课件12张PPT。集合的含义（1）集合的概念：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.（2）常见数集的符号表示：
自然数集用N表示，正整数集用N*或N+表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示.（3）集合中元素的特性：
根据元素与集合的关系，可以分析集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.例1.已知集合M 中的三个元素 a,b,c 分别是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是（ ）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形
（C）钝角三角形 （D）等腰三角形 D【解析】因为等腰三角形的两腰长相等，不满足集合中元素的互异性.故选D.例2.下列研究对象能构成一个集合的是 .
（填序号） （1）世界上最高的山峰. （2）高一数学课本中的难题. （3）组成中国国旗的颜色. （5）单词“book”中的字母. （6）自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.（4）不等式x<5的正整数解. 能不能能能能能(1)(3)(4)(5)(6)例3.下列说法正确的有哪几个？ （1）地球周围的行星能确定一个集合.（2）实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个集合. 是错误的.因为“周围”是个模糊的概念.一颗行星是否属于在地球的周围，没有准确的判断标准. 是正确的.虽然满足条件的数有无数多个，但任何一个元素都能判断出是否属于这个集合.例3.下列说法正确的有哪几个？ （3）方程(x-2)2=0的解集有2两个元素.（4）{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合 是错误的.方程(x-2)2=0有两个相等的实数根2，但是解的集合中的元素满足互异性，因此只有1个元素. 是错误的.因为集合中的元素是无序的.例4.用∈或 填空. （1）0 N （2）N R∈例5.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解组成的集合为M ,则M 中元素的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 C【解析】解方程x2-5x+6=0得x=2或x=3；
解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1.
所以集合M={2，3，-1}，即集合M中有3个元素.
故选C.－1－1（1）集合的含义； （2）常用数集符号表示的含义.（3）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.课件8张PPT。集合的分类与表示（1）集合的分类
按照集合中元素的个数，集合可以分为：
有限集：含有有限个元素的集合.
无限集：含有无限个元素的集合.
空集：不含任何元素的集合.（2）集合的表示方法
常用的表示集合的方法有：
列举法——一般适于用有限集；
描述法——一般适用于无限集；
固定的大写字母——表示常用数集；
韦恩图——可表示元素不能明确的抽象集合；
区间——表示部分连续的实数的集合.常见数集的符号表示：
自然数集用N表示，正整数集用N*或N+表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示，空集用希腊字母Φ表示.例1. 判断下面两个集合A与B是否相等?错解：正解：集合A中的元素为方程，集合B中的元素为实数，故A≠B.例2.根据下列语句写出相应的集合. （1）负奇数集表示为 . （2）平面直角坐标系中所有平分第二、四象限的点所组成的集合表示为 . （3）函数y=3x2+1的值域可以表示为 .{x | x = -2n-1, n∈N}{y | y =3x2+1}={y | y≥1}{x | x = -2n+1, n∈N*}{-1,-3,-5，…}{(x, y) | y = -x , x∈R , y∈R}例3.设x,y,z都是非零实数，则集合所有可能取到的值组成的集合是 .故M所有可能取到的值组成的集合是{5，1，-1，-3}.{5，1，-1，-3}解析：例4.已知集合
故选C.则集合A与B之间的关系是（ ）（A）集合A中元素均属于B
（B）集合B中元素均属于A
（C）A=B
（D）集合A与B无相同的元素C（1）掌握集合的表示方法； （2）会判断两个集合是否相等.判断两个集合是否相等，通常可以用以下两种方法：
①把两集合中的元素一一列举出来，比较两集合中的元素是否完全相同；
②依据集合相等的定义 ，确定两个集合是否相等.课件10张PPT。集合的包含关系子集与真子集（3）子集和真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集,而集合A 的子集不一定是其真子集.若集合A 有n 个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.例1.写出集合{1,3,5}的所有子集.解：集合{1,3,5}的子集有
Φ ,{1} ,{3} ,{5} ,{1,3} ,{1,5} ,{3,5} ,{1,3,5}.注意：切勿忘记空集和集合本身这两个特殊的子集.
