字化的结果.
四、教学策略分析
《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法．
首先从“数字化时代”入手,这是学生非常感兴趣的话题,而随机变量这个概念的建立正是基于随机试验结果数字化表示,开头新颖又能引向知识的本质.进而通过学生的学号引出数字化描述的第一种形式:概率.回顾必修3中已经学习的概率知识中的三个概念，并进一步提出后续问题，即“基本事件本身与数字之间也有着密切的联系”，通过种树苗,掷骰子,次品抽样为背景,引导学生体会对于随机现象,其试验结果可以进行数字化.通过游戏的形式让学生理解用于表示随机试验结果的数字不唯一,选取时应当恰当,同时让学生体会随机试验结果数字化的两种构建模式,一是自然对应;二是人为建立.通过问题引导学生理解用字母表示数,体会字母其实是一个变量.引入随机变量的目的是为了更好地研究随机现象,如何用随机变量表示随机事件,为此,需要约定表示,思维的形成循序渐进,顺理成章.类比函数的表示方法，研究离散型随机变量分布列的表示方法，进而抽象概括随机变量分布列的概念；探索离散型随机变量的性质，并辨析概念.通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，借助多媒体等信息技术手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持.
五、教学过程
FS演示图片1:课前呈现
FS演示图片2：同学们,有没有听说过数字化时代?现在我们有了数字化电视,数字化医疗,数字化课堂等等.马克思有句名言说的是一门科学,只有当它成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步!是的,当一种事物或者一种状态,如果能够用数字来表述的话,不仅简洁明了,而且还能加以运算,使得问题的研究达到一种新的高度.其实,就数学内部而言,将研究对象进行数字化的做法比比皆是.比如,我现在提出一个问题,然后随机地请一位同学来回答我的问题,那么我点到学号为10号同学的可能性大小能用一个什么数字来描述?这涉及了什么数学知识?说到概率,不妨回放一下必修3中所学的几个概念.
FS演示图片3: 课前呈现
FS演示图片4：不知同学们有没有注意过这样一个事实:在随机试验中,除了概率值是一个数字以外,很多情况下基本事件本身也与数字有着密切的联系.对于这些随机现象,其试验的结果都可以用数字来描述,并且随着试验结果的变化而取不同的数值.数学家们正是抓住了这一点点的联系,就想到把随机试验的结果进行数字化,这正是本节课研究问题的一个基本思想.
FS演示图片5：作为<选修2-3>第二章的起始课,本节课我们将要学习的是离散型随机变量及其概率分布列.在这堂课中,我们将致力于研究这样两个核心问题:
①.如何对随机试验的结果进行数字化？
②.如何运用这个数字化的结果？
FS演示图片6：请同学们以桌为单位来完成游戏1，同时在白纸上记录该试验结果.
教师提问:为什么试验结果会不同？
学生作答:因为随机试验的结果是随机发生的.
现在我们完成游戏2，每桌掷硬币5次，请记录试验结果.
教师提问:这样的试验结果是否也可以用数字表示？
学生作答:可以,用1表示正面向上,0表示反面向上.
教师提问：还能用其他数字来表示这个试验的结果吗？
学生作答:可以,用1表示正面向上,2表示反面向上.
用于表示随机试验结果的数字不唯一，这就要求我们选取恰当的数字区表示随机试验.同学们，如果说掷骰子试验结果很自然地对应着一个数字的话,那么掷硬币的试验结果与数字之间的对应关系则是人为建立起来的.
FS演示图片7：下面我们来思考这样的一个问题(字母表示).
在初中我们就曾学过用字母表示数.在掷骰子试验中，一个字母就表示6种情形.也就是说,字母都对应着随机试验,虽然它能取哪些值是确定的,但在一次具体饿试验之前又不能确定它到底取什么数值.因此,字母其实是一个变量,而这个变量又是用来表示随机试验的,所以,我们将它称为随机变量.这样,我们就得到了随机变量的描述性定义.
FS演示图片8：引入随机变量的目的是为了更好地研究随机现象，那么如何通过随机变量表示所关心的随机事件呢？为此，我们约定表示.为了能简化书写,我们将文字部分省略.(变式1学生作答)
有了随机变量的表示,我们就搭建起了连接数与随机现象的桥梁.通过上面的三个例子我们发现随机变量所有取值个数是有限的并且可以被一一列出，这样的随机变量称为离散型随机变量.