解完以后验证个数，含有3个元素的集合的子集个数为23=8.变式：
集合A ={ x | 0 ≤ x < 3, x∈N }的真子集的个数为（ ）
A.16 B.8 C.7 D.4C例2.集合A ={ x | -1< x < 3}, B ={ x | x < a },若A B,则实数a的取值范围 .解析：因为A B ，所以集合 A 中所有元素均属于集合 B ，利用数轴可知 a ≥ 3. a ≥ 3例3.集合A ={0,1}, B ={ x | x A },则下列关于集合A与B的关系说法正确的是 （ ）
A. A B B. A B C. B A D. A∈B注意：本题比较特殊,集合B中的元素为集合,当集合A是集合B中的元素时, A与B是从属关系,而A中元素是数，因而A与B非包含关系.本题易错选B.DA.6个 B.7个 C.8个 D.15个解：集合{1,3,5}的真子集有23-1=7个.分别为：
Φ ,{1} ,{3} ,{5} ,{1,3} ,{1,5} ,{3,5}.B集合M 为{1,3,5}的真子集与{7}取并集,即在{1,3,5}的真子集中加入元素7.因此个数与{1,3,5}的真子集个数相同.分别是：
{7},{1,7} ,{3,7} ,{5,7} ,{1,3,7} ,{1,5,7} ,{3,5,7}.例5.集合A ={ x | -1< x < 3}, B ={ x | x < a },若A B,则实数a的取值范围是 （ ）
A.a < 3 B.a ≤ 3 C.a > -1 D.a ≥ -1A例6.若集合A ={-3,2}, B ={ x | mx =12 },且 ,则m的值为 .注意 “两个集合具有包含关系”在试题中常采用以下等价说法：0或-4或6（1）解决集合与集合之间的关系问题,常用的方法有：特征分析法、元素分析法、图示法等，其中图示法就是利用Venn图或数轴或平面图形把两个集合表示出来,再判断它们之间的关系. 一般地,元素分析法和图示法能使集合具体化、形象化,从而降低思维难度,简化解题过程.（2）集合之间的关系与运算技巧：（3）空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,若忽视这一点,则会导致漏解,从而产生错误的结论,要多加注意.在解题中要注意上述关系的应用；课件9张PPT。集合的相等集合的相等：两个集合的元素完全相同就是相等，只要有一个元素不同就是不相等.用包含的角度来说就是：
A包含于B，而且B包含于A，叫做A等于B.用元素的角度来说就是：
两个集合A,B,若x∈A,则x∈B且若x∈B则 x∈A,叫做 A=B.例1.已知集合 A ={x | x =4n+1, n∈Z}, B ={x | x =4n－3, n∈Z},判断集合A与B的关系.解： ①对于任意x∈A , 因为x = 4n+1= 4(n+1)－3,
当n∈Z时,有n+1∈Z ,所以 x∈B ；
②对于任意x∈B , 因为x = 4n－3= 4(n－1) +1,
当n∈Z时,有n－1∈Z , 所以x∈A .
综上可知，A = B.解法一：当 k 取…,－2,－1,0,1,2, …时, 得故集合A与B不相等.（事实上A是B的真子集.）故集合A与B不相等.则集合A1中角的终边落在如图红色线上，集合B1中角的终边落在如图蓝色线上由图可知, A1是B1的真子集 , 从而A是B的真子集.从而集合A1与B1不相等.－1－1例4.已知集合M={x , xy , lg (xy)}, N={0, | x |, y }. 若M = N,试求 x , y 的值.解：由 lg (xy)有意义，知 xy > 0, 故x ≠ 0, y ≠ 0,由M = N , 知0∈M,
故lg (xy) = 0,所以 xy = 1. 此时M={ x , 1 , 0}, N={0, | x |, y }.
由1∈M ,得1∈N .故| x | =1或 y =1.
若y =1,由 xy = 1, 得x = 1,不满足集合中元素的互异性,舍去；
若| x | =1, 得 x =± 1,
当 x = 1 时,由 xy = 1, 得 y= 1,不满足集合中元素的互异性,舍去
当 x = －1时,由 xy = 1, 得 y = －1,此时 M = N={0, 1, －1 }, 符合题意.
综上可得，x = －1, y = －1.课件8张PPT。Venn 图（1）Venn图法，是用一条封闭的曲线来表示集合的方法.
Venn图也称韦恩图、文氏图.
利用Venn图来表示集合更加形象和直观.（2）利用Venn图表示集合间的基本关系：（3）利用Venn图表示子集的传递性：（4）利用Venn图表示集合的并集、交集运算：例1.如图所示 , U 是全集 , M , P , S 是 U 的3个子集,则阴影部分表示的集合是（ ）(M∩P) ∩S B. (M∩P) ∪S
C. (M∩P) ∩(CU S) D. (M∩P)∪(CU S)C解：观察Venn图,可知阴影部分既在表示集合 M 的区域中,又在表示集合 P 的区域中,即在表示集合 M , P 的公共区域内,且在表示集合 S 的区域外,即在集合CU S中.
根据集合运算的概念,可得阴影部分表示的集合为(M∩P) ∩(CU S),故选C.例2.已知某班共有学生30人，其中参加语文兴趣小组的有9人,语文兴趣小组和数学兴趣小组都参加的3人,语文兴趣小组和数学兴趣小组都不参加的16人,问参加数学兴趣小组的有多少人？解：用Venn图计算，如图将全班学生分成4个部分，①和②表示语文兴趣小组，②和③表示数学兴趣小组，由题意，①②③④共30人，②有3人，①有9-3=6（人），④有16人，从而③有30-6-3-16=5（人），故数学兴趣小组的一共有3+5=8（人）例3.已知A、B均为集合U={1,3,5,7,9} 的子集，且A∩B={3},(CU B)∩A={9},解：画用Venn图如右图,
∵ A∩B={3},(CU B)∩A={9},
∴A={3,9}.{3,9}则A= .例4.已知全集U={不大于20的素数}, A、B是U的两个子集，且满足A∩ (CUB)={3,5}, B∩(CUA)={7,19}, (CUA) ∩(CUB)={2,17},求出A、B.解：用Venn图计算，如图将全集U分成4个部分，U={2,3,5,7,11,13,17,19}.
由题意：①中元素为3,5, ③中元素为7,19, ④中元素为2,17,那么②中的元素为13.
由图可知，A={3,5,11,13},B={7,9,11,13}.（1）Venn图要求用封闭的曲线来表示集合，而封闭曲线的形状可以是矩形也可以是椭圆形等，并不作具体要求；（2）抽象集合常常用Venn图来表示；（4）对于元素个数不多的有限集，在集合运算中，运用 Venn图往往可以达到简化运算的目的. （3）涉及集合中元素个数的问题，常常用Venn图来表示；课件8张PPT。空集1.空集的定义
不含任何元素的集合叫做空集，用Φ表示.解：①正确.因为集合{0}中有一个元素0,所以是非空集合,空即是任意非空集合的真子集,故正确.②正确.因为0是集合{0}中的元素,故0∈{0}正确.③不正确.因为空集Φ和集合{0}是两个集合,“∈”是判断元素与集合关系的符号,故不正确.④不正确. Φ 中无任何元素,而{0}中有一个元素0,所以二者不相等,不正确.注意：解：①中有元素0,③中有元素Φ,⑥中有元素(0,0),所以它们都不是空集；②中元素x = n2 + 1 ≥1,同时 x < 0 ,所以不存在任何一个元素属于集合②,②为空集；②④⑤Φ代表空集,所以④是空集；⑤中－ n2 ≤0, 从而－2－ n2 ≤－2,同时作为被开方数－2－ n2 ≥0 ,所以不存在任何一个元素属于集合⑤,⑤为空集.例4.已知集合A={ x | －2≤ x ≤ 5}, B={ x | m+1 ≤ x ≤ 2m－1}.解：①当B≠Φ时，由图可得②当B=Φ时，由图可得
m+1 > 2m－1,解得 m < 2.解这两个不等式组,得2 ≤ m ≤ 3.综上可得, m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.注意 不要忽略空集！1.空集是一个特殊的集合，它是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.2. Φ与{Φ}相同点：都是集合.不同点：Φ不含任何元素；{Φ}含一个元素，该元素是Φ.3. 解题过程中，注意讨论空集Φ.课件8张PPT。交集、并集交集与并集的概念（1）交集：一般地 , 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合A与集合 B的交集,记作A ∩ B . （2）并集：一般地 , 由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合A与集合 B的并集,记作A∪B . 提醒：若A∩B＝A，则A ? B；若A∪B＝A，则A ? B .B例2．(1)如果A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝ ，
A∪B＝ ．{0，1}{－1，0，1，2，3} (2)如果A＝{ x |－1 < x < 2 }，B＝{ y | 0 < y < 4 }，则A∩B＝ ，
A∪B＝ ．{x | 0 < x < 2}{ x |－ 1 < x < 4 }例3．已知集合A＝{( x , y ) | x + y = 2}, B＝{( x , y ) | x－y = 4}, 求集合A∩B．解：由题意,集合A是直线 x + y = 2,集合 B是直线 x－y = 4．
集合A∩B就是两条直线的交点 , 解方程组 ,故集合A∩B={(3 ,－1)}．解：由Venn图可知,参加排球或田径比赛的人数为：12+20–6，
故没有参加比赛的学生人数为：
45 –(12+20–6) =19（名）
答：这个班共有19名学生没有参加比赛.例4. 某班45名学生 , 学校举办的排球赛和田径赛活动中 , 这个班参加排球赛的有12名学生 , 参加田径赛的有20名学生 . 已知两项比赛都参加的有6名学生 , 问这个班共有多少名学生没有参加比赛 ？（1）理解交集与并集的概念 , 会计算两个集合的交集和并集；（2）可以利用Venn图或者数轴来计算交集、并集；课件8张PPT。全集、补集1.全集（1）全集：如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么这个集合就可以看成一个全集.