变式2学生作答:不是,取值无法一一列出.
教师提问:如果用取值范围表示,应该是一个什么样的区间呢?
这与上面我们讨论的随机变量不一样,是一个连续的区间,这样的随机变量称为连续性随机变量.本章我们只研究离散型随机变量的相关问题.
FS演示图片9：我们指定随机事件与指定随机变量取值的概率.教师板演
FS演示图片10：回顾刚才所做的工作,我们实际上建立了两种对应关系,其一:将基本事件对应到随机变量;其二:将随机变量对应到概率值.如果我们把基本事件构成的集合记为A,把随机变量Y的取值构成的集合记为B,再把对应的概率值构成的集合记为C,引导学生类比函数来研究随机变量.函数关系可表述为,对于函数,想到了哪几种表示方法?板演三种表示方法:解析式,表格,图像.
通过比较,刻画随机变量与概率值之间的函数关系最直观准确是哪种表示方法?(表格法)
FS演示图片11：因此,我们定义:一般地,若离散型随机变量X可能的取值为，X取每一个值的概率,以表格的形式呈现,上述的表格称为离散型随机变量X的分布列,简称X的分布列.事实上,解析式,图像同样也可以用来表示离散型随机变量X的分布列.
FS演示图片12：通过所学知识解决生活实例,请学生在白纸上恰当地定义随机变量并写出随机变量的概率分布列.（学生板演,教师分析）
引导思考如何求随机变量X的概率分布列?定数字,求概率,写分布.
FS演示图片13：通过观察,并结合概率知识,对于离散型随机变量分布列中的概率值,教师引发学生思考它的特点(性质):非负性，可列可加性.通过具体例子辨析离散型随机变量分布列的性质.
FS演示图片14：把“遇见我的三生三世”作为本节课的课堂小结.
论前世:我们回顾一下刚开始所提出的两个核心问题:
如何对随机试验的结果进行数字化?关键在于用恰当地数字表示.
如何运用这个数字化的结果?
一方面,它表示了基本事件；另一方面,它又对应了概率值.
论今生：本堂课设计了三个环节:
首先,将随机试验的结果进行数字化;
其次,由这些数字联想到了字母表示;
最后,我们建立了随机变量与概率值之间的函数关系.
论后世:通过学习与交流,相信同学多多少少会有些感悟!我觉得最有启发的是实现了数学思维的三次飞跃:
从定性到定量,从静态到动态,从孤立到联系.
遇见我的三生三世,下一次,我们不见不散!
教学点评
离散型随机变量的分布列（第1课时）
夏老师是奉化高级中学的一名青年教师.作为人教A版选修2-3第二章第一节的第一课时《离散型随机变量及其分布列》这节课有很多亮点，主要表现在以下几方面:
1.注重教学三维目标
就数学学科而言,课堂内容一般会涉及到数学知识内容:数学本质,数学思维,数学方法等,同时也体现情感,态度,价值观,具体体现于对学科的追求,对数学学习过程中非智力因素的开发.
2.揭示数学知识的本质
对于同一知识的再次学习,不是简单地重复,而是体现了螺旋式上升.教师教学形式,内容设计,组织方式不同,学生对其本质的认识也不同.理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提.夏老师在对教材的精准解读后，确立了正确的教学目标，通过具体实例，旨在培养学生的数学抽象素养.本节课首先从“数字化时代”入手,这是学生非常感兴趣的话题,而随机变量这个概念的建立正是基于随机试验结果数字化表示,开头新颖又能引向知识的本质.对于分布列这一概念,以函数的概念作为铺垫,在研究函数表示方法的基础上自然地构建.这是对教材解读的一个非常独到之处.
3.提炼数学思维方式
在数学教学中,教师不仅要时刻揭示数学思想方法,还要注重提炼一些非数学化的思维方式,给予学生思维的一些启发.本节课的课堂小结中提到的数学思维的三次提升:从定性到定量,从静态到动态,从孤立到联系,可见对教材内容挖掘的深度.本节课充分体现了“以学生为主体，以教师为主导”的教学理念，整节课教师给学生留出了足够的动手操作、独立思考和合作探究的时间与空间，学生的主体地位得到了体现，思维能力也得到了训练.
美中不足的是,夏老师仅仅注重了自身对问题的研究,多少还是有点牵着学生鼻子走的味道,如果在课堂上能够让学生自己提出问题,解决问题将会使这堂课更加精彩.