（2）全集是一个相对概念，一个全集可以是另一个集合的子集或真子集，它是我们为研究集合间的关系而临时选定的一个集合.2.补集对于一个集合A,由全集U 中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集,记作CUA, 即CUA ＝ { x|x∈U，且x?A}.研究补集的前提：A ? S 补集的性质： 1.补集的反身性：
设全集为 U , A 是 U 的任意一个子集,
则CU ( CU A ) = A .2.补集的互补性：
CU U =Φ , CU Φ =U .例1. 设集合U ={1,2,3,4,5,6}, M ={1,3,5},C U M =（ ）
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D. U {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} A例2. 设集合A ={ 0, 2, 4, 6 }, CU A ={ 5, 9, 11 } , CU B ={ 0, 2, 5 } , 则
B = .解：由题意全集 U ={ 0, 2, 4, 6, 5, 9, 11 } , 因为 CU B ={ 0, 2, 5 } ,
所以 B = { 0, 2, 4, 6, 5, 9, 11 } .{ 4, 6, 9, 11 } 例3. 设全集U＝{ 2 , 3 , a2＋2a－3 } , A＝{ | 2a－1 | , 2 } , CU A ＝{ 5 } , 求实数a的值．注意 在许多问题的题设中隐藏着某些条件,解题时,要注意题设中的细节,养成细心、规范解题的好习惯. 例4．记不等式组 的解集为A，U＝R，试求A及CUA ，并把它们表示在数轴上． 解：解不等式2x-1>1得x>1
解不等式3x-6≤0得x≤2
∴A ={x|1< x ≤ 2},
则CUA={x| x ≤1或 x>2}.例5.已知集合A＝{x|x≥m}，集合B＝{x|－2
(1)若全集U＝R，且A?CU B，求m的取值范围；
(2)若集合C＝{x| m＋1< x < 2m}，且C ? CA B，求m的取值范围． 思路探究 (1)先求CUB ,再利用A ? CU B 得m的取值范围；
(2)先求CAB ,再利用C ? CAB 得m的取值范围． 解析 (1)由题意知 CU B ={x|x ≤－2或 x ≥ 3},∵ A?CU B,∴m≥3.
(2)由题意知 B ? A , ∴m≤－2 , CAB ={x| m ≤ x≤－2或 x≥3},
①若C= Φ,即m+1≥2m,即m≤1, m≤－2 .
②若C≠ Φ,即m+1<2m,即m>1,与 m≤－2 矛盾,此种情况不存在.
综上,m的取值范围为m≤－2 .规律方法 针对此类问题,已知补集之间的关系求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助数轴,列出参数m应满足的关系式,具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”.（1）补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法；另一方面,补集的元素逃不出全集的范围.（2）补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.（3）若x∈U,则x∈A或x ∈CUA,二者必居其一.课件13张PPT。函数的概念及构成要素 2.函数的三要素 ：定义域，对应法则，值域构成函数的三要素. 4.函数的对应关系：可以一对一，可以多对一，不可以一对多.1.函数的概念 ：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x) ，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集. 5.函数的定义域就是集合A,但值域不一定就是集合B，应该是集合B的子集. 3.判断函数是否为同一函数的依据 ：只有当三要素完全相同时，两 个函数才为同一函数；但在判断两个函数是否为同一函数时只需判断定义域和对应关系是否相同即可，因为定义域和对应法则可以决定值域，也就是说定义域和对应法则相同，则值域必然相同.例1．2018年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，
f是月份与天数的对应关系，其对应如下：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天数 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
对照函数概念，上述从A到B对应是函数吗？从B到A的对应是函数吗？解析：首先集合A,B为两个非空数集，对于集合A中的任何一个月份，在集合B中都有唯一确定的天数与之对应，所以从A到B的对应是函数关系；反过来，对于集合B中的任何一个天数，比如30，在集合A中有四个月份4,6,9,11与之对应，不是唯一确定的，所以从B到A 的对应不是函数关系.注意：函数概念当中的两个关键词：“任意”和“唯一确定”，这是判断某种对应关系是否构成函数关系的关键.变式：已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的函数的是( )
A．f：x→y＝ B．f：x→y＝
C．f：x→y＝ D．f：x→y＝C例2．已知集合 集合 建立从集合A到集合B的函数，
一共能够建立多少个？请一一列举出来.从集合B到集合A呢？12解析：建立函数关系就是建立一种对应，使得集合A中的任意一个数在集合B中有唯一确定的数与之对应，可以多对一，也可以一对一.列举的时候要按照一定的规律，做到不重不漏.45123451234512345123451345123451234523一共是 个.解析：反过来，就是使得集合B中的任意一个数在集合A中有唯一确定的数与之对应.例2．已知集合 集合 建立从集合A到集合B的函数，
一共能够建立多少个？请一一列举出来.从集合B到集合A呢？一共 个.注意：函数关系具有方向性，从A到B与从B到A是有区别的.变式: 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下图所示4个图形中能表示集合M到集合N的函数关系的是( )解析：第一个函数图像中x=2时没有数与之对应，不满足任意性；第三个函数图像中x=2时对应数3，但3不在集合N中，不满足唯一确定性；第四个函数图像中，当 时一个数x对应两个数 y，不满足唯一性；所以正确答案是?.?例3．下列函数哪个与函数y=x相同？
(1) (2)
(3) (4)解析：函数y=x定义域为R,每个自变量x与它本身相对应.函数
的定义域为 ，定义域不同；函数 ，当x=-1时，y=1，
对应关系不同；函数 ，定义域不同；
所以本题答案为（3）.注意：函数问题都应该优先考虑定义域，也就是自变量的取值范围.例4.（1）函数 的定义域为________________________;注意：取倒数时左边要大于0.C例5.定义域不同，值域相同的函数叫做同族函数.
已知 ，则以集合B为值域的同族函数有____个. 解析:判断同族函数有几个，主要看定义域：，所以正确答案为7个.7解析：当x=-1时，f(-1)+(-1)f(-1)=0, 所以f(-1)没有限制，可以取1,2,3,4中任意一个，共4种情况；当x=0时，f(0)+0f(0)=f(0),所以f(0)必须为偶数，只能去2或4，共2种情况；当x=1时，f(1)+f(1)=2f(1)一定为偶数，所以f(1)也没有限制，可以取1,2,3,4中任意一个，共4种情况.所以正确答案为 个.322.能够进一步深入理解函数的概念，特别是对“任意一个”和“唯一确定”的理解和运用.明确定义域，值域与定义中的集合A与集合B的关系，提高分析问题解决问题的能力.1.能够从集合角度掌握函数概念以及函数概念的三要素，会判断两个函数是否为同一函数，会求简单的定义域，函数值和值域.课件8张PPT。映射 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y和x对应，则称f是集合A到B的映射，记作：f：A→B，其中，y叫做x在映射f的象，记作f(x)，即y=f(x)，x叫做y的原象.注意：1、A，B是有顺序的， f：A→B与f： B → A 是不同的；2、A中每个元素在B中必有唯一的象；3、A中元素不能有剩余，B中元素可有剩余；4、A中元素与B中元素可以是“一对一”，“多对一”，
但不能“一对多”. 如果映射f是集合A到集合B的映射，且对于B中的任一元素在A中都有且只有一个原象，即两集合的元素存在一一对应关系，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.（1）是一一映射；（2）不是.由于B中元素1在集合A中没有原象.（1）（2）例1.说出下图所示的对应中，哪些是A到B的映射？哪些又是一一映射？不是是是一一映射不是一一映射是例2.设集合A={a、b},B={c、d、e}
（1）可建立从A到B的映射个数 .
（2）可建立从B到A的映射个数 .小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有 个。98nm 说明：可以让学生写出所有的映射，才能体会不同的映射；才能了解映射的要素有哪些；例3. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，
(1)求点（2，3）在映射f下的像；
(2)求点(4，6)在映射f下的原象. 例4.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值. 答案：a＝2 , k＝5 解：(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);
(2)点(4,6)在映射f下的原象是（5/2，1）练习：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？解析：（1）不是，因A的元素0无对应；（2）是；
（3）不是，因A中的负数没有对应；
（4）不是，因A中的元素0，1，－1都没有对应.1、两个概念：（1）映射；（2）一一映射.2、两个问题：
（1）如何判定给定的对应是否为映射;
（2）象和原象的问题.课件8张PPT。区间 区间的概念：(1)闭区间表示为[a,b] ；(2)开区间表示为(a,b)；
(3)半开半闭区间表示为[a,b)或(a,b]. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”.满足x ≥ a , x > a , x ≤ b , x < b的实数集合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).注意：①区间是数集,它表示一段连续的实数;
②定义域、值域经常用区间表示用;
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.知识探究思考1：设a，b是两个实数，且a （1）9≤3x≤10；
（2）2x≤0.4．解：（1）由9≤3x≤10，解得3≤x≤ ，
所以该不等式的解集为 ；（2）由2x≤0.4，解得x≤0.2，
所以该不等式的解集为（－∞，0.2]．例3.在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，并用区间表示该集合．解：在数轴上表示集合{x|x<－2或x≥1}，如下图：用区间表示该集合为： ．注意：
（1）用区间表示数集的原则：①只能表示连续的一段实数；②区间的端点左小右大；③注意区间的端点是开还是闭．
（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
（4）“ ∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能到达，不是一个数．
（5）区间也是表示集合的一种方法，但并非所有的集合都能用区间表示．课件11张PPT。函数的表示方法函数的常用表示方法有：2、图像法：3、列表法：1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.就是用图象表示两个变量之间的对应关系.就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.列表法：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值；但变化规律不是很明显,只适用于自变量为有限个的函数，不能推出任意一个自变量时的因变量的值. 解析法：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便 于研究函数性质；但一些实际问题很难找到它的解析式. 图像法：能够很直观的感受到整个函数的变化情况；但只能近似地反映函数的变化情况.优点与缺点：例1.下表是某校高一（2）班三名同学在高一学年度六次数学月考的成绩及班级平均分表. 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.想一想：上面表格表示一个函数吗？ 解：将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图：函数图象直观、形象，可以直接看出函数的性质. 1.王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习成绩比较稳定而且成绩优秀. 2. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大. 3. 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高.例2.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5}) 个笔
记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数 y = f (x).解：（1）解析法：
y=5x, x ∈{1,2,3,4,5}（2）列表法：（3）图象法： 例3.甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒. 现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米. 求y随x（0≤x ≤100 ）变化的函数解析式，并画出函数图象. 解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：
甲车为：20x米，乙车为：25x米
两车行驶路程差为：25x－20x＝5x
两车之间距离为：500－5x
所以，y随x变化的函数关系式为：
y=500－5x, 0≤x ≤100
用描点法画出图象：（如右图）1、函数的三种表示方法；2、函数的三种表示方法的优点与缺点；3、根据不同的问题、不同的要求，选择恰当的表示方法，以便研究函数的性质.课件9张PPT。分段函数分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．例1.已知函数
若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．解析：由题知，f (1)=2+1=3, f ( f (1))=f(3)=32+6a ,
若f ( f (1))>3a2，则9+6a>3a2．
即a2－2a－3<0，
解得－1 由图象知，当－1≤x ≤1时，
f(x)=x2的值域为[0，1]；
当x>1或x<-1时，f(x)=1，
所以f(x)的值域为[0，1]. 例3.已知函数 , （1）求f(－5)， f(3) ，f [ f(－2.5)]的值. （2）若f(a)=3，求实数a的值. 解：（1）－5＜－2，f (－5)＝－5＋1＝－4，3＞2，f (3) ＝2×3－1＝5，∵f (－2.5) ＝－2.5＋1＝－1.5，而－2＜－1.5＜2
∴f [ f (－2.5)] ＝f (－1.5) ＝(－1.5) 2＋2×(－1.5) ＝－0.75 .（2）若f (a)＝3，则 ①a＋1＝3，解得a＝2（舍去） ②a2＋2a＝3，解得a＝－3（舍去），或 a＝1（符合题意） ③2a－1＝3，解得a＝2（符合题意）. 综上可得，a＝1或a＝2. 例4.设函数若 ，则x0的取值范围是（ ）解析：①当x≤0时，x2>1，解得： x<－1或 x >1，所以 x<－1;
②当x>0时， x－8 >1，解得： x >9;
综上① ②可知： x0的取值范围是x<－1 或x >9. 故选D.小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把所求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解集的并集. (2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以
同理可得例5.已知f(x)＝x2－1，
(1)求f(g(2))与g(f(2))；(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.课件9张PPT。函数单调性的判断与证明 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说f (x)在区间 D 上是增函数.1. 函数单调性的定义 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说f (x)在区间 D 上是减函数. 如果函数y＝f (x)在区间 D上是增函数或减函数， 那么就说函数f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做y＝f (x)的单调区间.2.单调区间的概念3.函数单调性的证明 （1）取值：在给定区间上任取两个值x1, x2，且x1＜x2； （2）作差变形：计算f (x1)－f (x2)，通过因式分解、配方、通分等方法变形； （3）定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论； （4）结论：根据差的符号得出单调性的结论. ; .（1）理解函数单调性的定义；理解单调区间的概念；（2）熟练掌握证明单调性的步骤；（3）证明单调性时常用的变形技巧有因式分解、通分、配方、分子有理化.课件10张PPT。函数单调性的性质1.复合函数 y = f [ g ( x )]单调性的判断方法记忆诀窍：同增异减2.函数单调性的性质BA注意：在解决小题时要灵活运用单调性的性质判断函数的单调性，这种方法要比定义法快捷方便.注意：在判断复合函数单调性的时候，必须注意构成复合函数的初等函数的单调区间.4.判断复合函数的单调性，首先要将复合函数分解成两个初等函数，然后根据“同增异减”的规律判定复合函数的单调性；5.利用单调性的性质判定函数的单调性只适合用于解决小题，必须注意原函数的定义域.1.利用函数的单调性比较函数值的大小问题，常常将其转化为比较自变量的大小问题；2.利用函数的单调性解不等式时，必须考虑其定义域；3.解决二次函数的单调性问题关键是确定所给区间与二次函数对称轴的位置关系.课件10张PPT。函数的奇偶性(1)奇函数： 一般地，图像关于 对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)的绝对值相等，符号 ，即 ；反之，满足 的函数y＝f(x)一定是奇函数．原点 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝－f(x)相反(2)偶函数： 一般地，图像关于 对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值 ，即 ；反之，满足 的函数y＝f(x)一定是偶函数． y轴 相等 f(－x)＝f(x) f(－x)＝f(x) 判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：例1.判断下列函数的奇偶性． (1)(2)(3)(4)（1）既是奇函数又是偶函数 （2）既不是奇函数，也不是偶函数 （3）奇函数（4）偶函数例2. 定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )C解：由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数．故选C.A．4 B．3 C．2 D．1例3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( )
A． B. C. D． B例4.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______. 解：∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，
∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.－1例5.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围． 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f(x)在[－2,2]上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1， 即－2(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是 ．解析：(1)∵函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，
∴设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意知，g(x)为奇函数，
∴g(0)＝0，则1＋a＝0，即a＝－1.(2)∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，
当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． －1(－∞，－2]∪[2，＋∞)1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 3．分段函数奇偶性判定时，f(－x)＝f(x)，利用函数在定义域某一区间上
不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x使f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)．4 ．判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 课件12张PPT。函数奇偶性的图象和性质2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．1.具有奇偶性的函数的图象的特征： 偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称． (3)求函数解析式中参数的值：
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像和判断单调性：
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．例1.根据函数图象判断函数的奇偶性：根据图象的对称性易知：A、D为偶函数，B、C为奇函数 例2.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－ ∞ ，0)观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．故选C.C例3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
且 ，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系
是______________．f(1)>g(0)>g(－1)例4.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(3)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4.解：由题意知x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数且当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝0对称，所以f(1)>f(－2)>f(3)，故选A.A例6.设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3·cos a＋1＝－10＋1＝－9.例7.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________ .解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0.例8.设奇函数f(x)的定义域是[－5，5]，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是 .解：根据奇函数的图象关于原点成中心对称的性质，画出函数f(x)在[－5，5]上的图象如图2.根据图象，易知不等式f(x)<0的解是（－2，0）∪（2，5].（－2，0）∪（2，5]利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2）确定 f (－x)与 f (x)的关系； 3）作出相应结论：若 f (－x) = f (x) 或 f (－x)－ f (x) = 0，则f (x) 是偶函数；若f (－x) =－f (x) 或 f (－x)＋f (x) = 0，则 f (x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f (－x)±f (x)=0或f (x) ÷f (－x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .1）若函数 f（x）是定义在区间D的奇函数，则具备以下性质：
a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;?
b.对于定义域内任意x?，都有 ；?
c.奇函数的图像关于原点（0, 0）对称；?
d.若0∈D，则 f（0）= 0;
e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性. 2）若函数是定义在区间D的偶函数，则具备以下性质：?
a.?定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;?
b.对于定义域内任意x都有 ；
c.图像关于 y 轴对称；
d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性.课件9张PPT。指数与指数幂的运算1．分数指数幂2．有理数指数幂3．无理数指数幂4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系DD1．在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．
2．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．课件8张PPT。指数函数的概念、图象与性质2．指数函数的图象：3．指数函数的性质R（0，1]（0，2）∪（2，+∞）例2.函数f（x）=2|x–1|的递增区间为（ ）
A．R B．（–∞，1] C．[1，+∞） D．[0，+∞）C（1，6）例3.函数f（x）=5+ax–1恒过点P，则点P的坐标为__________．解：令x=1，代入f（x）=5+ax–1，
得f（1）=6，
∴点P的坐标为（1，6）．
故答案为：（1，6）．例4.若2（x+1）<1，则x的取值范围是 （ ）
A．（–1，1） B．（–1，+∞）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．（–∞，–1）解：2（x+1）<1=20，因为指数函数y=2x单调递增，
所以x+1<0，解得x<–1，故x的取值范围是（–∞，–1）．
故选D．D2.（1）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下：
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
（2）判断底数大小的方法：过点（1，0）作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数．课件8张PPT。对数的概念及其运算性质1．对数的概念2．对数与指数的关系3．对数的运算性质例1.将指数式2a=b写成对数式为 （ ）
A．log2b=a B．logab=2
C．log2a=b D．logb2=a解：指数式2a=b所对应的对数式是：log2b=a．故选A．AAA解：lg（103–102）=lg900=lg（9×100）
=lg9+lg100=2+lg9．故选D．D课件9张PPT。对数函数的概念、图象与性质2．对数函数的图象：3．对数函数的性质例1.如果对数函数y=log2x的图象经过点（a，–2），则a的值为（ ）
A． B． C．4 D．–4
解：因为对数函数y=log2x的图象经过点（a，–2），所以log2a=–2，
解得 ．故选A．A例2.函数y=lg（|x|+1）的单调性为（ ）
A．在（–∞，+∞）单调递增 B．在（–∞，+∞）单调递减
C．在（0，+∞）单调递增 D．在（0，+∞）单调递减解：∵内函数u=|x|+1在（0，+∞）递增，在（–∞，0）递减，外函数y=lgu在（–∞，+∞）递增，根据内外函数“同增异减”的原则，函数y=lg（|x|+1）在（0，+∞）递增，在（–∞，0）递减，故选C．C例3.函数y=log2x与y=x–2的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3解：在坐标系中分别作出函数y=log2x与y=x–2的图象，由图象可知两个函数的交点为2个．故选C．C例4. f（x）=loga（2x+b–1）（a>0，且a≠1）的图象如下图所示，则a，b满足的关系是（ ）
A．0C．a–1>b>1 D．b>a–1>1解：∵函数f（x）=loga（2x+b–1）是减函数且随着x增大，2x+b–1增大，f（x）减小．∴01，∵当x=0时，f（0）=logab∈（–1，0），∴loga（a–1）b>1，故选C．C例5.若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ）
A．y=log2x B．y=2log4x
C．y=log2x或y=2log4x D．不确定解：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax（a>0，且a≠1，x>0），则2=loga4=loga22=2loga2，即loga2=1，解得a=2．故所求对数函数的解析式为y=log2x．故选A．A2．对数函数的图象：课件8张PPT。幂函数的概念、图象与性质1．幂函数的概念
一般地，函数 （α是常数）叫做幂函数，其中x
是自变量， α是常数．2．幂函数的结构特征
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．3．几个常见幂函数的图象解：幂函数的定义中函数的表达式为：y=xa，a∈R，且a≠0，选项中，y=2x，是指数函数，故选C．C解：由图象可知：C1的指数n>1，C2的指数00时不是减函数，不满足题意，当m=2时，函数为y=x–3在x>0时是减函数，满足题意，故m=2，故答案为：2．2课件8张PPT。函数的零点1.函数零点的概念2.函数零点的判断例1.下面对函数y=f（x）零点的认识正确的是（ ）
A．函数的零点是指函数图象与x轴的交点
B．函数的零点是指函数图象与y轴的交点
C．函数的零点是指方程f（x）=0的根
D．函数的零点是指x值为0C解：函数的零点是对应方程的根，也是对应函数图象与x轴交点的横坐标．故选C．例2.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根（ ）
A．（–2，–1）B．（0，1） C．（1，2） D．（–1，0）解：设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：由于f（–1）?f（0）<0，所以方程2x+x=0在（–1，0）内有实数根，故选D．DC例4.对于函数y=f（x）．若f（a）<0，f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ ）
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有四个零点 D．至多有三个零点解：对于函数y=f（x）．由f（a）<0，f（b）<0，不能利用函数零点存在定理判定函数零点的个数．因此函数f（x）在区间（a，b）内只是可能有四个零点．故选C．C例5.已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是（ ）
A．–1 B．1 C．–2 D．2A注意：
1．函数的零点是实数，而不是点．
2．并不是所有的函数都有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
4.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用．课件8张PPT。函数与方程函数零点与方程根的联系A例2.函数f（x）=x2–3x–4的零点是（ ）
A．（1，–4） B．（4，–1）
C．1，–4 D．4，–1解：由x2–3x–4=0，可得x=4或–1，
∴函数f（x）=x2–3x–4的零点是4，–1．故选D．D例3.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．0个 D．无法确定B解：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0，故二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．故选B ．例4.若函数y=f（x）是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0，则函数f（x）的零点有（ ）
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断B解：∵函数的定义域为{x|x≠0}，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0，∴在（0，+∞）上，函数只有一个唯一的零点2．∵函数y=f（x）是偶函数，∴根据偶函数的对称性可知在（–∞，0）上，函数f（x）存在唯一的一个零点–2，故函数f（x）的零点有2个，故选B．例5.如果函数y=x2+2x+m+3至多有一个零点，则m的取值范围是__________．[–2，+∞）解：∵函数y=x2+2x+m+3至多有一个零点，
∴Δ=4–4（m+3）≤0，解得m≥–2，
∴m的范围是：[–2，+∞）．
